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1 Prévision dune série chronologique par lissage exponentiel Michel Tenenhaus.

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1 1 Prévision dune série chronologique par lissage exponentiel Michel Tenenhaus

2 2 1.Différents types de séries chronologiques

3 3 2. Les méthodes de prévision par lissage exponentiel

4 4 3.Lissage exponentiel simple Exemple : Cours dune action

5 5 Prévision de la série COURS DUNE ACTION par lissage exponentiel simple

6 6 Formules de prévision et de lissage Prévision de Y t+h réalisée à linstant t où : - - S t = estimation de la moyenne de la série à linstant t Formule de lissage S t = Y t + (1- )S t-1 où : - = constante de lissage ( 0 1) - S 0 = valeur initiale (Y 1 ou = valeur choisie par SPSS) Prévision de Y 17 en t = 16 : - si S 0 = Y 1 - si = 0 - si = 1

7 7 Calcul de la valeur lissée S t Conséquences -Somme des poids = 1 -Pour = 0, S t = S 0 pour tout t -Pour = 1, S t = Y t pour tout t

8 8 Application : Cours dune action

9 9

10 10 Prévision de Y t Sur lhistorique (t = 1 à T): Sur le futur :

11 11 Prévision de Y t On choisit minimisant Pour = 0.46 : Calculés par SPSS

12 12 Choix de Results of EXSMOOTH procedure for Variable COURS MODEL= NN (No trend, no seasonality) Initial values: Series Trend 1293.00000 Not used DFE = 15. The 10 smallest SSE's are: Alpha SSE.4600000 50085.26068.4700000 50090.61536.4500000 50094.47462.4800000 50110.08196.4400000 50118.73892.4900000 50143.22786.4300000 50158.56131.5000000 50189.64352.4200000 50214.47645.5100000 50248.94158

13 13 Prévision de Y t YtYt S t-1 S 16 S0S0

14 14 Intervalle de prévision à lhorizon h au niveau 95% [Modèle ARIMA (0,1,1) sans constante] Données observées : Y 1, …, Y T Prévision de Y T+h : Intervalle de prévision à 95% de Y T+h : où

15 15 Intervalle de prévision au niveau de confiance 95% Utilisation du « Time series modeler » de SPSS

16 16 4.La méthode de Holt Exemple : Chiffre d affaires d une société

17 17 La méthode de Holt Hypothèses : Série avec tendance, sans saisonnalité Formule de prévision : A linstant t, à lhorizon h Prévision de Y t+h Niveau de la tendance Pente de la tendance Formules de lissage S t = Y t + (1 - ) (S t-1 + T t-1 ) T t = (S t - S t-1 ) + (1 - ) T t-1 Prévision localement linéaire

18 18 La méthode de Holt Choix des valeurs initiales de T 0 et S 0 dans SPSS Choix des constantes de lissage et

19 19 Choix de et Results of EXSMOOTH procedure for Variable CA MODEL= HOLT (Linear trend, no seasonality) Initial values: Series Trend 8999.78000 100.44000 DFE = 24. The 10 smallest SSE's are: Alpha Beta (*) SSE.4100000 1.000000 1014101.3926.4200000 1.000000 1014605.7163.4100000.9900000 1015200.6924.4200000.9900000 1015268.6427.4000000 1.000000 1015741.5978.4200000.9800000 1016033.2733.4100000.9800000 1016402.7294.4200000.9700000 1016900.4755.4300000 1.000000 1017088.4978.4000000.9900000 1017288.6506 (*) Gamma dans SPSS

20 20 Prévision du Chiffre dAffaires Chiffre Trimestre d'affaires prévision résidu _________ __________ ___________ ___________ 1 9050 9100.22000 -50.22000 2 9380 9159.47960 220.52040 3 9378 9420.15613 -42.15613 4 9680 9555.85127 124.14873. 24 11507 11459.70349 47.29651 25 11453 11524.15142 -71.15142 26 11561 11510.86362 50.13638 27. 11567.85973. 28. 11604.29993. 29. 11640.74012. 30. 11677.18032.

