Arrangements périodiques Par définition, les arrangements périodiques sont infinis, mais seule une partie limitée peut être montrée. L‘unité répétitive de l‘arrangement périodique est appelée le motif. Motif Motif (atome de carbone) Arrangement = couche de graphite

Points de départ/arrivée des vecteurs de translation = Points du réseau Réseau de translation Les translations déplacent les motifs individuels pour qu‘ils coïncident avec un motif adjacent (rappel: l‘arrangement est infini!). La situation de départ ne peut pas être distinguée de la situation d‘arrivée  les translations sont des éléments de symétrie! Les points du réseau sont des sets de points avec des environnements identiques. Motif Vecteurs de translation Les translations montrées sont les plus courtes possible. Le point de départ des 2 premiers vecteurs de translation peuvent être choisis librement. En translatant un motif en 1,2 ou 3 dimensions, on crée un arrangement périodique infini en 1, 2 ou 3D.

Une boîte délimitée par 4 points du réseau est appelée cellule élémentaire. Un nombre infini de cellules élémentaires est possible. On choisit habituellement la cellule délimitée par les translations les plus courtes. Cellule élémentaire cellule élémentaire contenant le motif Cellule élémentaire L‘arrangement périodique peut être créé en translatant le contenu de la cellule élémentaire par les vecteurs de translation qui délimitent la cellule.

Structure Motifréseau += Arrangement périodique, structure L‘origine du réseau peut être choisie arbitrairement. Changer l‘origine du réseau ne va pas changer le contenu général de la cellule élémentaire, juste son arrangement. Contenu général:

Miroir glissant I Un arrangement périodique en 2D peut avoir tous les axes de rotation, miroirs et centres d‘inversion comme opérations de symétrie. Les nouvelles opérations de symétrie sont les translations et la combinaison de miroirs avec les translations = miroirs glissants. Translations  combinaison avec plans de miroir = nouvel élément de symétrie: plans de miroir glissant. Translation Opération de miroir Symbole graphique g Symbole écrit Périodicité dans cette direction

Un arrangement périodique a un nombre infini d‘éléments de symétrie, car il est infini. Les éléments de symétrie sont automatiquement multipliés par la translation, qui est aussi un élément de symétrie. Les arrangements périodiques en 2D ont des axes de rotation (2,3,4,6), des miroirs et des miroirs glissants comme éléments de symétrie. Le contenu de la symétrie peut être séparé entre la symétrie du réseau et la symétrie du motif. La symétrie de l‘arrangement peut être égal ou inférieur à la symétrie du réseau/motif. Miroir glissant II

Les 5 réseaux planaires I On ne peut distinguer que 5 réseaux planaires symétriquement distincts: a b  p2 p2mm c2mm b  a b  a a ≠ b   ≠ 90° a ≠b   = 90° a ≠ b   = 90° La cellule élémentaire „primitive“ sur la gauche est la plus petite cellule, mais les miroirs ont une orientation étrange par rapport à l‘orientation des bords da cellule. La cellule „centrée“ sur la droite reflète mieux la symétrie du réseau et est donc préférable.

Les 5 réseaux planaires II p6mm p4mm b  b a  a a = b   = 60° a = b   = 90°

Les 17 groupes planaires 1 2 m 2mm 4 4mm 3 3m 6 6mm Réseaux planaires + symétrie du motif = 17 combinaisons possibles de symétrie => 17 groupes planaires Les 5 réseaux ont le plus haut niveau de symétrie pour chaque groupe. L‘addition du motif au réseau ne peut que réduire la symétrie, mais pas l‘augmenter. Symétrie du motif

Le groupe planaire cm Symétrie du réseau c2mm Symétrie du motif m Symétrie de l‘arrangement cm Par rapport à la symétrie du réseau, tous les axes digyres et les plans de miroirs verticaux sont perdus.

Les 17 groupes planaires I

Les 17 groupes planaires II