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La Méthodologie de Box-Jenkins Michel Tenenhaus. 2 1.Les données Une série chronologique assez longue (n 50). Exemple : Ventes danti-inflammatoires en.

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1 La Méthodologie de Box-Jenkins Michel Tenenhaus

2 2 1.Les données Une série chronologique assez longue (n 50). Exemple : Ventes danti-inflammatoires en France de janvier 1978 à juillet Objectif : Prévoir les ventes daoût à décembre 1982.

3 3 Marché total des anti- inflammatoires

4 4 Marché total des anti-inflammatoires

5 5 2. Stabiliser la série Il faut TRANSFORMER la série observée de manière à -enlever la tendance, -enlever la saisonnalité, -stabiliser la variance.

6 6 Pour enlever la tendance Faire des différences régulières dordre d : d = 2 d = 1 Différence régulière dordre d : Dans la pratique d = 0,1, rarement 2

7 7 Marché total des anti-inflammatoires : Différence régulière dordre d = 1

8 8 Dans la pratique D = 0,1, très très rarement 2 Pour enlever la saisonnalité Faire des différences saisonnières dordre D : D = 2 D = 1 Différence saisonnière dordre D : Ordre de la saisonnalité : s = 12 (mois) ou 4 (trimestre)

9 9 Marché total des anti-inflammatoires : Différence saisonnière (s = 12) dordre D = 1

10 10 Pour enlever tendance et saisonnalité Formule générale : On peut choisir d et D minimisant lécart-type de w t. Application Marché total : s = 12, d = 1, D = 1

11 11 Marché total des anti-inflammatoires : Différence régulière/saisonnière (s = 12, d = 1, D = 1)

12 12 Calcul des séries différenciées

13 13 Calcul des écarts-types s = 12, d = 1, D = 1

14 14 Développement de z t De On déduit valeur 1 an avant évaluation de la tendance 1 an avant terme aléatoire On va modéliser la série « stationnaire » w t.

15 15 Pour stabiliser la variance On utilise souvent les transformations

16 16 3. Le modèle statistique On suppose que la série stabilisée (w 1,…,w N ) provient dun processus stationnaire (w t ) : Indépendant de la période t Dans des conditions assez générales tout processus stationnaire peut être approché par des modèles AR(p), MA(q) ou ARMA(p,q).

17 17 AR(p) : Auto-régressif dordre p où a t est un bruit blanc : Remarque :

18 18 MA(q) : Moyenne Mobile dordre q Remarque :

19 19 ARMA(p,q) Remarque :

20 20 Question Comment choisir le modèle correspondant le mieux aux données étudiées ? Réponse On utilise les autocorrélations k et les autocorrélations partielles kk.

21 21 4. Autocorrélation

22 22 Exemple : Marché Total Différence régulière/saisonnière : d = 1, D = 1 Autocorrélations calculées

23 23 Exemple : Marché Total Différence régulière/saisonnière : d = 1, D = 1 Corrélogramme observé Formule de Bartlett

24 24 Variance des autocorrélations r k Formule de Bartlett (Hypothèse : h = 0 pour h k) Formule de Box-Jenkins pour un bruit blanc (Hypothèse : h = 0 pour h 1)

25 25 Test : H 0 : k = 0 On rejette H 0 : k = 0 au risque = 0.05 si Application Marché total : 1 = 0, k = 0 pour k > 1 Corrélogramme théorique 0 k 1 k

26 26 5. Autocorrélation partielle Régression de w t sur w t-1,…,w t-k : Autocorrélation partielle dordre k : Cest une corrélation partielle :

27 27 Calcul pratique de estimation de kk Soit : Etc… On obtient les estimations des kk en remplaçant les k par r k.

