Un usage de la notion d’O.M. pour la préparation de l’épreuve sur dossier du CAPES

Thème : Étude de problèmes d’alignement ou de concours à l’aide du barycentre Exercice : Terracher 1ère S n°6 p25. (Édition 2001) On considère un parallélogramme ABDC, J est le milieu de [AC] I et I’ partagent en trois le segment [AB] et enfin K est le quatrième sommet du parallélogramme AIKJ. 1°Exprimer J,I, D et K comme barycentres de A,B,C. 2° Montrer que les droites (BJ), (CI) et (DK) sont concourantes au point M barycentre de (A,1), (B,2) et (C,1). 3° Après avoir exprimé I’ comme barycentre de A et B, montrer à l’aide d’un calcul barycentrique que les points I’,K, M et D sont alignés.

Le travail demandé au candidat Après avoir résolu et analysé cet exercice Dégager les méthodes et savoirs en jeu Proposer sous forme d’exercice une autre méthode, accessible à des élèves de 1 re S, de résolution de ce problème. Présenter une figure à l’aide de l’écran d’une calculatrice : celle-ci peut-elle aider à l'étude du problème posé ? Proposer d’autres exercices illustrant l’intérêt du calcul barycentrique pour la résolution de problèmes d’alignement ou de concours.

C. Méthodes et savoirs en jeu : But du problème (type de tâches) : Il s’agit de montrer que : 1° trois droites sont concourantes en un même point et 2°que des points sont alignés. Le problème posé est typique et il s’agit de montrer un usage du calcul barycentrique pour la résolution de ce type de problèmes.

Problème d’alignement : pour montrer que trois points distincts sont alignés, on montre que l’un d’entre eux est barycentre des deux autres. Une clé essentielle, l’exercice le montre bien, est le théorème d’associativité dont on peut user de deux façons : on remplace plusieurs points pondérés par leur barycentre pondéré par le somme des masses, où on remplace un point pondéré par un système de points dont il est le barycentre en veillant à respecter la somme des masses. Problème de concours : on se ramène à un problème d’alignement en montrant qu’un même point appartient aux diverses droites.

Une clé essentielle, l’exercice le montre bien, est le théorème d’associativité dont on peut user de deux façons : on remplace plusieurs points pondérés par leur barycentre pondéré par le somme des masses, où on remplace un point pondéré par un système de points dont il est le barycentre en veillant à respecter la somme des masses ° M= bar{(A,1), (C,1), (B,2)}= bar {(J,2), (B,2)} donc M, milieu de [JB] est sur (JB). M= bar{(A,1), (B,2), (C,1)}=bar {(I, 3), (C,1) donc M est un point de (CI). La figure peut suggérer que M= bar {(K,3), (D,-1)}. Vérifions le : Bar{(K,3), (D,-1)}=bar{(K,6), (D,-2)}=bar{(A,-1), (C,3), (B,4), (A,2), (B-2), (C,-2)} =bar{(A,1),(B,2), (C,1)}=M. En conséquence, le point M est un point de (DK).

Commentaires généraux : Le barycentre d’un système de points pondérés est introduit en classe de 1re S et repris en TS (dans le plan et l’espace). L’introduction de cette notion permet l’élaboration d’un outillage dont il convient de montrer la pertinence aux élèves pour l’étude de questions géométriques. En particulier comme les programmes de 1re y invite, on montrera la pertinence du barycentre pour l’étude d’alignement de points ou pour l’étude de point de concours de droites. La démarche générale est la suivante : Un problème géométrique étant donné dans le langage de la géométrie élémentaire : une première étape consiste en la traduction en termes barycentriques des données du problèmes : choix d’une base affine ou considération de points de bases, et détermination des coordonnées barycentriques des autres points On travaille avec les propriétés barycentriques : on procède à des calculs barycentriques. Le théorème d’associativité est un outil essentiel de calcul On traduit les résultats obtenus en termes barycentriques dans le langage de la géométrie élémentaire.

