Francis Lowenthal Place du Parc 18 étage -1 B-7000 Mons Tél : 065/

Algorithmes de calcul écrit simplifiés et raisonnés

Algorithme Succession de manœuvres à accomplir toujours dans le même ordre et de la même façon en nombre fini avec nombre fini de données

Algorithme Frédérique PAPY-LENGER Robert DIESCHBOURG Grégory LOPARCO Grégory BONNY

Système de numération de position Un même symbole (chiffre) a une valeur différente selon la place (rang) qu’il occupe unités d’un rang = 1 unité du rang immédiatement supérieur En base 10

Egypte - 3 ème millénaire: Egypte - Notation en base 10 de type additif 537 (de droite à gauche)

- 600 av notre ère : premier système - Basé sur alphabet phénicien - Symboles : premières lettres de mots (5, 10, puissance de 10) - IVème siècle : nouveau système basé sur alphabet grec Grèce - Système décimal et additif α = 1 ; β = 2 ; γ = 3 ; δ = 4 ; ε = 5 ; ι = 10 ; κ = 20 ; λ = 30 ; ς = 100, etc.

Grèce ς κ δ = 124

-500 : système de numération additif Rome -Rapidement : simplifications d'écriture -Problèmes pour additionner

Systèmes de numération dans différentes civilisations

Inde IVème ou Vème siècle : chiffres de 1 à 9 Numération de position incomplète Au Vème siècle : un zéro "marque place" 62 = soixante deux ou six cent deux ????

Inde 876 : chiffre 0 (manuscrit de Gwalior) Numération de position complète Opposition de l'église médiévale : commerçants dangereux (intérêts) IX ème siècle : Bagdad puis le reste du monde

Entre 400 et 900 : Maya avec numération de position Vers 800 (300 ?) : Indiens et numération de position : Babylone, mais pas de numération de position Inventeurs du 0

Chiffres et nombres mayas

13.495

UDCM =

UDCM =

UDCM =

UDCM =

UDCM =

Abaque Tous les pions de la même taille UD = 13

Abaque Tous les pions de la même taille = 13

Progression méthodologique ? DU + U sans report DU + U avec report DU + DU sans report DU + DU avec 1 report DU + DU avec 2 reports

Progression méthodologique ? Additions sans report (nombres aussi grands que l’on veut) Additions avec 1 report (n’importe où) Additions avec 2 reports (pas en cascade) Additions avec 2 reports (en cascade)

Distributivité de x sur + a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 2 x (246) = 2 x ( ) = (2 x 200) + (2 x 40) + (2 x 6) 7462 x (246) = 7462 x ( ) = (7462 x 200) + (7462 x 40) + (7462 x 6)

Distributivité de x sur x = x 246 x 6 x 40 x 200 +

x x 1 x 2 x 4 x    Sans les tables de multiplication

x x 2 x x 1 x 8 x 10 1 x 20 x 400

432,092 ******** = ******** = X 1000 v X 100 v, : v X 27,16 X 2716

Estimation 10 caisses450 pommes 100 caisses4500 pommes 50 caisses2250 pommes 2887 pommes45 pommes par caisse Combien de caisses ?

2887 pommes45 pommes par caisse Combien de caisses ? (10 caisses) (1 caisse)

caisses caisses 64 caisses (10 caisses) (1 caisse)

x45 = 45 2x45 = 90 4x45 = 180 8x45 = x45 = x45 = 900

x45 = 45 2x45 = 90 4x45 = 180 8x45 = 360

SOUSTRACTION a) Compensation 90 € = 100€ - 10€ ou 110€ - 20€ = ( ) – ( ) 238 (K. FUSON – G. VERNAUD)

SOUSTRACTION b) Emprunt SUR ABAQUE

Luc :5

Nicole : 5 3

Luc : Nicole : 5 3

Luc : Nicole : = 2

5 + 0 =5 + 3 = =5 + 3 = =

Luc : Nicole :

André à 7 billes Il en perd 2 Combien lui en reste-t-il ? Nicole : 2 Luc : 7 Qui gagne ? De combien ? 7 – 2 = – 2 = = 5

LucNicoleAhmedBéatrice < 0 < 2 < 6 6 > 2 > 0 > 4

1=?

1=? 1=+1

1=? 1=+1 1 4?

1=? 1= ou 4?

1=? 1=

1=? 1= donc1 =+1

Estimation Exemple 27,16 x 432,092 Calcul Vérification estimation Remarque : pas fiable à 100 % Estimation 30 x 400 ~

187 – 21 = = 187 Opération inverse vérification 387 : 3 = x 3 = 387 vérification 129 x = 388 vérification 388 : 3 = 129 (reste 1) Remarques : fiable à 100 % Peu pratique pour addition et multiplication

Théorème :Si P = P 1 x P 2 Preuve par 9 pour multiplication écrite Alors r = r 1 x r 2 r 1 = reste de la division de P 1 par 9 r 2 = reste de la division de P 2 par 9 r = reste de la division de P par 9

286 x 13 = 3718 P 1 x P 2 = P Remarque : pas fiable à 100 % r1r1 r 1.r 2 r r2r2 Preuve par 9 pour multiplication

Preuves par 9 pour d’autres opérations Addition : Théorème : Si S = S 1 + S 2 avecr 1 = reste de la division de S 1 par 9 r 2 = reste de la division de S 2 par 9 r = reste de la division de S par 9 Alorsr = r 1 + r 2

Preuves par 9 pour d’autres opérations Addition : Exemple : Remarque : Il existe des théorèmes analogues pour soustraction et division =  r 1 = 2  r 2 = 6  r = 8= r 1 + r 2

Preuves par 9 pour d’autres opérations Division : Théorème : Si D = d.q + reste Alorsr = r 1.r 2 + r’ avecr 1 = reste de la division du diviseur par 9 r 2 = reste de la division du quotient par 9 r ’ = reste de la division du reste par 9 r = reste de la division du dividende par 9

D d q reste rdrd r d.r q + r’rDrD rqrq Preuve par 9 pour division

Preuve par nombre quelconque 286 x 13 = 3718 r1r1 r 1.r 2 r r2r2 Exemple : Preuve par 2 P 1 x P 2 = P

Pourquoi une preuve par 9 ? - critère de divisibilité simple - nombre élevé de restes possibles (9)

= = = = = mult de Reste de la division d’un nombre par 9 Décomposons 3212 : Soit à trouver le reste de la division de 3212 par 9

Personnes de référence pour cette partie Michèle Meunier et Christiane Vandeputte Tél : 065/ Pour un éventuel suivi ou pour des éclaircissements :