Chapitre 4 Equations différentielles ordinaires à n variables

Plan du cours 1- Introduction 2- Formes de Jordan réelles dand IR 3 3- Points d’équilibre - Linéarisation 4- Critères de Routh-Hurwitz 5- Critères qualitatifs de stabilité

Généralités Systèmes dynamiques de dimension supérieur ou égale à 3 : X = (x 1,x 2,…x n ) vecteur de IR n  (X) = (f 1, f 2,…, f n ) fonctions des variables x 1, x 2 … Systèmes linéaires : f i = fonctions linéaires

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Généralités Mettre la matrice A sous forme de Jordan J J: Matrice de Jordan associée à A P: Matrice de passage Y = (y 1,y 2,…y n ) vecteur de IR n Formes de Jordan dépendantes des valeurs propres de A

Formes de Jordan dans IR 3 3 valeurs propres réelles distinctes : 1 valeur propre réelle et 2 valeurs propres complexes conjuguées : et

Formes de Jordan dans IR 3 1 valeur propre double et 1 valeur propre distincte : 1 valeur propre triple : et

Partition des formes de Jordan Toutes les formes de Jordan (sauf dernière) peuvent être partitionnées en blocs Ex. La dernière équation (en y 3 ) est découplée des 2 autres Systèmes à 3 équations = 1 système à 2 équations + 1 équation

Partition des formes de Jordan Projection des trajectoires de (1) sur un plan y 3 = cste : foyer stable (  < 0) (1) (2) Solution de (2) :

Portrait de phase Portraits de phase des systèmes linéaires dans IR3 = combinaison des portraits de phase des systèmes découplés par blocs (sauf quand valeur propre triple Formes de Jordan généralisables pour des systèmes en dimension supérieure à 3

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Généralités Soit le système différentiel admettant comme point d’équilibre tel que Au voisinage de X* : u i = x i – x i * Développement en série de Taylor au 1 er ordre des fonctions f i au voisinage de X* : A* : matrice jacobienne au point X*

Définition Le point d’équilibre d’un système est dit asymptotiquement stable, c’est-à-dire que, si et seulement si la partie réelle des valeurs propres de la matrice jacobienne est strictement négative X* asymptotiquement stable

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Généralités Pour démontrer la stabilité asymptotique d’un point d’équilibre, il faut a priori calculer les n valeurs propres de A et vérifier que leur partie réelle est négative. Méthode algébrique développée par Routh et Hurwitz, basée sur le calcul de déterminants particuliers = déterminants de Routh

Déterminants de Routh Soit le système linéarisé : Les valeurs propres de A* sont solutions de Déterminants de Routh-Hurwitz :

Propositions Proposition 1 Dans le cas d’une matrice de dimension n, les termes h jk des déterminants de Routh-Hurwitz ( j,k = 1…n ) sont définis par : - h jk = a 2j-k pour 0 < 2 j-k ≤ n - h jk = 1 pour 2j-k = 0 - h jk = 0 pour 2j-k < 0 Proposition 2 X* asymptotiquement stable

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Généralités Soit le système Déterminants de Routh-Hurwitz : Conditions de stabilité :

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Généralités Equation caractéristique : Déterminants de Routh-Hurwitz : Conditions de stabilité :

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Généralités Equation caractéristique : Déterminants de Routh-Hurwitz : Conditions de stabilité :

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Exemple à 3 populations Communauté réduite de 3 populations : Prédateurs Proies 1 Proies 2 Croissance liée à prédation Mortalité naturelle Croissance exponentielle sans x Mortalité liée à prédation Croissance logistique sans x Mortalité liée à prédation Critère de Routh-Hurwitz pour vérifier si les 3 populations peuvent coexister

Point d’équilibre Point d’équilibre non trivial (possible coexistence des 3 espèces) : Condition d’existence dans quadrant positif :

Stabilité Jacobienne : Au point d’équilibre non trivial : Equation caractéristique :

