Les probabilités fournissent une description mathématique de l’incertain c’est-à-dire d’événements « aléatoires ». Introduction aux probabilités Néanmoins, les phénomènes aléatoires suivent souvent des formes connues a priori et c’est cette régularité à long terme qui peut être décrite mathématiquement au travers de la théorie des probabilités. Un événement est dit « aléatoire » quand l’issue (le résultat) d’une expérience (exemple : jeter un dé,…) n’est pas connue par avance c’est-à-dire qu’elle est soumise au hasard. latin Remarque : en latin, alea signifie « coup de dé ».

Expérience aléatoire : expérience possédant les caractéristiques suivantes : Expérience (ou épreuve) : procédure définie précisément et donnant un résultat (par définition imprévisible). Jeter un déTirer une carteJouer à la roulette   l’ensemble (dit fondamental) des résultats (cad toutes les issues possibles) de l’expérience est connu avant l’expérience, ‚ ‚ le résultat de l’expérience n’est connu qu’après la réalisation de l’expérience. Introduction aux probabilités

Ensemble fondamental (noté  ) : ensemble de tous les résultats pos- sibles d’une expérience. Expérience : Jeter un déTirer une carteJouer à la roulette  =[1 , 1 , 1, 1 , 2 , 2 , 2, 2 , … R , R , R, R   =[00, 0, 1, 2, … 34, 35, 36]  =[1, 2, 3, 4, 5, 6] Evénement élémentaire (ou réalisation) : chaque élément (noté  ) d’un ensemble fondamental. Introduction aux probabilités

Evénement élémentaire (ou réalisation) : chaque élément (noté  ) d’un ensemble fondamental.  =[1 , 1 , 1, 1 , 2 , 2 , 2, 2 , … R , R , R, R   =[00, 0, 1, 2, … 34, 35, 36]  =[1, 2, 3, 4, 5, 6] Evénement (ou événement composé) : proposition logique relative au résultat de l’expérience c’est-à-dire une partie E de . Introduction aux probabilités Expérience : Jeter un déTirer une carteJouer à la roulette Obtenir un résultat  à 4 Tirer une carte de Impair et passe

Obtenir Evénements Exemple d’ensemble fondamental discret Fréquences Introduction aux probabilités Etablies en fonction d’une « expérience » On jette le dé 600 fois … Obtenir Evénements 98/ /600 … Fréquences relatives et Probabilités Valeur limite des fréquences relatives Compris entre 0 et 1

Obtenir Evénements Exemple d’ensemble fondamental discret 1/61/61/61/61/61/6 Probabilités subjectives Introduction aux probabilités Etablies en fonction de « mon expérience » Exemple d’ensemble fondamental continu 13h50-14h0014h00-14h1014h10-14h20 1/31/21/6 Probabilités subjectives Evénements Heure d’arrivée Intervalles

Introduction aux probabilités Variable aléatoire Considérons le fait de lancer deux dés (parfaitement équilibrés). Cette expérience se traduit par l’ensemble  ={(1,1);(1,2);…(6,6)} où chaque événement  a une probabilité égale à 1/36 d’être réalisé. Intéressons-nous maintenant à la somme (notée X) des deux dés et définissons l’ensemble E={2, 3, …, 12}. Variable aléatoire : à chaque réalisation d’une expérience on pourra donc associer une valeur unique avec une certaine probabilité (loi de probabilité) que celle-ci soit obtenue. Exemple : P(X=5)=P({(1,4);(2,3);(3,2);(4,1)}=4/36=1/9

Introduction aux probabilités Variable aléatoire discrète et loi de probabilitédistribution loi de probabilité (ou distribution) x … 12 P(X=x)1/362/363/364/365/366/36 …1/ /36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36

Introduction aux probabilités Variable aléatoire discrète et probabilité cumuléefonction de répartition probabilité cumulée (ou fonction de répartition) x … 12 P(X=x)1/362/363/364/365/366/36 …1/36 x 2 et … 1213 et + P(X<x) 01/363/366/36 10/3615/36 …35/36 36/36 La fonction de probabilité cumulée est telle que :

Introduction aux probabilités Variable aléatoire discrète et probabilité cumuléefonction de répartition probabilité cumulée (ou fonction de répartition) Fonction de probabilité cumulée définie telle que :

Introduction aux probabilités Variable aléatoire discrète et calcul de espérance variance l’espérance et de la variance x … 12 P(X=x)1/362/363/364/365/366/36 …1/36

Introduction aux probabilités et lois discrètes courantes Factorielle : P n =n*(n-1)*(n-2)*…*2*1=n! n objets doivent être placés dans un certain ordre sachant que chaque objet ne peut être utilisé qu’une seule fois. Combien cela représente- t-il de possibilités (permutations) ? Exemple : 3 enfants doivent recevoir chacun un cadeau différent. Remarque : on pose 0!=1

Introduction aux probabilités et lois discrètes courantes dans un certain ordre n objets doivent être placés dans un certain ordre sachant que l’on n’en retient que p (p<n). Exemple : choisir p=2 lettres parmi n=4 (A, B, C et D) ABACAD BABCBD CACBCD DADBDC Arrangements : dans n’importe quel ordre n objets doivent être placés dans n’importe quel ordre sachant que l’on n’en retient que p (p<n). Exemple : choisir p=2 lettres parmi n=4 (A, B, C et D) ABACAD BABCBD CACBCD DADBDC Combinaisons :

