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COMPTE-RENDU PROJET S8 2010-2011 SALWA DEBBAGH VÉRONIQUE BRUNO MARIEME TOURE IRIS LAVAYSSIERE JONAS PICHAT LUCAS SERDIC Segmentation dImages par Contours.

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1 COMPTE-RENDU PROJET S SALWA DEBBAGH VÉRONIQUE BRUNO MARIEME TOURE IRIS LAVAYSSIERE JONAS PICHAT LUCAS SERDIC Segmentation dImages par Contours Actifs Tensoriels

2 Organigramme projet Segmentation par contours actifs tensotiels Tenseurs (Véro, Iris, Jonas) Décomposition image en champ de tenseur + représentation ellipses (Véro) Opérations sur les tenseurs (Iris, Jonas) Segmentation (Salwa, Marieme, Lucas) Level-set (Salwa, Jonas) Noyaux gaussiens (Marieme, Lucas)

3 Chronologie Projet Évolution dynamique du contour Sélection dun contour initial [1]qui évoluera au cours du temps. Les calculs [2] se font dabord sur scalaires puis sur tenseurs. Image quelconque en entrée Image couleur Sélection contour [1] Calcul densité de probabilités [2] Évolution du contour Définition champs de tenseurs Opérations sur les tenseurs

4 Chronologie finale du projet Image couleur Calcul du champ de tenseur Sélection dun contour « grossier » Calcul de densité de probabilités Evolution du contour

5 Décomposition dune image en champ de tenseurs A partir dune image RGB Obtention dun champs de tenseur Avec : Modèle RGB Modèle HSL Champs de tenseurs

6 Décomposition dune image en champ de tenseurs Obtention des composantes du tenseur : Composante de la matrice L Composante de la matrice S Composante de la matrice H

7 Représentation du champ de tenseurs détermine : La teinte (variation de ) La saturation (variation de lexcentricité : ) La luminance (variation de la taille : )

8 Représentation tensorielle dune image couleur tenseur.m ellipse.m

9 Calculs sur les tenseurs Comment? 3 espaces différents Euclidien – Riemannien – log-Euclidien 1 ère projection pour utiliser la bonne métrique dans le calcul de la distance. 2 ème projection pour revenir dans lespace de départ (projection inverse) et calculer la moyenne intrinsèque dun champ de tenseur Pourquoi projeter? Pour que le résultat dune opération sur des tenseurs soit un tenseur. Ici, pour que la moyenne intrinsèque associée aux différentes métriques soit bien un tenseur.

10 Calculs sur les tenseurs θ suit une distribution gaussienne On fixe et (valeurs propres du tenseur pour un θ donné) On fait varier θ selon une distribution gaussienne. On a: et On obtient alors les composantes des différents tenseurs T (=pour différents θ) avec: On moyenne ces tenseurs suivant les 3 métriques: euclidienne, Rao et log- euclidienne.

11 Calculs sur les tenseurs θ suit une distribution gaussienne

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13 Calculs sur les tenseurs λ 2 /λ 1 suit une distribution gaussienne On fixe θ et λ 1 (inclinaison et une des deux valeurs propres) On fait varier λ 2 /λ 1 selon une distribution gaussienne. On déduit la 2 ème valeur propre λ 2 à partir de λ 1 et λ 2 /λ 1. On obtient comme précédemment V x et V y à partir de θ. On obtient alors les composantes des différents tenseurs T (=pour différents λ 2 /λ 1 ) avec: On moyenne ces tenseurs suivant les 3 métriques: euclidienne, Rao et log- euclidienne.

14 Calculs sur les tenseurs λ 2 /λ 1 suit une distribution gaussienne

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16 Calculs sur les tenseurs (λ 2 *λ 1 ) suit une distribution gaussienne On fixe θ et λ 1 (inclinaison et une des deux valeurs propres) On fait varier (λ 2 *λ 1 ) selon une distribution gaussienne. On déduit la 2 ème valeur propre λ 2 à partir de λ 1 et (λ 2 *λ 1 ). On obtient comme précédemment V x et V y à partir de θ. On obtient alors les composantes des différents tenseurs T (=pour différents λ 2 /λ 1 ) avec: On moyenne ces tenseurs suivant les 3 métriques: euclidienne, Rao et log- euclidienne.

17 Calculs sur les tenseurs (λ 2 *λ 1 ) suit une distribution gaussienne

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19 Calcul dun noyau Gaussien Quest ce quun noyau? il sagit dune technique destimation de densité de probabilité dans laquelle une fonction de densité connue (le noyau) est moyennée le long des données observées pour créer une approximation lisse. Expression : où y est |C| est le déterminant de la matrice de covariance du noyau et n la dimension de y. Notre programme permet pour le moment de calculer la valeur du noyau gaussien pour un vecteur qui contient les coordonnées spatiales dun point quelconque.

