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Principe dinertie, centre de masse Linvariance galiléenne impose que les lois de la mécanique classique sont les mêmes dans tous les référentiels en translation.

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1 Principe dinertie, centre de masse Linvariance galiléenne impose que les lois de la mécanique classique sont les mêmes dans tous les référentiels en translation uniforme (vitesse constante et sans rotation). Ces référentiel sont appelés référentiels dinertie ou référentiel galiléen. Nous admettrons comme postulat de base quil existe des référentiels dinertie pour lesquels les lois de la mécanique de Newton sappliquent. Si on ignore les effets de la rotation de la Terre, un référentiel lié à la Terre peut être considéré comme un référentiel dinertie. Si on veut tenir compte de la rotation de la Terre, il faut choisir un repère fixe par rapport aux astres.

2 Quantité de mouvement, principe dinertie La quantité de mouvement dun point matériel de masse m et de vitesse v est : p = m v Dans un référentiel dinertie, un système isolé (qui nest soumis à aucune force extérieure et nest soumis quaux forces intérieures entre points matériels du système), la quantité de mouvement totale p est constante, soit : Principe dinerties (1 ère loi de Newton) Pour un système de N points matériels de masse m i et de vitesse v i, la quantité de mouvement totale est :

3 Exemples de chocs et dexplosions : m1m1 v1v1 m2m2 v 2 = 0 Choc élastique (horizontal) : lénergie est conservée m1m1 v 1 =0 m2m2 v2v2 m 1 = m 2 En fonction des valeurs des masses, on a : m1m1 v1v1 m2m2 v2v2 m 1 < m 2 m1m1 v1v1 m2m2 v2v2 m 1 > m 2

4 Choc complètement inélastique ou choc mou : lénergie nest pas conservée m1m1 v1v1 m2m2 v 2 = 0 (m 1 +m 2 ) v1v1 Avant le choc Après le choc Les deux mobiles restent « collés » après le choc mou, la vitesse de lensemble est plus faible que la vitesse incidente de m 1.

5 (m 1 +m 2 ) v=0 m1m1 m2m2 v1v1 v2v2 Avant lexplosion lensemble est au repos, la quantité de mouvement est nulle. Après lexplosion les deux fragments acquièrent des quantités de mouvement p 1 et p 2 dont la somme vectorielle reste nulle Si lénergie disponible pour « lexplosion est E dispo, les fragments 1 et 2 se partagent cette énergie : explosion

6 Fusée V(t) v gaz gaz La fusée de masse au départ M o éjecte une masse de gaz par unité de temps à la vitesse v gaz constante par rapport à la fusée. La variation de masse de la fusée est : À linstant t, la quantité de mouvement de la fusée est : À linstant t+dt, la quantité de mouvement de la fusée est : La vitesse du gaz dans le référentiel terrestre est, la quantité de mouvement totale du système fusée + gaz à linstant t+dt est : La conservation de la quantité de mouvement implique que : Soit en regroupant :

7 Centre de masse M1M1 M4M4 MiMi M2M2 M3M3 r1r1 r3r3 r2r2 riri r4r4 O Soit un système de points matériels M i de masse m i et de rayon vecteur r i = OM i. Le centre de masse est le point G défini par où M est la masse totale du système Remarque On a aussi

8 x y O Exemples : O 2 m 3 m m Trois masses alignées, m 1 = 2m ; m 2 = 3m et m 3 = m, sont situées respectivement à 1m ; 6m et 10m dune origine O. Soit : G Nous cherchons la position du centre de masse dun demi disque homogène, de masse par unité de surface et de rayon R. le disque est assimilé à un ensemble de masses élémentaires dm i telles que : r dr rd G

9 Mouvement du centre de masse O est un point fixe du référentiel dinertie, la vitesse du point G est appelée vitesse du centre de masse La quantité de mouvement du centre de masse est la quantité de mouvement totale du système de masse totale M. Pour un système isolé et par conséquent sont constant. G Exemple : explosion Si le système est isolé, après lexplosion la vitesse du centre de masse est égale à la vitesse du système avant lexplosion :

10 Lois de Newton Principe d inertie quantité de mouvement Principe fondamental de la dynamique Principe d action et de réaction Exemples de forces gravitation poids frottements

11 Jusqu'à présent nous avons défini comment la position et le mouvement d'une particule matérielle pouvait être défini. Nous allons maintenant rechercher pourquoi cette particule a un tel mouvement. s'il est au repos il reste au repos s'il est en mouvement, c'est un mouvement rectiligne uniforme c'est à dire que la quantité de mouvement de cette particule est constante de même que son moment cinétique. Principe d'inertie (1 ère loi de Newton): il existe des référentiels dits référentiels d'inertie ou de Galilée, dans lesquels un point matériel isolé ( la force ou la résultante de toutes les forces qui lui sont appliquées est nulle) conserve indéfiniment son état de mouvement:

