Maths en Jean : Nager dans le brouillard

Présentation du sujet Une personne part du bord de la plage et nage 500 mètres en ligne droite dans une direction choisie au hasard. Après une pause, il se retrouve dans le brouillard et cherche à rejoindre la plage en choisissant à nouveau une direction au hasard et en nageant au maximum 500 mètres. Quelle est la probabilité qu'il retrouve la plage?

Dans un premier temps on a supposé que la côte était rectiligne. On décide que la plage est en dessous de l'axe des abscisses. On choisit 5 unités pour représenter les 500 mètres. Exemple de trajet qui rejoint la plage. Exemple de trajet qui ne rejoint pas la plage

Choisir un trajet au hasard revient à choisir deux angles au hasard. Le premier entre 0 et 180° Le deuxième entre 0 et 360°

Partie 1 : simulation

On retrouve ici la fréquence de retour à la plage. Cette fréquence est représentée par tous les segments qui passent en dessous de 0 en ordonnées. En augmentant le nombre de trajets aléatoires effectués à l'aide de géogébra à 1000, la fréquence se stabilise entre 0,2 et 0,3.

Partie 2 : programmation Nous avons décidé de faire un programme qui découpe le cercle en un nombre donné de parts égales et qui nous renvoie à la fin la probabilité que le nageur rentre sur la plage.

Pour un angle a fixé, la probabilité de rejoindre la côte est définie par : C'est-à-dire :

L'angle b est égal à : 180-2a si l'angle est inférieur ou égal à 90° 2a-180 si l'angle est supérieur à 90°

Pour n=6, le programme découpe le cercle en 6 parts égales. On obtient une valeur approchée de la probabilité cherchée en faisant la moyenne des 7 probabilités correspondant à chaque point du cercle. Plus n sera grand, plus la valeur obtenue sera précise.

Par exemple, pour n=6 l'angle a vaut successivement 0; 30; 60; 90; 120; 150; 180. Le calcul est : Ce qui donne environ 0,286.

Mettre 0 dans S Demander N Pour I allant de 0 à N Calculer (180*I)/N et le stocker dans A Si A ≤ 90 Alors calculer 180-2*A et le stocker dans B Sinon calculer 2*A-180 et le stocker dans B Fin du Si Calculer S+(B/360) et le stocker dans S Fin du Pour Afficher S/(N+1) Langage naturelLangage TI 0 → S Prompt N For (I,0,N) (180*I)/N → A If A ≤90 Then 180-2*A → B Else 2*A-180 → B End S+(B/360) → S End Disp S/(N+1)

Voici quelques exemples de résultats suite à l'utilisation du programme : pour n=6 on obtient 0,286 pour n=25 on obtient 0,26 pour n=100 on obtient 0,252 pour n=1000 on obtient 0,2502 pour n=10000 on obtient 0,25002

Partie 3 : utilisation du tableur Pour répondre au problème il faut prendre 2 angles au hasard. Nous avons donc décidé de faire un tableau à double entrée : à l'horizontal on a mis le deuxième angle et à la verticale le premier angle. Grâce à des formules nous avons rempli le tableau de 1 et de 0, le 1 correspondant aux trajets qui rejoignent la côte et le 0 correspondant aux trajets qui ne rejoignent pas la côte.

... Angle a Angle b Pour l'angle de 0 à 90° nous avons entré la formule =SI(B$1<=180-2*$A2;1;0). Pour l'angle de 91 à 180° nous avons entré la formule =SI(B$1>=540-2*$A94;1;0).

Nous obtenons 180*360= cas. En comptant le nombre de 1, nous obtenons le nombre de situations parmi les qui mènent à la plage, soit Ce qui donne une fréquence de / = 0,2528.

Partie 4 : conclusion La simulation sur géogébra nous donne une fréquence entre 0,2 et 0,3. Le programme nous donne une probabilité entre 0,25 et 0,3. Le tableau sous excel nous donne une fréquence d'environ 0,2528. Nous aimerions obtenir une valeur exacte.

Nous avons ensuite colorié en vert les cases du tableur comportant un 1

Dans le tableur les valeurs vont de 1 en 1 et pour obtenir une valeur exacte il faut envisager toutes les valeurs possibles. Tous les cas possibles sont représentés par un rectangle de hauteur 180 et largeur 360. Un point quelconque du rectangle correspond à un trajet au hasard (avec des valeurs de a et b pas forcément entières). Les deux parties colorées du tableur deviennent des triangles. Nous obtenons deux parties « en escalier » colorées en vert. La première en haut à gauche, la deuxième en bas à droite du fichier.

Nous nous apercevons donc que les trajets qui rejoignent la côte représentent ¼ des trajets. Si on rapproche les deux triangles on s’aperçoit qu'un quart du rectangle est colorié en vert.