Dr. Thierry Bordignon Modèles de l’acquisition et du traitement du nombre et des quantités

Chez l’adulte

Modèles du traitement des nombres et des quantités Approche neuropsychologique Existe de nombreux modèles – Architecture modulaire du traitement des nombres et du calcul (McCloskey, 1985) – Modèle du triple code (Dehaene, 1992)

Modèle du triple code (Dehaene, 1992)

Modèle du triple-code Postule l’existence de : – 3 types de représentation des nombres – voies de communication – 2 types de mécanismes

Représentation visuelle arabe Utilise une image visuelle des numéraux arabes Dispose de mécanismes spécifiques de lecture et de production des numéraux arabes Est utilisée pour réaliser mentalement – des opérations à plusieurs chiffres – les jugements de parité

Représentation auditive verbale Utilise une forme auditive du numéral verbal Dispose de mécanismes spécifiques de traitement linguistique Est utilisée pour réaliser – les tâches de comptage – la récupération des faits arithmétiques stockés sous forme d’associations verbales

Représentation analogique de la quantité Utilise le continuum mental Dispose de mécanismes préverbaux – subitizing – estimation Est utilisée pour réaliser – les calculs approximatifs – les comparaisons de nombres

Modèle du Triple-code (Dehaene, 1992) Calcul approximatif Comparaison s numériques SubitizingEstimation Lecture des numéraux arabes Ecriture des numéraux arabes Lecture Audition Ecriture Production orale Système préverbal du raisonnement arithmétique Module général pour le traitement du langage Comptage Tables de multiplication Jugements de parité Calculs mentaux complexes Représentation Analogique 0 +  Représentation Visuelle Arabe 13 Représentation Auditive Verbale /treize/

Continuum mental Orienté de gauche à droite Obéissant à la loi de Weber-Fechner « lorsque le nombre de référence double, la distance numérique que l’on parvientà distinguer avec le même taux de réussite double également »

Continuum mental

Effet de distance Variation systématique du taux d’erreur en fonction de la différence numérique  plus facile de discriminer 6 vs 10 que 4 vs

Effet de taille Variation systématique du taux d’erreur, à distance constante, lorsque augmente la taille des nombres à comparer  plus facile de discriminer 1 vs 2 que 5 vs

Modèle du triple-code Permet d’expliquer les performances numériques : patients cérébrolésés – patient NAU – patient DRC

Patient cérébrolésé NAU Incapable de donner la réponse à ou de vérifier si = 5 est correct Mais rejet de = 9  Atteinte de la représentation visuelle arabe mais préservation de la représentation analogique

Patient cérébrolésé DRC Incapable de réaliser correctement des opérations arithmétiques Propose toujours des réponses proches de la cible  Atteinte de la représentation visuelle arabe mais préservation de la représentation analogique

L’imagerie cérébrale… a permis d’identifier et de localiser deux processus de traitement du nombre : processus indépendant du langage  quantités approximatives (lobes pariétaux & sulcus intrapariétal) processus dépendant du langage  quantités exactes (lobe frontal gauche)

L’imagerie cérébrale… a également permis d’identifier que régions préfrontales  mise en place de séquences de calcul noyaux gris centraux (hémisphère gauche)  tables de multiplication, comptines, citations, etc.

Localisations

Modèle du triple-code Permet d’expliquer les performances numériques : patients cérébrolésés – patient NAU – patient DRC de certaines espèces animales telles – rats – pigeons – chimpanzés – etc.

Le rat doit appuyer x fois sur un levier en fonction d’un nombre x de stimuli : Résultats : appuie 3 à 5 fois pour le stimuli 4 appuie 7 à 10 fois pour le stimuli 8 appuie 16 à 19 fois pour le stimuli 16

Le pigeon est capable de discriminer 45 vs 50 éléments

Le chimpenzé est capable de choisir entre 2 plateaux, celui sur lequel la somme de deux collections de friandises est la plus numéreuse

