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Analyse de la variance à un facteur Michel Tenenhaus.

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1 Analyse de la variance à un facteur Michel Tenenhaus

2 2 Exemple 1 (Snedecor et Cochran) Comparaison de quatre matières grasses Poids de matière grasse absorbée par fournée de 24 beignets

3 3 Résultats graphiques

4 4

5 5

6 6 Analyse de la variance à un facteur Y = Poids des matières grasses absorbées X = Type de matière grasse Modèle : Y ij = + i + ij, avec ij ~ N(0, ) Il y a indétermination puisque Y ij = ( + c) + ( i - c) + ij, avec ij ~ N(0, ) pour tout c.

7 7 Fonction estimable Modèle : (sur-paramétré) Y ij = + i + ij, avec ij ~ N(0, ) i = E(Y ij ) = + i estimé par Forme des fonctions estimables : est estimé par.

8 8 Forme des fonctions estimables : L1 = somme des autres coefficients

9 9 Résultats SPSS SPSS

10 10 Estimation de

11 11 Résultats SPSS Ecrire les contrastes testés

12 12 Exemple de fonction non estimable nest pas estimable Réponse SPSS UNIANOVA poids BY type_mg /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /LMATRIX = "delta" intercept 1 type_mg /PRINT = PARAMETER TEST(LMATRIX) /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = type_mg.

13 13 Comparaisons multiples des moyennes Méthode de Tukey (Effectifs des classes inégaux) On rejette H 0 : i = j au risque global de toutes les comparaisons si :

14 14 Résultats SPSS Conclusion Il y a un effet MG : MG2 MG4 Essayer avec alpha =.107.

15 15 Comparaisons multiples des moyennes Méthode REGWQ (Effectifs des classes égaux) Procédure itérative - On teste tout dabord lhomogénéité de toutes les moyennes au risque k. - Si lon rejette lhomogénéité, alors chaque sous-ensemble de k-1 moyennes est testé au risque k-1 ; Sinon la procédure est terminée. - Et ainsi de suite... Choix des p : k =, k-1 =, k-2 = 1 - (1- ) (k-2)/k >, etc...

16 16 Test sur lhomogénéité de p moyennes Les moyennes sont ordonnées : On a : n 1 = n 2 = … = n k = n. Lhomogénéité de p moyennes est rejetée par REGWQ si Le seuil critique diminue avec p. Pour p = k, on retrouve la méthode de Tukey.

17 17 Conclusion Il y a un effet MG : MG2 MG4 REGWQ donne des résultats plus significatifs que Tukey. Essayer alpha =.1.

18 18 Comparaison de k-1 moyennes à une moyenne de contrôle : Le test de Dunnett On suppose que le témoin est l échantillon n° 2. On rejette H 0 : i = 2 au risque si où d 1- est donné dans la table de Dunnett.

19 19 UNIANOVA poids BY type_mg /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /POSTHOC = type_mg ( DUNNETT(2)) /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = type_mg. Résultats SPSS

20 20 Test dun contraste Modèle : Y ij = + i + ij, avec ij ~ N(0, ) i Test : Statistique utilisée : avec t t(N-k) et F F(1, N-k) sous H 0.

21 21 Test dun contraste : Exemples Modèle : Y ij = + i + ij, avec ij ~ N(0, ) i 1 er exemple de test :

22 22 Code SPSS UNIANOVA poids BY type_mg /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = type_mg /CONTRAST (type_mg)=SPECIAL ( ) /PRINT = PARAMETER TEST(LMATRIX). porte sur Demande sur les moyennes

23 23

24 24 2 e exemple :

25 25

26 26 Test de plusieurs contrastes indépendants Modèle : Y ij = + i + ij, avec ij ~ N(0, ) i Test :

27 27 Statistique utilisée : On rejette H 0 au risque de se tromper si F F 1- (m, N-k) Décision : Calcul des sommes de carrés résiduelles :

28 28 Exemple : Test de leffet MG Test : H 0 : 1 = 2 = 3 = 4 H 1 : Au moins un i différent des autres Test : H 0 : 1 = 2 = 3 = 4 H 1 : Au moins un i différent des autres Calcul des sommes de carrés résiduelles :

29 29 Statistique utilisée : On rejette H 0 au risque de se tromper si F F 1- (k-1, N-k). Décision : où :

30 30 Résultats

31 31 Code SPSS UNIANOVA poids BY type_mg /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = type_mg /CONTRAST (type_mg)=SPECIAL ( , , ) /PRINT = TEST(LMATRIX).

32 32 Custom Hypothesis Tests

33 33 Identification des outliers : Le RSTUDENT Lobservation i 0 j 0 est-elle un outlier ? On pose u i 0 j 0 = 1 pour lobservation i 0 j 0, = 0 sinon. Modèle : Y ij = + i + u i 0 j 0 + ij, avec ij ~ N(0, ) Test : H 0 : = 0 (observation i 0 j 0 normale) H 0 : 0 (observation i 0 j 0 outlier) RSTUDENT : à comparer à un t 1- /2 (N-k-1)

34 34 Résultats SPSS : Studentized deleted residuals Régression de Poids sur les variables indicatrices de MG1, MG2,MG3:

35 35

36 36 Normalité des résidus (*) (*) Utiliser les résidus studentisés

37 37

38 38 Tests dhomogénéité des variances Test de Levene Analyse de la variance des valeurs absolues des résidus sur le facteur étudié :

39 39 Conclusion sur le test dhomogénéité des variances Unless the group variances are extremely different or the number of groups is large, the usual ANOVA test is relatively robust when the groups are all about the same size (Documentation de la Proc GLM) To make the preliminary test on variances is rather like putting to sea in a rowing boat to find out whether conditions are sufficiently calm for an ocean liner to leave port ! (Box, 1953)


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