L’ordinateur quantique Une révolution…

… sous le(s) signe(s) de Leibniz

Platon Aristote Newton Descartes Hume Kant Mondes possibles 1646 1716 Kant Mondes possibles Calcul dyadique Machine à calculer

Utilisation de la physique classique Calcul dyadique = Calcul binaire Mondes possibles = Thèse métaphysique Machine à calculer = Automatisation + Utilisation de la physique classique Calcul dyadique = Calcul binaire + Codage de l’information Ordinateur classique

Utilisation de la physique quantique Ordinateur classique Utilisation de la physique quantique ? Ordinateur quantique ?

1. Le monde et la théorie quantique

1. Un peu d’histoire Planck Einstein Bohr de Broglie Schrödinger - Heisenberg Born La mécanique quantique est la théorie exacte la plus complète possible von Neumann - Dirac Théorie

2. Quelques faits Expérience de Stern-Gerlach Z X Z

Mesure de polarisation

Réflexion partielle

Expérience de Young

3. La théorie 1. État de Q isolé 2. Observable A de Q Opérateur hermitien A 3. Évolution au cours du temps 4. État de S composé de Q et Q’

5. Résultats de mesure de A sur Q dans l’état de norme 1 tels que où avec une probabilité pour j tels que

4. Quelques interprétations Copenhague (Bohr-Heisenberg): Un système non observé ne possède pas de propriétés bien définies Potentialité (Heisenberg) Le monde est une superposition de potentialités, actualisées lors des mesures

Copenhague’ (Wheeler): Les propriétés d’un système sont créées par l’observation Conscience (London-Bauer-Wigner): C’est la conscience qui crée la réalité Logique quantique (Birkhoff-von Neumann) Le monde obéit à une logique non classique

Variables cachées (Bohm): Le monde est non local Mondes multiples (Everett): Il n’y a pas de réduction du vecteur d’état mais autant de mondes que de résultats possibles d’une mesure Néoréalisme (?): Il existe une réalité au-delà du monde des phénomènes

5. Encore un peu d’histoire Théorie La mécanique quantique est la théorie exacte la plus complète possible J.S.Bell Il se pourrait que la mécanique quantique ne soit pas la théorie exacte la plus complète possible

6. Un fait nouveau a a’ λ b b’

Or, expérimentalement, et, par conséquent, Donc

7. Quelques lectures Aucune théorie locale, et plus complète que la mécanique quantique, ne peut décrire le monde exactement Le monde est non local, i.e. il existe v > c Le monde est phénoménalement local et réellement inséparable

8. La lecture de R.P. Feynman La nature effectue certaines opérations qu’un ordinateur classique ne peut effectuer

Seul un ordinateur quantique pourrait fidèlement simuler le comportement de la nature Pourrait-on construire un ordinateur un ordinateur quantique ?

2. L’information quantique

1. qubits L’unité d’information classique est le bit : un objet qui vaut 0 ou 1 1 L’unité d’information quantique est le qubit : un vecteur dans un espace de Hilbert de dimension 2

Remarques est la probabilité de trouver le qubit dans l’état lors d’une mesure, et celle de le trouver dans l’état Un espace de Hilbert est un espace vectoriel muni d’un produit intérieur et complet est une base de vecteurs orthonormés, dite « computationnelle » Il existe d’autres bases de vecteurs orthonormés. Par exemple, celle constituée de

Tant qu’il n’est pas observé, un qubit peut exister dans un continuum d’états La mesure d’un qubit n’a que deux résultats possibles : 0 et 1.

