De la Terre à la carte: Projections et Géoréférencement Eléonore Wolff Stage SIG Faculté des Sciences Institut de Gestion de l’Environnement et d’Aménagement du Territoire

Introduction Pourquoi s'intéresser aux projections ? Passage de 3 à 2 dimensions dans la représentation de la terre implique toujours une projection Information sur la projection indispensable pour les applications analysant les relations spatiales Choix du système de projection peut influencer les résultats La Terre est une surface complexe dont les formes et les dimensions ne peuvent pas être décrites précisément à l’aide de formules mathématiques. C’est pourquoi on utilise comme référence un modèle physique de la surface de la Terre : le géoïde. Le géoïde correspond en première approximation au niveau moyen des mers ; plus précisément, il s’agit d’une surface physique pour laquelle le potentiel de la force de gravité est normal et égal en tous points. Cette surface ressemble à une patate irrégulière (Fig. *). Cette référence est utile en géodésie mais elle n’est pas très pratique pour élaborer des cartes car la description mathématique du géoïde étant inconnue, il est impossible d’identifier des relations mathématiques pour passer de la Terre à la carte.

La forme de la Terre Surface complexe 1ère approximation : le géoïde La Terre est une surface complexe dont les formes et les dimensions ne peuvent pas être décrites précisément à l’aide de formules mathématiques. C’est pourquoi on utilise comme référence un modèle physique de la surface de la Terre : le géoïde. Le géoïde correspond en première approximation au niveau moyen des mers ; plus précisément, il s’agit d’une surface physique pour laquelle le potentiel de la force de gravité est normal et égal en tous points. Cette surface ressemble à une patate irrégulière (Fig. *). Cette référence est utile en géodésie mais elle n’est pas très pratique pour élaborer des cartes car la description mathématique du géoïde étant inconnue, il est impossible d’identifier des relations mathématiques pour passer de la Terre à la carte.

Les formes de la Terre 2ème approximation ellipsoïde de révolution Coefficient d'aplatissement Ellipsoïdes locaux et ellipsoïdes globaux Ex : pour la Belgique Ellispoïde internation de Hayford 1924 a = 6 378 388 m F = 1/297 C’est pourquoi, on utilise une approximation mathématique de la Terre : l’ellipsoïde. L’ellipsoïde est un volume engendré par la rotation d’une ellipse autour d’un axe (Fig. *). Les ellipsoïdes utilisés pour approcher la forme de la Terre (le géoïde) sont formés par la rotation d’une ellipse autour de son petit axe. Selon les régions du monde, on utilise différents ellipsoïdes de référence (Fig. *) ; ils minimisent chacun les écarts entre le géoïde pour une région d’intérêt et l’ellipsoïde. En Europe, on utilise l’ellipsoïde international de Hayford (1924). L’ellipsoïde de Hayford a un demi petit axe (a) de 6 378 388 m, et un coefficient d’aplatissement ( où a est le demi petit axe et b le demi grand axe) de 1/297. Si on souhaite établir des cartes du monde, on utilise un ellispoïde global approchant au mieux les formes de la Terre dans l’ensemble. L’utilisation du géoïde (modèle physique des formes de la Terre) et de l’ellipsoïde (modèle mathématique des formes de la Terre) permet le passage au plan.

La forme de la Terre De la Terre au plan De façon résumée, pour passer de la surface de la Terre au plan, on réduit l’altitude de la surface au niveau de la mer (ce qui revient à projeter le lieu sur le géoïde), ensuite, on se localise sur une approximation du géoïde qui est l’ellipsoïde et enfin on projette ce lieu sur le plan de la carte (Fig. *).

Les projections cartographiques Définition: Relation mathématique en coordonnées géographiques (lat-long) et coordonnées cartographiques (X, Y) Il s’agit de choisir une relation mathématique reliant la position sur l’ellipsoïde mesurée en latitude et en longitude (Fig. *) et la position sur la carte mesurée en coordonnées cartographiques. Ces relations mathématiques s’appellent des projections cartographiques. Du point de vue géométrique, on distingue (Fig. *) :       Les projections cylindriques : on projette l’ellipsoïde (ou une partie) sur un cylindre tangent ou sécant et on le développe,       Les projections coniques : on projette un hémisphère (ou une partie) sur un cône tangent ou sécant et on le développe,       Les projections azimutales : on projette un hémisphère (ou une partie) sur un plan tangent ou sécant. Pour chaque type de projection, on peut choisir les différents paramètres : méridien(s) central(aux), parallèle(s) de référence(s), point tangent, … ce qui offre à chaque fois une autre vue de la terre.