Chez l’enfant

Modèles développementaux de l’acquisition de la notion de nombre et du dénombrement Existe de nombreux modèles d’acquisition : du subitizing (Kaufman, 1949) du nombre (Piaget & Szeminska, 1941) du dénombrement (Potter & Levy, 1968) du comptage (Gelman & Gallistel, 1978) de la chaîne numérique verbale (Fuson & al., 1982)

Subitizing (Kaufman, 1949)

Subitizing « Perception immédiate et globale de la valeur numérique de petits ensembles (3 ou 4 éléments), sans recours au comptage » (Fayol, 1990)

Subitizing Enfant capable de distinguer à 4 jours, 1 vs 2 et 2 vs 3 éléments 6 mois, comparer des petites quantités (intermodales) mois, 2 vs 3 et 3 vs 4 éléments mois, le plus grand de deux ensembles 1 vs 2 ; 2 vs 3 et 3 vs 4

Acquisition du nombre (modèle Piagétien, 1941)

Piaget & Szeminska (1941), Flavell (1977) Permanence de l’objet Subitizing Notion d’oppositions Notion de rythme Classement et catégorisation (2  8-10 ans) Sériation (4  8 ans) Correspondance terme à terme (5  8 ans)

“un ensemble d’objets change de valeur numérique uniquement si des éléments sont ajoutés ou retranchés” Permet de construire une représentation abstraite du nombre Mise en place de ces éléments :  maîtrise de l’invariance du nombre (10 ans)

Dénombrement (Potter & Levy, 1968)

« Procédure de base permettant d’évaluer de manière précise des collections dont la taille importe peu » Dénombrement (Potter & Levy, 1968)

Nécessite : la connaissance des noms-nombres dans l’ordre la maîtrise de la correspondance terme à terme (collection d’objets et collection de mots-nombres ordonnés) la coordination de ces deux habiletés

Dénombrement et enfant Tâche de pointage chez l’enfant de 2-4 ans nombre d’erreur croît avec la taille des ensembles à traiter impact des dispositions spatiales interaction entre ces deux facteurs

Acquisition du comptage (Gelman & Gallistel, 1978)

Gelman & Gallistel Maîtrise de 5 concepts pour accéder au comptage : principe d’ordre stable principe de stricte correspondance terme à terme principe de cardinalité principe d’abstraction principe de non pertinence de l’ordre

Chaîne numérique verbale (Fuson, Richards & Briars, 1982)

Chaîne numérique verbale Se met en place entre 2 et 6 ans Maîtrise en deux temps – Acquisition d’un lexique – Elaboration de la chaîne numérique

Acquisition de la chaîne numérique verbale (lexique) Acquisition par cœur d’une suite d’étiquettes verbales partie stable et conventionnelle partie stable et non conventionnelle partie ni stable et ni conventionnelle

Elaboration de la chaîne numérique verbale Niveau chapelet Niveau chaîne insécable (4 ans) Niveau chaîne sécable (6 ans) Niveau chaîne terminale (7 ans)

Niveau chapelet Aucune individualité des noms des nombres Noms insérés dans la séquence Récitation portant sur un bloc verbal dépourvu de sens

Niveau chaîne insécable Séquence composée de mots individualisés Mais qui reste un tout insécable Enfant compte toujours en commençant par 1 Enfant commence à résoudre des problèmes additifs et soustractifs par comptage

Niveau chaîne sécable Apparition et développement de la flexibilité dans l’emploi de la suite verbale Enfant peut compter de x à y

Niveau chaîne terminale Nombres traités comme des entités distinctes Enfant peut compter n à partir de x Développement des procédures de résolution d’additions et de soustraction Enfant peut compter à rebours

Mais modèles actuels… Peu appropriés car : – sont de type "logique" (pré-requis vs précurseurs) ; – sont essentiellement linéaires ; – ne tiennent pas toujours compte des données récentes de la psychologie développementale et de la neuropsychologie.  nécessité d'un nouveau modèle

Précurseurs cognitifs à la construction de l’habileté à dénombrer (Bordignon, 2007)

Précurseurs identifiés Habileté de discrimination des quantités Chaîne numérique verbale Schème parcours Schème du parcours ordonné Schème du parcours combiné coordonné