2. Portes quantiques Portes logiques (classiques) = Opérations logiques simples sur des bits Exemples : a a NOTa aNANDb b

Portes (logiques) quantiques = Opérations unitaires simples sur des qubits (Unitaires parce que normalisation des états exigée )

2.1. Portes sur un seul qubit La porte phase S La porte « NOT » X S X

La porte Y La porte Z Y Z

La porte d’Hadamard H H

2.2. Portes sur deux qubits Porte « CNOT », « NOTContrôlée », ou « XOR »

2.3. Portes sur trois qubits Porte « de Toffoli »

2.4. Propriétés caractéristiques Il existe une infinité de portes sur un seul qubit >< il n’existe que deux portes sur un seul bit : I et NOT Y = -i.X.Z, H.Z.H = X, H2 = I, … X, Y et Z, sont aussi dites « de Pauli » Les portes quantiques sont unitaires Les portes quantiques sont inversibles >< certaines portes classiques ne le sont pas (NAND, XOR,…)

Toute porte pour n qubits peut être décomposée en portes CNOT et en portes pour un seul qubit

3. Combinaisons de portes Exemple X1H2XOR13 X H t

4. Circuits Fils États pré-préparés Interdiction de boucles, « FANIN » et « FANOUT » Combinaisons de portes, y compris pour n qubits U

Préparation d’états de Bell Appareils de mesure Exemples Inverseur Préparation d’états de Bell bits H

5. Une particularité embarrassante: L’impossibilité du clonage Un état quantique inconnu ne peut être cloné i.e. il est impossible de produire des copies fidèles d’un état quantique, à moins qu’il existe déjà une information classique qui le spécifie

6. Trois particularités intéressantes A. Le codage dense L’intrication quantique est une source d’information

Des qubits peuvent être transmis B. La téléportation Des qubits peuvent être transmis sans être envoyés

Il est possible de distribuer secrètement une clef aléatoire C. La cryptographie Il est possible de distribuer secrètement une clef aléatoire

C. L’aléatoire Il est possible de générer des nombres de manière véritablement aléatoire

7. L’algorithmique quantique

Calculs classiques effectués sur un ordinateur quantique On peut (évidemment) simuler un circuit classique au moyen d’un circuit quantique

Mais pas directement ! Parce que les portes quantiques sont réversibles alors que certaines portes classiques ne le sont pas

Cependant, Tout circuit classique peut être simulé par un circuit quantique grâce à l’usage de portes de Toffoli Exemple : la porte NAND a a b b 1

« Parallélisme » quantique Un circuit quantique permet d’évaluer simultanément la valeur de f(x) pour différentes valeurs de x

Le problème de Deutsch: Soit une fonction f : déterminer si elle est constante ou équilibrée Classiquement, il faut calculer f(0) et f(1) et donc évaluer f deux fois.

Quantiquement, il suffit de l’évaluer une fois ! En effet,

L’information sur la fonction est dans la phase !

L’algorithme de Deutsch Uf H H

donc f constante équilibrée Il existe un algorithme démontrant qu’un ordinateur quantique serait parfois plus rapide qu’un ordinateur classique

Autres algorithmes Algorithme de Shor Algorithme de Grover

3. L’ordinateur quantique

Objections Problème lié à l’impossibilité de copier >< algorithmes de correction d’erreur de Shor, Steane Décohérence (S. Haroche, …) >< ? Mécanique quantique inexacte

Résultats IBM 2001 O’Brien 2009 : implémentation de l’algorithme de Shor dans une puce optique de 1 mm2

Recherches techniques optiques piégeages d’ions ou d’atomes neutres résonance magnétique nucléaire piégeages dans cavités e-m quantum dots …

Budgets Publics : USA (100 M euros), Canada (32 M), Japon (20 M), Australie (20 M), Brésil (15 M), Chine (14 M), UE (8 M), …, organismes publics (NSA, …), grands centres de recherche (Yale, Oxford, Cambridge, Waterloo, ...) Privés : AT&T, IBM, HP, …, D-Wave

Quand ? ?

4. Une révolution… …sans précédent

Technique Croissance exponentielle de la puissance des ordinateurs et diminution de leur taille ? ? Modification de la conception de l’humain

notre monde est déterminé par les autres mondes possibles Philosophique Le monde et les (autres) mondes possibles Acceptation de l’idée que notre monde est déterminé par les autres mondes possibles et de toutes ses conséquences