28 28 Exemple : Marché Total Différence régulière/saisonnière : d = 1, D = 1 Autocorrélations partielles calculées Rejet de H 0 : kk = 0 si:

29 29 Corrélogramme partiel observé Corrélogramme partiel théorique 0 kk 1 k 14 2

30 30 6. Autocorrélations et autocorrélations partielles des modèles AR(p) et MA(q) (a) : (b) : AR(1)

31 31 AR(2) (a) : (b) : Le dernier pic significatif du corrélogramme partiel donne lordre p du modèle AR(p).

32 32 MA(1) (a) : (b) :

33 33 MA(q) (a) : q = 2 (b) : q = 5 (c) : q = 6 Le dernier pic significatif du corrélogramme donne lordre q du modèle MA(q).

34 34 7. Étude de la série Marché Total Les autocorrélations suggèrent un modèle MA(1). Les autocorrélations partielles suggèrent un modèle AR(14).

35 Étude de la voie moyenne mobile On suppose que w t suit un modèle MA(1) : et on a = E(w t ) =. On choisit les paramètres, et 2 à laide de la méthode du maximum de vraisemblance.

36 36 Maximum de vraisemblance On suppose que le vecteur aléatoire w = (w 1,…,w N ) suit une loi multinormale. Densité de probabilité de w : On recherche maximisant la vraisemblance

37 37 Qualité de lajustement dans ARIMA On recherche le modèle minimisant SBC. où r est le nombre de paramètres (hors 2 ).

38 38 Modèle MA(1) avec constante

39 39 Modèle MA(1) sans constante

40 40 Modélisation de z t De On déduit marché 1 an avant évaluation de la tendance 1 an avant choc aléatoire en t choc aléatoire en t-1

41 41 Calcul des prévisions et des erreurs Modèle : Prévision de z t réalisée en t-1 : Erreur de prévision à lhorizon 1 : Calcul pratique des prévisions et des erreurs sur lhistorique:

42 42 Résultats

43 43 Résultats (suite)

44 44 Résultats (fin) Vérifier les calculs pour

45 45 Graphique des ventes observées et prédites

46 46 Graphique des résidus

47 47 Qualité de lajustement dans Time Series Modeler

48 48 Validation du modèle Étude des

49 49 Validation du modèle Corrélogramme des Formule de Box-Jenkins Corrélogramme théorique des erreurs b t 0 k (b t ) 12 k

50 50 Validation du modèle : Utilisation de la statistique de Ljung-Box La statistique de Ljung-Box suit une loi du khi-deux à m-r ddl lorsque les résidus forment un bruit blanc. On accepte le modèle étudié si les niveaux de signification sont >.05 pour différentes valeurs de m.

51 51 Utilisation du modèle estimé en prévision Modèle : Prévision de z 55+h réalisée en t = 55 : h = 1 h = 2 Et ainsi de suite…

52 52 Application

53 53 Intervalle de prévision à 95% de z 55+h Chaque modèle a sa propre formule de construction de lintervalle de prévision. Modèle MA(1) :

54 54

55 55 Amélioration du modèle MA(1) On suppose maintenant le modèle est significatif. De on déduit :

56 56 Demande SPSS

57 57 Résultats

58 Étude de la voie autorégressive On suppose que w t suit un modèle AR(14) : et on a = ( …- 14 ). On choisit les paramètres, 1,…, 14 et 2 à laide de la méthode du maximum de vraisemblance. est appelé Constant dans SPSS

59 59 Résultats

60 60 Modèle AR : p = (1,2,12,13,14) avec cste Demande SPSS

61 61 Résultats

62 62 Modèle AR : p = (1,2,12,13,14) sans cste Demande SPSS

63 63 Résultats

64 64 Modèle AR : p = 2, P = 1 avec cste Demande SPSS

65 65 Résultats

66 66 Modèle AR : p = 2, P = 1 sans cste Demande SPSS

67 67 Résultats

68 68 Résultats

69 69 Résultats avec Time Series Modeler

70 70 Résultats avec Time Series Modeler

71 Étude de la voie AR/MA Modèle avec constante

72 72 Résultats

73 Étude de la voie AR/MA Modèle sans constante

74 74 Résultats

75 75 Résultats

76 76 Résultats (avec Time Series Modeler)