21 21 Prévision du Chiffre dAffaires

22 22 Intervalle de Prévision à 95% du CA Utilisation du « Time series modeler » de SPSS [Modèle ARIMA(0,2,2) sans constante]

23 23 4.La méthode de Winters Exemple : Ventes de Champagne On exclut les douze derniers mois pour valider la méthode.

24 24 Ventes de Champagne On exclut les douze derniers mois pour valider la méthode.

25 25 La méthode de Winters Hypothèses : Série avec tendance et saisonnalité dordre s (ici s = 12) Formule de prévision : A linstant t, à lhorizon h Formules de lissage Prévision de Y t+h Niveau de la tendance Pente de la tendance Coefficient saisonnier Prévision localement linéaire * Coefficient saisonnier

26 26 La méthode de Winters Choix des valeurs initiales T 0, S 0 Choix des coefficients saisonniers I 01, …, I 0s Les coefficients saisonniers I 01, …, I 0s sont obtenus en partant de la décomposition saisonnière de la série Y t avec poids identiques. La moyenne mobile initiale est construite sur s termes.

27 27 La méthode de Winters Choix des constantes de lissage, et

28 28 Résultats Results of EXSMOOTH procedure for Variable CHAMPAGN MODEL= WINTERS (Linear trend, multiplicative seasonality) Period= 12 Seasonal indices:(en pourcentage) 1 73.05851 2 67.43095 3 81.49642 4 83.91526 5 92.57661 6 88.61501 7 73.56785 8 36.17448 9 92.43837 10 120.75980 11 174.76449 12 215.20225 Initial values: Series Trend 3350.79861 21.22801 DFE = 80. The 5 smallest SSE's are: Alpha Beta Gamma SSE.0500000.0300000.0000000 30047638.175.0600000.0200000.0000000 30094467.153.0500000.0200000.0000000 30099702.780.0500000.0400000.0000000 30193432.067.0600000.0300000.0000000 30194656.348 Calculer : - S 1, T 1, I 1, I 12 -

29 29 Résultats sur lhistorique utilisé : (horizon h = 1) Date Champagne Prévision Résidu ________ _________ ___________ ___________ JAN 1962 2815 2463.55246 351.44754 FEB 1962 2672 2304.80933 367.19067 MAR 1962 2755 2826.31399 -71.31399 APR 1962 2721 2925.52282 -204.52282 MAY 1962 2946 3236.81640 -290.81640 JUN 1962 3036 3103.70251 -67.70251 JUL 1962 2282 2589.82403 -307.82403 AUG 1962 2212 1273.50670 938.49330 SEP 1962 2922 3397.22170 -475.22170 OCT 1962 4301 4436.22316 -135.22316 NOV 1962 5764 6452.30884 -688.30884 DEC 1962 7312 7953.28875 -641.28875. JUL 1969 4633 4119.96749 513.03251 AUG 1969 1649 2044.67375 -395.67375 SEP 1969 5951 5188.64038 762.35962

30 30 Résultats sur lhistorique utilisé (prévision à lhorizon 1)

31 31 Résultats sur la période test : (horizon h = 1 à 12) Date Champagne Prévision Résidu ________ _________ ___________ ___________ OCT 1969 6981 6848.37398 132.62602 NOV 1969 9851 9940.29754 -89.29754 DEC 1969 12670 12276.38085 393.61915 JAN 1970 4348 4179.92009 168.07991 FEB 1970 3564 3869.24602 -305.24602 MAR 1970 4577 4689.98831 -112.98831 APR 1970 4788 4843.24782 -55.24782 MAY 1970 4618 5358.65535 -740.65535 JUN 1970 5312 5144.19067 167.80933 JUL 1970 4298 4283.01302 14.98698 AUG 1970 1431 2112.08652 -681.08652 SEP 1970 5877 5412.60115 464.39885 Calculer : - S sept 69 et T sept 69 -

32 32 Résultats sur la période test (prévision sur lhorizon 1 à 12)

33 33 Intervalle de Prévision à 95% de Champagne Utilisation du « Time series modeler » de SPSS

34 34 Conclusion générale « All the proofs of a pudding are in the eating, not in the cooking ». William Camden (1623)


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