20 Calcul dun noyau Gaussien Il nous reste à ladapter pour un tenseur. Mais aussi à créer notre propre fonction de calcul de la matrice de covariance, car la fonction matlab cov nutilise pas la même moyenne que celle que nous utilisons. De plus, il nous faut valider cette étape car lorsque nous traçons lhistogramme des valeurs de notre noyau, celui-ci ne suit pas une loi de probabilité gaussienne alors que notre distribution est gaussienne.

21 Estimation de la densité de probabilité Lexpression de la densité de probabilité est la suivante : où K représente le noyau gaussien, z et x représentent des points, et n le nombre de points. Cette expression de la densité de probabilité nous sert à vérifier lhomogénéité de notre image en un point z donné : on calcule P(z) en prenant les xi à lintérieur de contour pour estimer Pin, puis on calcule P(z) en prenant les xi à lextérieur du contour pour estimer Pout. Si les 2 valeurs sont assez proches, alors nous sommes dans une zone homogène et il nous faut faire évoluer le contour.

22 Principe Level-Set L'idée consiste à remplacer une courbe plane fermée par une surface fixe dans un espace où le temps représente la troisième dimension. La méthode des Level Set est généralement utilisée pour suivre des interfaces à deux dimensions

23 Description La figure de droite illustre plusieurs idées importantes sur la méthode. En haut à gauche nous voyons une courbe, c'est-à-dire une région bornée par une frontière régulière. Au-dessous, la surface rouge représente une fonction phi qui détermine cette forme, le plan bleu étant le plan (x,y). Le bord de cette forme est alors la courbe de niveau de phi tandis que la forme proprement dite est l'ensemble des points pour lesquels phi est positif ou nul. Dans la rangée supérieure nous voyons la modification de la topologie par une scission. Il serait extrêmement difficile de décrire numériquement cette transformation en paramétrant la frontière et en suivant son évolution.

24 Technique L'idée de base de la méthode des courbes de niveau est simple. Une interface Γ qui borne une région ouverte Ω peut être définie à l'instant t au point x comme le niveau zéro d'une fonction lisse phi(x,t) L'interface variable est alors définie par Γ(t) = {(x,t)/phi(x,t)=0} Phi est négatif à l'intérieur de Ω, positif à l'extérieur et nul sur Γ(t).

25 La position initiale de l'interface étant donnée, il s'agit de calculer son mouvement ultérieur dans un champ de vitesses donné V. Ces vitesses peuvent être fonction de la position, du temps, de la géométrie de l'interface (par exemple sa normale ou sa courbure moyenne) … L'idée consiste simplement à définir une fonction lisse phi(x,t) qui représente l'interface comme l'ensemble tel que phi(x,t)=0. La fonction phi qui s'annule sur l'interface est positive à l'extérieur et négative à l'intérieur. Ainsi l'interface sera capturée à tous les instants ultérieurs en localisant simplement l'ensemble Γ(t) pour lequel phi s'annule. Les modifications de la topologie comme une séparation ou un regroupement sont alors bien définies sans ambiguïté.

26 Le mouvement s'analyse en faisant transporter les valeurs des niveaux φ par le champ de vitesse V. L'équation exprime qu'en chaque point la variation du niveau est portée par la normale à l'interface, c'est-à-dire par le gradient: En réalité, seule la composante normale de V est nécessaire : de sorte que l'équation devient où la fonction module représente la norme euclidienne et t le temps. C'est une équation aux dérivées partielles.

27 Où nous en sommes On arrive pour linstant à faire évoluer un cercle, donc à afficher les différents levelset de léquation phi(x,y)=x^2+y^2. Pour cela cest la valeur c des différentes courbes de niveaux phi(x,y)=c que lon fait varier. Or ce que lon veut faire plus tard au moment de fusionner le travail de tous les membres du groupe, cest de faire évoluer léquation du contour, et toujours tracer le niveau 0 de chaque nouvelle courbe. Loutil matlab principal que lon va utiliser est la fonction contour qui nous permet de tracer des lignes de niveau. Pour le moment il nous faut déterminer le contour initial, et le tracer avec les contraintes que les pixels soient positifs à lextérieur, nuls sur le contour et négatifs à lintérieur, cest seulement comme cela que lon pourra faire évoluer notre contour phi(x,y).


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