Introduction aux probabilités et lois discrètes courantes exclusifsexhaustifs Loi de Bernoulli : supposons qu’une expérience aléatoire se tra- duise par deux événements mutuellement exclusifs et exhaustifs que l’on nommera par commodité « Succès » et « Echec ». Soit p la probabilité d’un succès et q=(1-p) celle d’un échec. En définissant la V.A X=1 pour un succès et 0 sinon (échec), sa loi de probabilité est telle que : P(X=0)=1-p et P(X=1)=p et la variance V(X) est égale à E(X)=p V(X)=p(1-p)=pq. dont l’espérance E(X) est égale à

Introduction aux probabilités et lois discrètes courantes indépendantestirages avec remise Loi Binomiale : généralisons la distribution de Bernoulli en sup- posant que l’on répète cette expérience n fois et que le résultat d’une expérience n’influence pas celui d’une autre (les réalisations sont indépendantes c’est-à-dire que les tirages sont effectués avec remise). Le nombre de succès X résultant de ces n essais peut donc varier entre 0 et n. Si on s’intéresse à la probabilité d’obtenir exactement X=k succès en n essais, alors X suit une loi binomiale de paramètres n et p ce que l’on note : X~> B (n,p) On montre que : L’espérance et la variance d’une V.A qui suit une loi binomiale sont : E(X)=np V(X)=np(1-p)=npq.

Introduction aux probabilités et lois discrètes courantes Exercices La probabilité pour qu’une ampoule électrique ait une durée de vie supérieure à 2 ans est égale à 0.2. Sachant qu’un lustre possède 5 ampoules, calculer la probabilité a)De ne pas changer d’ampoule en 2 ans ; b)De changer deux ampoules en 2 ans ; c)De changer toutes les ampoules en 2 ans. Une machine déréglée produit 1/3 de pièces défectueuses. Dans un lot de 9 pièces fabriquées par cette machine, calculer a)Le nombre moyen de pièces défectueuses ; b)La probabilité associée à ce nombre moyen.

Une ville a deux hôpitaux. Dans le plus grand des deux, 45 bébés naissent tous les jours, comparativement à 15 dans l’autre. Même si la proportion des naissances est la même pour les deux sexes, la proportion de garçons (filles) variera d’une journée à l’autre, étant tantôt plus grande que 50 %, tantôt plus petite. A la fin de l’année, quel hôpital aura enregistré le plus grand nombre de journées avec 60 % ou plus de naissances de garçons. Introduction aux probabilités et lois discrètes courantes Exercices

Introduction aux probabilités et lois discrètes courantes X~> H (N,n,p) tirage sans remise Loi Hypergéométrique : si l’hypothèse selon laquelle le résultat d’une expérience n’influence pas celui d’une autre n’est pas respec- tée (c’est-à-dire que l’on effectue un tirage sans remise) alors on remplacera la distribution binomiale par la distribution hypergéométrique. Soient N la taille de la population totale qui comprend M individus « positifs », p (p=M/N) la probabilité d’un succès (ou proportion de positifs) et n le nombre d’essais, le nombre de succès X résultant de ces n essais suit une loi hypergéométrique de paramètres N, n et p ce que l’on note : N, Remarque : Excel utilise pour la loi hypergéométrique une notation de la forme H (N,M,n) qui est celle reprise dans StatHelp.

Introduction aux probabilités et lois discrètes courantes N, X~> H (N,n,p) Espérance et variance d’une V.A qui suit une loi hypergéométrique sont égales à : Facteur d’exhaustivité N, Remarque : on peut approximer une loi H (N,n,p) par une loi B (n,p) dès que n/N<0.1.

Introduction aux probabilités et lois discrètes courantes Exercices Dans une PME, sont employés 6 ouvriers et 5 employés. Le PDG, souhaitant prendre l’avis de son personnel, interroge (sans remise) 7 personnes choisies au hasard parmi ces 11 personnes. Soit X la variable aléatoire « nombre d’ouvriers interrogés ». a)Quelles sont les valeurs prises par X ? b)Quelle est sa loi de probabilité ? c)Quelle est la probabilité d’interroger 4 ouvriers ? On choisit au hasard 10 étudiants d’un Master. 304 sont inscrits en 1 ere année et 233 en 2 eme année. Soit X le « nombre d’étudiants de 1 ere année » parmi les 10 personnes choisies. a)Calculer la probabilité d’avoir 5 étudiants de 1 ere année. b)Calculer E(X). c)Calculer V(X).

Introduction aux probabilités et lois continues /36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 Densité de probabilité d’une V.A. continue On ne raisonne plus sur des valeurs mais sur des intervalles

Introduction aux probabilités et lois continues Une V.A. suit une loi normale de paramètres  et  si elle admet pour densité de probabilité la fonction :  On note : X~> N (  ) Espérance et variance d’une V.A qui suit une loi normale sont égales à :   Si X ~> N (  ) alors suit une loi normale centrée réduite. On note T ~> N (  ) et par construction E(T)=0 et Var(T)=1, sa den-sité de probabilité étant :

Densité de la loi Normale x=1 f(x)= n’est pas une probabilité Introduction aux probabilités et lois continues

Densité de la loi Normale Introduction aux probabilités et lois continues dx f(x)dx f(x)f(x) dx

Introduction aux probabilités et lois continues La fonction de répartition d’une V.A. centrée réduite est telle que : Remarque : les valeurs de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite sont reprises dans des « tables ». 0t

Introduction aux probabilités et lois continues Fonction de répartition de la loi Normale

Introduction aux probabilités et lois continues Remarque : on peut approximer une loi B (n,p) par la loi normale de paramètres np et si n est grand (n>100), p pas trop proche de 0 ou 1 et que npq>5.

Introduction aux probabilités et lois continue