77 77 Résultats (avec Time Series Modeler)

78 78 8. Le modèle multiplicatif usuel ARIMA(p,d,q)*(P,D,Q) s où : Tous ces polynômes doivent être inversibles. wtwt bruit blanc

79 79 9. Prévision Le modèle général peut sécrire :

80 80 Prévision à lhorizon h Modèle Prévision avec :

81 Calcul de lintervalle de prévision De on déduit (formellement) :

82 82 Prévision de z t+h à linstant t On a Futur Passé Doù la prévision de z t+h à linstant t

83 83 Erreur de prévision à lhorizon h Doù :

84 84 Intervalle de prévision à 95% de z t+h réalisé à linstant t

85 85 Exemple « Marché Total » Modèle : On déduit : Remarque :

86 86 Marché Total : Intervalle de prévision à lhorizon h 12

87 Le modèle général de TS Modeler Le modèle à fonction de transfert N t = « Noise »

88 88 Application à la série IPI Indice de la Production Industrielle de la France ( )

89 89 Visualisation de la série IPI Cette série présente une tendance et une saisonnalité

90 90 Visualisation de la saisonnalité

91 91 Visualisation de la tendance Moyenne mobile centrée dordre 4 : Tendance Z t

92 92

93 93 Modèle avec intervention Effet mai 68 N t = « Noise » = Série corrigée stationnarisée Étapes 1.Construction de la série « Noise » 2.Modélisation de la série « Noise » 3.Estimation du modèle complet

94 94 Etape 1 : Construction de la série « Noise »

95 95 Étape 2 : Modélisation de la série « Noise » Noise suit un AR(8)

96 96 Modélisation de la série « Noise » Noise ~ ARIMA(8,1,0)*(0,1,0) 4

97 97 Modélisation de la série « Noise » Noise ~ ARIMA(0,1,0)*(2,1,0) 4 sans constante

98 98 Étape 3 : estimation du modèle complet

99 99 Étape 3 : estimation du modèle complet sans constante

100 100 Utilisation de Time Series Modeler Fenêtre 1

101 101 Utilisation de Time Series Modeler Fenêtre 2

102 102 Utilisation de Time Series Modeler Fenêtre 3

103 103 Utilisation de Time Series Modeler pour la prévision

104 104 Utilisation de Time Series Modeler pour la prévision La syntaxe SPSS PREDICT THRU END. * Time Series Modeler. TSMODEL /MODELSUMMARY PRINT=[ MODELFIT] /MODELSTATISTICS DISPLAY=YES MODELFIT=[ SRSQUARE] /MODELDETAILS PRINT=[ PARAMETERS FORECASTS] /SERIESPLOT OBSERVED FORECAST FIT FORECASTCI /OUTPUTFILTER DISPLAY=ALLMODELS /SAVE NRESIDUAL(NResidual) /AUXILIARY CILEVEL=95 MAXACFLAGS=24 /MISSING USERMISSING=EXCLUDE /MODEL DEPENDENT=ipi INDEPENDENT=i22 PREFIX='Model' /ARIMA AR=[0] DIFF=1 MA=[0] ARSEASONAL=[1,2] DIFFSEASONAL=1 MASEASONAL=[0] TRANSFORM=NONE CONSTANT=NO /TRANSFERFUNCTION VARIABLES=i22 DIFF=1 DIFFSEASONAL=1 /AUTOOUTLIER DETECT=OFF.

105 105 Utilisation de Expert Modeler

106 106 Utilisation de Expert Modeler Réponse :

107 107 Utilisation de Expert Modeler

108 108 Utilisation de Expert Modeler

109 109 Utilisation de Expert Modeler pour « All models » Réponse :


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