Stabilité Conditions de stabilité asymptotique : OK

Conclusion Sous la condition d’existence de (x*,y*,z*), on a coexistence des 3 populations Chroniques

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Généralités Le système différentieladmet un point d’équilibre asymptotiquement stable si et seulement si Condition nécessaire et suffisante, équivalente aux critères de Routh-Hurwitz Critères qualitatifs pour juger de la stabilité d’un point d’équilibre

Plan du cours 1- Introduction 2- Formes de Jordan réelles dand IR 3 3- Points d’équilibre - Linéarisation 4- Critères de Routh-Hurwitz 5- Critères qualitatifs de stabilité 5.1 La matrice de communauté 5.2 Le graphe de communauté 5.3 Les conditions de Quirck-Ruppert 5.4 Le test des couleurs

Généralités Soit le système différentiel admettant comme point d’équilibre Linéarisation : a ij strictement positifs, strictement négatifs ou nuls Matrice des communautés = matrice des signes des a ij

Exemples Exemple 1 : Exemple 2 : généralisation X* point d’équilibre :

Exemples Calcul de la matrice jacobienne : Termes diagonaux : Termes non diagonaux : et Donc si x i * > 0, les termes non diagonaux m ij de la matrice de communauté sont du signe de  ij et les termes diagonaux m ii du signe de  ii

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Généralités Traduction exacte de la matrice de communauté Si m ij > 0 et m ji < 0 (i ≠ j) : lien de prédation entre espèces i et j Exemple 1 :

Exemple 2 3 parasitoïdes P1, P2 et P3 attaquent 3 stades différents d’un même hôte H1, H2 et H3

Exemple 3 Communauté à 5 espèces : l’espèce 2 exploite l’espèce 1, l’espèce 3 exploite l’espèce 2 … le long d’une chaîne trophique. L’espèce 3 auto-régule sa croissance :

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Généralités But : conclure, à partir de la matrice ou du graphe de communauté, à la stabilité d’un point d’équilibre (pas de différenciation entre stabilité neutre et asymptotique). 5 conditions de stabilité de Quirck-Ruppert : 1- (pas de boucle de rétroaction positive) 2- pour au moins une valeur de i (au moins une boucle de rétroaction négative) 3- (pas de lien +/+ ou -/- entre 2 espèces) 4- pour toute séquence i,j,k,…,q,r,i de 3 ou + d’indices distincts (pas boucles de 3 ou + qui se referment) 5- det(A*) ≠ 0 (aucun noeud dépourvu de flèche entrante)

Exemple 1 1- OK 2- OK (espèce 3) 3- OK 4- OK 5- OK Le point d’équilibre non trivial est stable

Exemple 2 1- OK 2- OK (espèces H1, H2 et H3) 3- OK 4- NON : H1-H2-H3-H1 5- OK On ne peut pas conclure

Exemple 3 1- OK 2- OK (espèce 3) 3- OK 4- OK 5- OK Le point d’équilibre non trivial est stable

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Généralités But : montrer la stabilité asymptotique d’un point d’équilibre dont on a montré qu’il est stable avec les conditions de Quirck- Ruppert. Etapes : - Vérifier les conditions de Quirck-Ruppert. - Faire le test des couleurs - Si échec du test des couleurs, alors on peut conclure à la stabilité asymptotique

Test des couleurs Convention : nœud qui s ’autorégule coloré en noir, les autres en blanc Conditions : 1- Au moins un nœud blanc 2- Chaque nœud blanc connecté à un autre nœud blanc par un lien de prédation +/- 3- Chaque nœud noir connecté à deux nœuds blancs par des liens de prédation Conclusion : si toutes les conditions sont réunies on ne peut pas conclure, autrement point d’équilibre asymptotiquement stable

Exemple 1 1- OK 2- OK (espèce 3) 3- NON Le point d’équilibre non trivial est asymptotiquement stable

Exemple 3 1- OK 2- OK (espèce 3) 3- OK Le point d’équilibre non trivial est stable mais on ne peut pas conclure quant à sa stabilité asymptotique