Analyse de la proposition d’enseignement du cercle circonscrit au triangle Type de tâches et tâches  Un seul type de tâches T : « déterminer le nombre de cercles passant par n ≥ 2 points distincts du plan »  Se décline en 3 tâches : - t 1 : « déterminer le nombre de cercles passant par 2 points distincts du plan » - t 2 : « déterminer le nombre de cercles passant par 3 points distincts non alignés du plan » Remarque : les situations 2 & 3 engagent les élèves dans deux sous-tâches correspondant respectivement à la détermination de l’existence d’un cercle et à son unicité - t 3 : « déterminer le nombre de cercles passant par 3 points distincts alignés du plan ».

Eléments théoriques Connaissances disponibles en géométrie plane en 5 e : axiomes d’incidence, axiome d’Euclide, unicité de la perpendiculaire à une droite par un point, « deux droites sécantes ont des perpendiculaires sécantes », unicité du milieu d’un segment,… Connaissances du plan affine euclidien qui semblent aller de soi et généralement pas interrogées à ce niveau ; par exemple, invariance de certaines propriétés des figures par isométrie ou similitude. Connaissances disponibles en numérique ; par exemple la transitivité de la relation d’égalité.

Eléments technologiques Définition 1 : on appelle cercle de centre O et de rayon R l’ensemble des points du plan situés à la distance R du point O, ou encore, on appelle cercle de centre O passant par le point A l’ensemble des points du plan situés à la distance OA du point O. Définition 2 : on appelle médiatrice d’un segment la perpendiculaire à ce segment en son milieu Définition 3 : on dit que deux droites distinctes sont parallèles si elles n’ont aucun point commun

Eléments technologiques Théorème (propriété caractéristique) : la médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment. Théorème : si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, elles sont parallèles

Techniques  1 : d’après le « bilan » de la page 23 et « l’observation » qui le précède - convertir la question en : « si un cercle passe par 2 points, où est son centre ? » - convertir la question en : « si un cercle passe par 2 points, quelle propriété vérifie son centre ? » - convertir « si deux points sont sur le même cercle, ils sont équidistants de son centre » en « si deux sont sur le même cercle, son centre est équidistant de ces deux points » (Déf. 1)

utiliser la propriété caractéristique pour conclure que le centre est sur la médiatrice de ces deux points réciproquement, en utilisant de nouveau la propriété caractéristique, conclure que si un point est sur la médiatrice, il est équidistant, donc est centre d’un cercle passant pas ces deux points conclure des deux étapes précédentes que tout point de la médiatrice est centre d’un cercle passant par les deux points sachant (axiome) qu’une droite contient une infinité de points, conclure qu’il y a une infinité de centres de cercles passant par les deux points sachant qu’un cercle possède un unique centre, conclure qu’il y a une infinité de cercles passant par les deux points

 2 : d’après le c) page 25 constater qu’un point (D) est à la fois sur la médiatrice d’un segment et aussi sur la médiatrice de l’autre appliquer deux fois la propriété caractéristique de la médiatrice d’un segment et conclure que ce point est équidistant des extrémités de l’un et de l’autre des segments ; ce qui permet d’écrire deux égalités de longueurs, ou d’affirmer que deux triangles sont isocèles constater que les deux égalités écrites portent sur une longueur commune, ou que les triangles isocèles ont un des côtés égaux en commun comme l’égalité est transitive, déduire l’égalité entre trois longueurs de segments

conclure qu’alors ce point (D) est équidistant des trois extrémités des segments de la figure convertir « si un point (D) est équidistant de trois autres (A, B et C) » en « trois points (A, B et C) sont équidistants du même point (D) » utiliser la définition 1 pour conclure que comme les trois extrémités sont équidistantes du même point (D), alors elles sont sur le même cercle de centre D conclure qu’il passe au moins un cercle (celui de centre D) par les trois points (A, B et C)

 2 + : d’après situation 3 pages 26 & 27 sur une figure isométrique de la précédente, construire deux médiatrices des côtés dont l’une n’a pas été antérieurement construite appeler K le point d’intersection de ces deux médiatrices constater que parfois, sur certains des triangles dessinés dans la classe, les trois médiatrices forment « un petit triangle » dont deux des sommets sont D et K dessiner d’autres triangles pour essayer d’agrandir « le petit triangle » des médiatrices constater que lorsque le triangle « grandit », le « petit triangle » ne « grandit pas proportionnellement », et parfois même pas du tout, voire « diminue »

en utilisant l’un des éléments théoriques, conclure que l’existence du « petit triangle » est due à l’imprécision de la construction conclure que le « petit triangle » n’existe pas dans la géométrie théorique (ou théorie géométrique que l’on est en train de construire), même s’il existe parfois sur les figures (géométrie expérimentale) conclure que les médiatrices n’ont qu’un point en commun conclure que le cercle est unique (car s’il y a un autre cercle, son centre O’ est équidistant des trois sommets, donc est sur les trois médiatrices, or elles n’ont qu’un point commun)

 3 : d’après le texte en italique de la situation 4, page 27 constater que deux médiatrices sont perpendiculaires à une même troisième appliquer alors le théorème pour conclure qu’elles sont parallèles conclure, par définition de deux droites parallèles, qu’elles ne peuvent se couper conclure que le point D centre du cercle dans la situation précédente n’existe pas conclure que si le centre d’un cercle n’existe pas, alors le cercle lui-même n’existe pas

Organisation didactique Une première rencontre avec T en plusieurs étapes à travers la dévolution de t 1, t 2 et t 3 Une exploration de T concomitante d’élaboration de techniques : cercles de rayon AB et de centres A et B, cercle de diamètre [AB], de centres des points de ce cercle, position variable des points (alignés, rectangle, isocèle, équilatéral), médiatrice, « petit triangle des médiatrices » (p. 26) Des institutionnalisations, partielles parfois : « bilans » et « à retenir » (pages 23, 25, 27) La construction d’un bloc technologico-théorique : équidistance (médiatrice, cercle), transitivité de =, existence et unicité

Organisation didactique : remarques Laisser de la place et du temps à la recherche par les élèves à travers de multiples dévolutions Mais une direction exercée par le professeur : situation 2 (tracer 2 segments, tracer leurs médiatrices, « suggérer » la transitivité), situation 3 (engager et diriger les élèves dans une dialectique entre expérimentation et déduction, indiquer les conséquences de l’observation) Une dialectique des milieux (rétroactions des figures et constructions) et des médias (intervention du professeur)