UED SIM – Département OLCI Année Arts & Métiers ParisTech CER ANGERS Probabilités et statistiques Cours n° 2

CER ENSAM D'ANGERS PLAN  Convergence d’une suite de V.A.  Lois limites  Définition d’un estimateur  Estimateurs ponctuels  Estimation par intervalle de confiance  Tests statistiques

CER ENSAM D'ANGERS Convergence d’une suite de variables aléatoires Définitions Convergence en probabilité : (X n ) CV en probabilités vers X ssi ∀ ε > 0, P ( | X n − X | ≥ ε) → 0 quand n → + ∞ Convergence en loi : (X n ) CV en loi vers X ssi E ( | X n − X | ) → 0 quand n → + ∞ Convergence presque sure : une suite de v.a. (X n ) CV presque surement vers une variable X ssi P (X n → X) = 1 Ex de suite de v.a. : évaluations X i de X au cours de n tirages.

CER ENSAM D'ANGERS Convergence d’une suite de variables aléatoires Lois de convergence Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Si V(X) existe, alors ∀ a > 0, P(|X-E(X)| ≥ a) ≤ V(X)/a² Loi faible des grands nombres : Lorsque n → + ∞, (X j ) j  [1,n] suite de var aléatoires i.i.d. La moyenne des X j CV en loi vers l’espér. des X j. Loi forte des grands nombres : Lorsque n → + ∞, (X j ) j  [1,n] suite de var aléatoires i.i.d. La suite des CV presque sûrement vers l’espér. des X j.

CER ENSAM D'ANGERS Convergence d’une suite de variables aléatoires (cas de ) Illustration n 00 Comportement asymptotique en 1/√n oscille de moins en moins autour de  0 (sauf en quelques points)

CER ENSAM D'ANGERS Convergence d’une suite de variables aléatoires Loi limite d’une moyenne Théorème (de la limite centrale) : Soit (X j ) j ≥ 1 une suite de v.a. réelles (d’espér  et d’écart-type σ). Quand n → + ∞, la moyenne empirique CV en loi vers N (,σ/n). Remarques : Cela est vrai même si la v.a. X ne suit pas une loi normale (applicable dès que n ≥ 50). C’est vrai pour tout n si les X j suivent une loi normale.

CER ENSAM D'ANGERS Th de la limite centrale : illustration Convergence d’une suite de variables aléatoires

CER ENSAM D'ANGERS Définition d’un estimateur Déf. 1 : Statistique S n = Expression fonction de X 1 …, X n Objectif : Trouver un estimateur sans biais, pour tout n. (Dans certains cas, le biais s’annule seulement en +) Déf. 2 : Loi statistique donnée L et  un de ses paramètres ( S n ) estimateur convergent du paramètre  ssi ( S n ) converge en loi vers le nombre  Estimation de paramètres Remarque : Un estimateur convergent peut être biaisé. Pour tout n, le biais est : E( S n )- 

CER ENSAM D'ANGERS Estimation ponctuelle Estimation de l’espérance  : Moyenne empirique Estimateur de l’écart-type  : Notations : X = v.a. évaluée sur les tirages successifs d’individus. X 1, X 2, …, X n = v.a. qui à tout tirage d’échantillon associe respectiv t les n valeurs prises par X, x 1, x 2, …, x n = Valeurs prises par ces v.a. sur un échantillon donné. Prop : La statistique est un estimateur sans biais de  Prop : S n est un estimateur biaisé de  L’estimateur sans biais est : Notations : les valeurs prises par, S n et S’ n sur un échantillon sont notées, s n, s n ’

Estimation par intervalle de confiance HSM Année CER ENSAM D'ANGERS Définition : Intervalle de confiance de  au risque  (où  [0;1]) [ S n inf ; S n sup ] encadrant  avec une probabilité 1- . Remarque : Les statistiques S n inf et S n sup sont des v.a. Elles prendront des valeurs différentes à chaque tirage d’échantillon. [ S n inf ; S n sup ] est dit centré en probabilité ssi : P ( S n sup )= /2 On choisit en général  = 5 % de sorte que seul 5 % des échantillons ne conduisent pas à encadrer le paramètre  avec les bornes s n inf et s n sup. On évalue au cours de n tirages une variable X suivant une loi normale N ( ,σ). Comment obtenir une estimation par intervalle de confiance centré, au risque 5 %, de  puis de σ ? Qu’en serait-il si on ne savait pas que la loi de X est normale ? Exercice :