Habileté à dénombrer Chaîne numérique verbale : niveau chapelet Chaîne numérique verbale : niveau insécable Chaîne numérique verbale : niveau sécable Chaîne numérique verbale : niveau dénombrable Schème parcours Schème du parcours ordonné Schème du parcours combiné coordonné Habileté de discrimination des quantités

Est disponible très tôt chez l'enfant Permet de percevoir et de discriminer des quantités Est indépendante du langage Est une représentation de type continuum mental (Dehaene & Cohen, 1995)

Continuum mental Quantités représentées sur une droite continue – Orientée de gauche à droite – Suivant la loi de Weber-Fechner

Chaîne numérique verbale Suite conventionnelle d'étiquettes numériques verbales "1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …"

Schème parcours (SP) Permet de construire une correspondance terme à terme entre deux collections Les éléments de la 1ère collection servent de marqueurs pour parcourir les éléments de la 2ème collection

Schème du parcours ordonné (SPO) Permet de parcourir de manière ordonnée et exhaustive tous les éléments d'une collection

Schème du parcours combiné coordonné (SPCC) Permet de parcourir de manière ordonnée et simultanée deux collections d'éléments

Émergence du dénombrement Le schème parcours et le schème du parcours ordonné sont initialement indépendants Leur coordination permet l’émergence du schème du parcours combiné coordonné La suite conventionnelle des mots-nombres est élaborée de manière indépendante

Émergence du dénombrement La coordination entre l’habileté de discrimination des quantités, du schème du parcours combiné coordonné et de la suite conventionnelle des mots-nombres permet l’émergence du dénombrement

Recherches et Résultats

De manière générale Pas d'influence du sexe des sujets

Habileté de discrimination des quantités Expérience 1 : – Discriminer des quantités continues ou discrètes présentées sur un écran – 154 sujets âgés entre 3;7 et 7;6 ans

Habileté de discrimination des quantités

Résultats tâche 1 : – Discrimination plus facile des quantités discrètes – Discrimination plus facile des petites quantités

Habileté de discrimination des quantités Tâche 2 : – Ranger sur une droite orientée des étiquettes sur lesquelles sont représentées des quantités continues ou discrètes – 185 sujets âgés entre 2;7 et 7 ans

Habileté de discrimination des quantités Résultats tâche 2 : – Pas d'influence de l'orientation de la droite – Pas d'influence de la forme des quantités – Traitement dichotomique des quantités

Chaîne numérique verbale Expérience : – Réplication de l’étude de Fuson et al. (1982) – 498 sujets âgés entre 2;7 et 7 ans

Chaîne numérique verbale Résultats : – Est élaborée entre 3 et 7 ans – Différences interindividuelles importantes – 4 niveaux étudiés : ◦Niveau chapelet ◦Niveau chaîne insécable ◦Niveau chaîne sécable ◦Niveau chaîne dénombrable

Chaîne numérique verbale Niveau chapelet – En place vers 3 ans – Aucune individualité des noms des nombres – Récitation portant sur un bloc verbal dépourvu de sens

Chaîne numérique verbale Niveau chaîne insécable – En place entre 5;1 et 6 ans – Séquence composée de mots individualisés – Mais qui reste un tout insécable : enfant compte toujours en commençant par 1 – Suffisant pour accéder au dénombrement

Chaîne numérique verbale Niveau chaîne sécable – En place entre 5;7 et 6 ans – Apparition et développement de la flexibilité dans l’emploi de la suite verbale – Enfant peut compter à rebours

Chaîne numérique verbale Niveau chaîne dénombrable – En cours d’acquisition à 7 ans – Maîtrise de la chaîne numérique verbale

Schème parcours Expérience : – Tâche piagétienne de correspondance terme à terme – 291 sujets âgés entre 2;7 et 7 ans

Schème parcours Résultats : – En place entre 2;7 et 5;6 ans – 3 stratégies utilisées : ◦"sur" ◦"devant" ◦"à côté" – Stratégie utilisée influence les performances

Schème du parcours ordonné Expérience : – Ramasser chaque pièce cachée sous chacun des 10 bouchons alignés – 172 sujets âgés entre 2;7 et 7 ans

