MECANIQUE DES MILLIEUX CONTINUS ET THERMODYDAMIQUE SIMULATIONS

M. M. C. ET THERMODYNAMIQUE LA MECANIQUE ET THERMODYNAMIQUE DES MILIEUX CONTINUS EST UNE DISCIPLINE QUI S’APPUIE SUR LES MATHEMATIQUES, LA PHYSIQUE AFIN DE MODELISER LES PROBLEMES CONCRETS AUXQUELS LES INGENIEURS SONT CONFRONTES. LA MECANIQUE ET THERMODYNAMIQUE DES MILIEUX CONTINUS EST UNE DISCIPLINE QUI S’APPUIE SUR LES MATHEMATIQUES, LA PHYSIQUE AFIN DE MODELISER LES PROBLEMES CONCRETS AUXQUELS LES INGENIEURS SONT CONFRONTES.

MODELISATION ET SIMULATION MODELISATION: MISE SOUS FORME D’ EQUATIONS MATHEMATIQUES D’UN PROBLEME CONCRET AUXQUELS LES INGENIEURS SONT CONFRONTES. MODELISATION: MISE SOUS FORME D’ EQUATIONS MATHEMATIQUES D’UN PROBLEME CONCRET AUXQUELS LES INGENIEURS SONT CONFRONTES. SIMULATION ETANT LA RESOLUTION (ANALYTIQUE OU NUMERIQUE) DE CES EQUATIONS. SIMULATION ETANT LA RESOLUTION (ANALYTIQUE OU NUMERIQUE) DE CES EQUATIONS.

Échantillon de matériau (E) Volume: W Surface: jW Dimensions échantillons suffisamment grande : Milieu Continu

Notion de Particule élémentaire de (E) Élément matériel de masse dm, occupant au point M un espace physique de volume élémentaire dv, limité par une surface ds

NOTION DE VOLUME ELEMENTAIRE NOTION DE VOLUME ELEMENTAIRE

Grandeurs physiques associées en tout point M Masse Volumique: Masse Volumique: Température et vecteur vitesse: Température et vecteur vitesse: Énergie et entropie spécifique: Énergie et entropie spécifique: Chaleur spécifique et flux de chaleur: Chaleur spécifique et flux de chaleur: Énergie libre: Énergie libre: Forces de volume: f Forces de volume: f

THEOREMES Si est une fonction à valeurs scalaires, vectorielles ou tensorielles, continue et dérivable dans un domaine matériel de frontière alors: Si Loi bilan ou loi de conservation mécanique qui sont formulés dans n’importe quel domaine de et qui s’inscrivent sous la forme d’une intégrale de volume Forme locale de la loi

(2)

ENERGIE INTERNE ENERGIE INTERNE (3)

(4) (5)

(6) (7)

(8)

(9) (11)

(13) (14)

(15) (16) (17)

(18) (19)

(21) (22)

(23)

(24) (25) (26) (27)

(28)

(29)

(30) On obtient (31) (31)

(32)

(33)

(34)

APPLICATIONS AUX MODELES ELASTOPLASTIQUES Notion des déformations réversibles et irréversibles

O A B C E e E P E e  b   E

Notion de Surface de Charge Dans le cas ou la sollicitation est multi axiale; le point A décrit alors une surface qui peut être représenté dans l’espace des contrainte par la fonction scalaire soit paramètres d’écrouissages (paramètres cachés)

Propriétés de la fonction de charge

Notions de charge et décharge Charge Charge

NOTION DE CHARGE ET DECHARGE Pour un état de contrainte tel que: deux cas peuvent se présenter : 1.Charge 2.Décharge

Équations qui régissent le chargement

Équations qui régissent le déchargement

NOTION de Potentiel Plastique et Règles d’Écoulement On sait d’après ce qui précède il existe une fonction scalaire telle que la vitesse des déformations plastique pour un état de contrainte soit défini par: Sont des potentiels plastiques (dissipatifs) un multiplicateur de plasticité. le matériau est standard Si

EXPRESSION : EXPRESSION : Du Multiplicateur de plasticité Du Multiplicateur de plasticité Du Module d’écrouissage Du Module d’écrouissage le matériau est non standard Si Et par conséquent

Le tenseur d’élasticité posons (82)

L’équation (82) devient D’où l’expression suivante du multiplicateur de plasticité Et de plus Paramètre d’écrouissage

Remarques :si l’on se place dans l’espace La surface de charge se réduit à Ce qui implique que CAS DE L’ELASTICITE PARFAITE

CAS DE PLUSIEURS SURFACES DE CHARGE Lorsque l’état des contraintes peut conduire à la mobilisation de plusieurs Surface de charge « n »

ECROUISSAGE Écrouissage positif ou durcissement la courbe contrainte déformation ne présente pas de pic. Écrouissage négatif ou ramollissement. Sous un chemin de sollicitation le matériau présente un ramollissement au delà d’un pic.. Traduit l’évolution du seuil de plasticité ou de la surface de charge

Ecrouissage Écrouissage isotrope : quand la surface de charge se dilate de façon identique dans toutes les directions en restant homothétique à elle-même : Matériau parfaitement plastique:. Écrouissage cinématique ou translation : il y a translation de la surface de charge dans l’espace des contraintes:.

DEFORMATION TOTALE fonction de la MATRICE DE RIGIDITE ELASTOPLASTIQUE sinon or

Or en remplaçant par son expression du (84) nous obtenons l’équation

MATRICE DE RIGIDITE ELASTOPLASTIQUE

RESOLUTION DES PROBLEMES D’ELASTOPLASTICITE Position du Problème Dans le cas où la vitesse des déformations totale est connue et tel que les relations suivantes soient vérifiées : Déterminer

On choisit de tel façon que (domaine élastique) État Initial Et l’on applique un incrément de contrainte

ETAPE 1 on calcule Si il n’y a pas des déformations plastiques on peut passer à l’étape supérieure. il y a des déformations plastiques le matériau s’écrouit. Il faut dont faire des corrections pour annuler la fonction de charge ETAPE 0 Par contre si

les corrections qu’il faut pour que : avec Résolution d’un problème non linéaire dont les inconnues sont Soit 1 méthode des modules sécants 2méthode de Newton Raphson 3méthode de Newton Raphson Modifiée

EXEMPLE On développe autour de on calcule Si les nouvelles corrections qu’il faut pour que : Avec Et

Avec Si à l’étape 1 le couple tel que a été obtenu après on calcule également Et l’on passe à l’étape supérieure. itérations Alors

MODELES Mohr - Coulomb Surface de charge

Modèle de Drucker Pragger Surface de charge

Modèle de Cambou Il s’agit d’un modèle à deux mécanismes mécanisme isotrope 1.Surface de charge lois d’écoulement pour le mécanisme isotrope Mécanisme déviatorique

Lois d’écoulements