Tests statistiques CER ENSAM D'ANGERS H 0 : Hypothèse sur une loi (nature ou param caractéristique) Eval sur 1 échantillon (de taille n) Ecart avec val théo (sous H 0 ) L’écart est-il alarmant ? Chercher un seuil que l’on risque peu de dépasser (sous l’hyp H 0 )

Tests de moyennes CER ENSAM D'ANGERS Cas où n > 50 et  est connu On teste l’hyp nulle H 0 :  = valeur donnée  0 On cherche s max tel que P ( S n > s max ) = , où suit N ( 0,  n) L’écart est < s max H 0 OK L’écart est > s max H 0 rejetée Tirage  prend la valeur   0 Test sur S n =

Tests de moyennes CER ENSAM D'ANGERS Cas où n < 50 et  inconnu On teste l’hyp nulle H 0 :  = valeur donnée  0 Tirage  prend la valeur   0 S n ’ prend une val s’ n On cherche t max tq P (T > t max ) = , où T suit une loi S n-1 Val de T< t max H 0 OK Val de T> t max H 0 rejetée Test sur T =

Test d’écart-type CER ENSAM D'ANGERS H 0 :  = valeur donnée  0 Tirage  S’ n prend la valeur s n ’   0 On cherche les bornes et dont on sort avec les probabilités et. On en sort H 0 rejetée On n’en sort pas H 0 acceptée Test sur T n ² = (n-1)

Tests de lois CER ENSAM D'ANGERS H 0 : La v.a. X suit une loi donnée Tirages  n valeurs de X, effectifs réels  Effectifs théo  cal ² caractéristique de la somme de ces écarts (suit une loi du KHI2  Seuil connu au risque ) H 0 OK < Seuil  cal ² H 0 rejetée > Seuil  cal ²

Test de lois CER ENSAM D'ANGERS n = nb de tirages k = nb de résultats distincts, de probas p 1, p 2, …, p k. N 1,…, N k : var aléatoires donnant les nbres de réalisations des k résultats. Th applicable dès que tous les n.p i dépassent la valeur 5. Th : La statistique CV en loi vers une loi du Khi2 à k-1-r degrés de liberté. (r étant le nombre de paramètres de loi fixés pour calculer les probas p i )

Tests de loi : exercice CER ENSAM D'ANGERS Résultat i Effectif n i On jette 600 fois un dé à 6 faces. Résultats obtenus : Tester au risque 5 % l’hypothèse (H 0 ) de distribution uniforme des résultats sur [[1 ; 6]] (hyp de dé équilibré).

Test d’indépendance CER ENSAM D'ANGERS Vérification avec les écarts Effect théor – Effect réels n. P(X= x i ). P(Y= y j ) – n ij Hyp. H 0 : 2 var aléat X et Y (discrètes) sont indépendantes H 0 P(X= x i, Y = y j ) = P(X= x i ). P(Y= y j ) pour tout (i,j) Th :  écarts²/eff théo CV en loi vers une loi du Khi2 à (I-1)(J-1) degrés de liberté. (I et J étant les nombres de valeurs de X et de Y)

Test d’indépendance : exercice CER ENSAM D'ANGERS Nb erreurs Age 1234TOTAL TOTAL On a soumis un échantillon de personnes à 1 test de code de la route. RESULTATS OBTENUS : Tester l’indépendance entre l’âge et le nombre d’erreurs.

Tests de comparaisons CER ENSAM D'ANGERS Tests d’égalité de moyennes  1 et  2 pour 2 populations Hyp. H 0 : V 1 = V 2 Hyp. H 0 :  1 et  2 (= DONNEES Moyennes sur 2 échant. (1) de la population (1) et (2) de la population (2) Test sur la différence D (sous l’hyp H 0 ) - Var normale en g al Tests d’égalité de variances V 1 et V 2 pour 2 populations Test sur F = S’ n1 ²/S’ n2 ² - Suit la loi F(n 1 -1,n 2 -1)

Analyse de la variance : Exemple CER ENSAM D'ANGERS La rugosité Y d’un cylindre usiné par tournage dépend a priori de 3 paramètres : - La profondeur de coupe X 1 - La vitesse d’avance X 2 - La vitesse de rotation du tour X 3 On réalise plusieurs tournages avec plusieurs valeurs du triplets (X 1, X 2, X 3 ) et on mesure à chaque fois Y. =Var corr de Y liée aux seules variations de X 1 (n 1 val de Y) =Var corr de Y, tous triplets confondus (n 2 val de Y) X 1 a un effet sur Y au risque 5 % ssi S’ 1 ²/S’² dépasse le seuil tabulé pour F(n 1 -1,n 2 -1)

CER ENSAM D'ANGERS Questions