Un pb : dans le langage de la géométrie élémentaire Traduction en termes barycentriques, utilisation des propriétés barycentriques et calculs barycentriques Résultats retraduits dans le langage de la géométrie élémentaire

: Trois points non alignés sont choisis et forment une base affine du plan. Dans la première question, on détermine les coordonnées barycentriques de points dérivées de la figure. On peut le faire en utilisant le calcul vectoriel : on part d’une relation vectorielle caractérisant le point dont on cherche les coordonnées et on la transforme de façon à obtenir une relation vectorielle barycentrique. On peut aussi, si cela a été développé en cours ou en TD, utiliser d’autres techniques comme celle permettant de déterminer directement les coordonnés barycentriques d’un point I d’une droite (AB) connaissant AI, IB et la position du point I par rapport à [AB]. Quelques techniques plus spécifiques pouvant être utiles : M milieu de [AB] ssi M=bar{(A,1), (B,1)} M symétrique de B par rapport à A ssi M=bar{(A,2), (B- 1)} Si ABCD est un parallélogramme alors C=bar{(A,-1), (B,1), (D,1)} Il peut être utile aussi de savoir la règle des pas qui permet de placer un point M défini comme barycentre de deux autres points A et B et qui permet aussi de trouver les masses à affecter aux deux points. M=bar{(A,p), (B,q)} avec p et q entiers : –si p et q sont tous deux positifs, M est plus proche du point ayant la plus forte masse. On divise le segment [AB] en p+q parties égale, le point M est à p parties de B et à q parties de A. (On inverse ou on croise disent certains manuels les coefficients pour déterminer la position de M.) –Si p et q de signes contraires, le point M est extérieur au segment[AB] du côté du point ayant la masse en valeur absolue la plus élevée. Le point M est à  q  pas de A et à  p  pas de B : là aussi on croise les coefficients. –Remarque : la technique peut se généraliser à des réels quelconques à peu de frais.

Quelques clés technologiques (savoirs) Existence et caractérisations vectorielles du barycentre d’un système de points pondérés de masse non nulle. Le barycentre de 2 points pondérés (A,a), (B,b) (avec a+b  0) est sur la droite (AB) Tout point de la droite (AB) peut s’exprimer comme barycentre des points A et B avec des masses définies à un scalaire non nul près. Le barycentre de trois points non alignés (A,a), (B,b) et (C, c) (avec a+b+c  0) est dans le plan (ABC) et réciproquement tout point de (ABC) peut s’exprimer comme barycentre des points A, B et C : {A,B,C} est un repère affine du plan (ABC). Associativité du barycentre : cette propriété est la clé de bien des calculs barycentriques. On ne change pas le barycentre d’un système de points pondérés en remplaçant quelques uns d’entre eux par leur barycentre (dès lors qu’il existe) avec la somme des masses correspondantes. On ne change pas le barycentre d’un système de points pondérés en remplaçant l’un d’entre eux par un système de points pondérés dont il est le barycentre, à la condition que la somme des masses des points le remplaçant soit égale à son poids. On peut multiplier les masses par un même scalaire non nul, sans changer le barycentre

Dynamique de l’interrogation Détermination des coordonnées barycentriques de M? Comment sont elles déterminées? le point M barycentre de (A,1), (B,2) et (C,1).

Coordonnées du point M Elles sont données dans le texte relativement au repère affine formé par les trois points non alignés, A, B et C. On peut légitimement se demander comment on peut faire pour les trouver. Ici, une première réponse peut être fournie par un examen de la figure, laquelle suggère que M est le milieu de [JB] et donc que M= bar{(A,1), (C,1), (B,2)}.

Il existe cependant une façon plus générale permettant de retrouver ce résultat : connaissant les coordonnées barycentriques dans un repère affine donné, des points J, B d’une part et de I et C d’autre part, on doit pouvoir déterminer les coordonnées barycentriques du point M intersection des droites (JB) et (CI).etc.…

M est sur (JB) donc il existe a un réel tel que : M= bar{(J,2), (B,a)} (on peut toujours choisir la masse du point J égale à 2 dès lors que M  B : on a bien sûr a  -2) M est sur (CI) donc il existe b tel que : M= bar {(C,b), (I,3)} )} (on peut toujours choisir la masse du point I égale à 3 dès lors que M  C : on a bien sur b  -3) Le choix des masses affectées à J et I correspond aux masses qui servent à les caractériser comme barycentre des points A, B et C. Ce choix n’est donc réalisé que pour une commodité de calcul. On a donc : M= bar{(J,2), (B,a)}= bar {(A,1), (C,1), (B,a)}et M= bar {(C,b), (I,3)} )}= bar {(A,1), (B,2), (C,b)} Les coordonnées du point M sont définies à un scalaire près :1 étant la masse affecté à A dans les deux expressions barycentriques de M, on a nécessairement a=2 et b=1 d’où M= bar{(A,1), (C,1), (B,2)} cqfd.