12 Remarques: Le mouvement d'une particule n'est défini que par rapport à un référentiel, ce référentiel doit lui-même être un référentiel d'inertie ou de Galilée (en translation rectiligne uniforme ou immobile). La Terre étant en rotation (autour de son axe et autour du soleil) et soumise aux interactions avec d'autre corps célestes, n'est pas un référentiel d'inertie. En pratique, l'accélération due à la rotation étant faible (0,6 cm/s 2 ) et en négligeant les interactions avec la Lune et le Soleil, on pourra en première approximation considérer la Terre comme un référentiel d'inertie. Un référentiel lié au Soleil ne serait pas non plus un vrai référentiel d'inertie car il décrit un mouvement de rotation autour du centre de la galaxie, son accélération d'entraînement est cependant très faible ( cm/s 2 )

13 où I est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe. Principe Fondamental de la dynamique ( 2 ème loi de Newton): Ce couple est le moment d'une force appliquée à la particule ou au système de points par rapport au point O. Pour un solide de révolution, en rotation autour de son axe, nous établirons que : Si la quantité de mouvement d'un point matériel varie au cours du temps cela veut dire que cette particule n'est pas isolée. Elle est soumise à une Force égale à la variation de la quantité de mouvement par unité de temps: Si le moment cinétique d'une particule par rapport à un point O quelconque varie au cours du temps cela veut dire qu'elle est soumise à un couple de forces (qui la mette en rotation) égal à la variation du moment cinétique par unité de temps.

14 Dans un système isolé de deux points M 1 et M 2, l'action de M 1 sur M 2 est opposée à l'action de M 2 sur M 1. Si on appelle la réaction de M 1 sur M 2 alors : Principe d'Action et de Réaction (3 ème loi de Newton) : Soit un système isolé de deux points matériels de masses respectives m 1 et m 2, le système étant isolé on a : soit :

15 Un projectile, placé dans le champ de la pesanteur terrestre, est lancé avec une vitesse initiale faisant un angle avec lhorizontale. Nous décrivons le mouvement dans un plan vertical, en le décomposant suivant lhorizontale Ox et la verticale Oy. Léquation du mouvement rectiligne uniformément accéléré est : Mouvement dun projectile Portée : cest la distance horizontale parcourue par le projectile. Si laltitude de départ et darrivée est la même (Y = 0), le projectile atteint son but à linstant t donné par : Les composantes de la vitesse initiale sur Ox et Oy sont : Il ny a pas daccélération dans la direction Ox : et sur Oy nous avons : En tirant t de X et en remplaçant dans Y on trouve cest léquation dune parabole doù la portée :

16 = 60° = 45° = 30°

17 Oscillateur harmonique, force de rappel Force de rappel linéaire : Exemple dun ressort : oscillateur à une dimension où est la pulsation, les solutions sont du type où A et B dépendent des conditions initiales, dans le cas particulier où la vitesse initiale est nulle, on a :

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21 Dans la réalité tout système est soumis à des frottements (fluide ou solide) qui dissipent de lénergie. Nous traitons lexemple dun oscillateur harmonique soumis à une force de frottement fluide proportionnelle à la vitesse du mobile où est le coefficient de frottement. Soit un ressort de dureté k, fixe à une extrémité et portant une masse m à lautre. Léquation du mouvement est alors : En posant on a : Les solutions de cette équation différentielle sont du type doù léquation caractéristique : dont les solutions sont : On distingue 3 cas : Seules les racines imaginaires conduisent à des oscillations, les racines réelles donnent lieu à des mouvements apériodiques. Pour chaque cas, les solutions générales sont des combinaisons linéaires des solutions. Nous ne traitons en détail que le cas des racines imaginaires.

22 Avec les deux racines imaginaires sont : La solution générale est alors une combinaison linéaire de ces deux racines : En posant : Les termes entre parenthèses représentent un mouvement sinusoïdal, le facteur représente la décroissance exponentielle de lamplitude des oscillations. est la pseudo pulsation du mouvement sinusoïdal et la pseudo période T est : Le décrément logarithmique relie le rapport des amplitudes A 1 (t) et A 2 (t+T) à la pseudo période et à lamortissement

23 Analogie électrique : Soit un circuit électrique oscillant comportant une capacité C, une inductance L et une résistance R. les d.d.p. aux bornes de ces composants sont : Le circuit étant fermé, la somme des d.d.p. est nulle, soit : En comparant à loscillateur mécanique amorti : nous pouvons dire que le rôle de linductance L est similaire à celui de la masse dinertie m, la résistance R à celui du coefficient de frottement et linverse de la capacité C (élastance) à celui de lélasticité k du ressort. par analogie, la pulsation du circuit électrique est :

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