Schème du parcours ordonné Résultats : – Commence à se mettre en place entre 3;1 et 4 ans – Est toujours en cours d'acquisition à 7 ans – Le SP et le SPO se développent de manière indépendante

Schème du parcours combiné coordonné Expérience : – Déposer une et une seule bille dans 10 cylindres alignés – 171 sujets âgés entre 2;7 et 7 ans

Schème du parcours combiné coordonné Résultats : – Commence à se mettre en place dès 2;7 ans – Est toujours en cours d'acquisition à 7 ans – Le SP et le SPO sont des précurseurs

Habileté à dénombrer Expérience : – Dénombrer de 1 à 10 jetons disposés de manière linéaire ou aléatoire – 498 sujets âgés entre 2;7 et 7 ans

Habileté à dénombrer Résultats : – Commence à se mettre en place à 3;1 ans – Est toujours en cours d'acquisition à 7 ans – La disposition spatiale influence les performances – Différences interindividuelles importantes

Liens entre l'habileté à dénombrer et les précurseurs identifiés Analyse des protocoles individuels : – Tous les sujets qui dénombrent correctement 10 éléments maîtrisent le SP – Un début de maîtrise du SPO est suffisant pour permettre l'émergence du dénombrement – Un début de maîtrise du SPCC est suffisant pour permettre l'émergence du dénombrement – L'accès au niveau de la chaîne insécable de la chaîne numérique verbale est suffisant

Étude de cas Enfant présentant un retard mental – Est âgé de 11;8 ans – Montre des difficultés pour dénombrer 10 jetons disposés de manière linéaire – Ne maîtrise pas : ◦le schème du parcours ordonné ◦le schème du parcours combiné coordonné

Habileté digitale Expérience : – "Montrer avec les doigts" une quantité de 1 à 10 jetons – Ensuite verbaliser la réponse – 75 sujets âgés entre 3;7 et 5;6 ans

Habileté digitale Résultats : – Est utilisée essentiellement entre 3;7 et 4 ans – Permet de représenter une quantité à l’aide des doigts sans nécessairement disposer d’un langage numérique – Utilise le schème parcours

Discussion

Pas indispensable de maîtriser entièrement un précurseur pour accéder au précurseur suivant Plusieurs cheminements possibles pour accéder au dénombrement

Conclusion

L'acquisition du dénombrement – est un processus long, complexe et non linéaire – commence à se mettre en place avant l'âge de 2;7 ans – est toujours en cours de construction à 7 ans

Intérêts du modèle Au niveau pédagogique : favoriser l'accès au dénombrement – schèmes parcours, parcours ordonné et parcours combiné coordonné – apprentissage de la chaîne numérique verbale – habileté digitale

Intérêts du modèle Au niveau de la remédiation cognitive – Identifier le précurseur qui n'est pas maîtrisé – Élaborer une remédiation qui favorise la mise en place de ce précurseur

Dr. Thierry Bordignon Modèles de l’acquisition et du traitement du nombre et des quantités

Architecture modulaire du traitement des nombres et du calcul McCloskey (1985)

Architecture modulaire McCloskey (1985) Modules fonctionnellement distincts : Mécanismes de compréhension Mécanismes de production Mécanismes de calcul Représentation abstraite sous-tendant ces mécanismes

Composantes de base du modèle de McCloskey (1985) Système sémantique Système de compréhension Système de production Système de calcul cinq 5

Système de compréhension Spécifique à la notation Doté de mécanismes qui traitent les aspects lexicaux ou syntaxiques des formes numériques

Système sémantique Toute forme numérique est transformée en une représentation sémantique abstraite de la quantité

Système de calcul Traite uniquement des représentations sémantiques abstraites Dispose de divers mécanismes pour – comprendre le sens des opérateurs arithmétiques – récupérer les faits arithmétiques de base en mémoire – appliquer correctement les procédures de calcul

Système de production Spécifique à la notation Traitant de la représentation sémantique abstraite Doté de mécanismes qui traitent les aspects lexicaux ou syntaxiques des formes numériques

Subitizing

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Subitizing

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