Les systèmes de coordonnées Coordonnées cartésiennes Origine = centre de masse de la terre pour un système global ou point fondamental pour un système local Axe Z = parallèle à la direction du Pôle Conventionnel Terrestre, cad un pôle moyen dont la localisation ne varie pas dans le temps Axe X = intersection du plan du méridien de référence de l’ellipsoïde global avec le plan de l’équateur Axe Y = perpendiculaire à Z et X système décimal en mètre, peu familier mais pratique pour la géodésie spatiale dépend de l’ellipsoïde global de référence

Les systèmes de coordonnées Coordonnées géographiques origine = centre de masse de la terre latitude = angle dans le plan du méridien entre la verticale du point et le plan équatorial longitude = angle entre le plan du méridien de référence et le plan du méridien passant par le point exprimée en °, ’,  ’ ’ et N-S ou E-O pratique car familier et indépendant de la projection mais dimension en km d’un degré varie selon la latitude dépendant de l’ellipsoïde de référence

Les projections cartographiques 3 types de projections : Cylindriques Coniques Azimutales Paramètres à adapter : méridien(s) central(aux), parallèle(s) de référence(s), point tangent, … Il s’agit de choisir une relation mathématique reliant la position sur l’ellipsoïde mesurée en latitude et en longitude (Fig. *) et la position sur la carte mesurée en coordonnées cartographiques. Ces relations mathématiques s’appellent des projections cartographiques. Du point de vue géométrique, on distingue (Fig. *) :       Les projections cylindriques : on projette l’ellipsoïde (ou une partie) sur un cylindre tangent ou sécant et on le développe,       Les projections coniques : on projette un hémisphère (ou une partie) sur un cône tangent ou sécant et on le développe,       Les projections azimutales : on projette un hémisphère (ou une partie) sur un plan tangent ou sécant. Pour chaque type de projection, on peut choisir les différents paramètres : méridien(s) central(aux), parallèle(s) de référence(s), point tangent, … ce qui offre à chaque fois une autre vue de la terre.

Projections cylindriques

Projections coniques

Projections azimutales

Choix des paramètres : vision européenne

Choix des paramètres : vision nord-américaine

Choix des paramètres : vision d’URSS (fin ’80)‏

Choix des paramètres : vision chinoise

Déformations géométriques Impossible de passer de l’ellipsoïde au plan sans déformation géométrique 3 types de projections selon déformation Équivalentes : conserve les surfaces Conformes : conserve les angles et les formes Aphylactiques : compromis Choix selon usage de la carte, taille et forme du territoire Il est impossible de passer de l’ellipsoïde au plan sans déformation géométrique. On classe les projections selon le type de déformation géométriques en 3 familles :       Les projections équivalentes conserve les surfaces, mais pas les angles. C’est intéressant pour toutes les cartes thématiques à petite échelle pour lesquelles il est important de conserver les rapports de surface entre les différents pays, telle que par exemple une carte mondiale de la densité de la population.       Les projections conformes conserve les angles, et donc aussi les formes, mais pas les surfaces. Ce type de projection est intéressante lorsqu’on s’intéresse aux directions (navigation, opérations militaires, …).       Les projection aphylactiques ne conservent ni les angles, ni les surfaces, mais elles constituent un compromis dans les déformations géométriques. Le choix de l’une ou l’autre projection dépend du sujet traité, de la taille et de la forme du territoire à représenter.

Ex. de projection cylindrique conforme : la projection de Mercator La projection de Mercator est une projection cylindrique conforme (Fig. *). Elle fût élaborée pour les navigateurs afin que la loxodromie, c’est-à-dire la route recoupant les méridiens à cap constant, soit représentée par une droite. Cette route n’est pas la plus courte (orthodromie) mais c’était la seule qui permettaient aux navigateurs à l’époque où ils naviguaient à la boussole de ne pas se perdre en mer. Cette carte a été beaucoup utilisée pour des représentations thématiques du monde alors qu’elle ne conserve pas les surfaces. Plus la latitude croît, plus les superficies sont exagérées. Le pôle est rejeté à l’infini. Observez la différence de surface deux pays de superficies équivalentes tels que le Groenland et le Congo.

Ex. de projection cylindrique équivalente : la projection de Peeters A cause de l’usage excessif de la projection de Mercator, la projection cylindrique équivalente de Peeters a un beaucoup de succès (Fig. *) ; elle est accompagnée d’un discours tiers-mondiste : elle replace l’équateur au centre de la carte, et l’Europe, dont les surfaces étaient exagérées dans la projection de Mercator, retrouve sa vraie dimension. Elle a le grand défaut de déformer les continents de façon excessive.

Ex. de projection cylindrique équivalente : la projection de Behrman Il existe d’autres projections cylindriques équivalentes qui déforment moins les continents, par exemple la projection de Behrmann (Fig. *).

Projection équivalente de Hammer oblique à 45° Parmi les projections équivalentes, la projection Hammer oblique à 45° montre bien les positions relatives des différents continents (en particulier ceux de l’hémisphère Nord) en rejetant les déformations dans l’océan Pacifique ou au Pôle Sud. Elle est particulièrement adaptée à une représentation à l’échelle mondiale.

Ex. de projection azimulale tangeante au pôle Nord La projection azimutale est souvent utilisée pour représenter les pôles. Les méridiens y sont alors représentés par des droites convergeant au pôle et les parallèles par des cercles concentriques (Fig. *).

Erreur : représentation erronée des distances La majorité des projections ne conserve pas les distances (ou seulement le long de parallèles ou méridiens de référence). On ne peut donc représenter les distances sur n’importe quelle projection. Voici un exemple de représentation tout à fait fausse des distances. Figure 33 : les cercles pleins sont proportionnels au nombre des entrées des visiteurs étrangers. Les circonférences indiquent le rayon de distance à partir des principaux centres émetteurs (Cazes, 1980, p. 18)‏ Vu que la projection cylindrique ne conserve pas les distances, les circonférences ne représentent pas des ensembles de lieux à distances égales de leur centre. La carte est donc fausse.

Projection azimutale équivalente = seule projection conservant les distances au point central Distances à Paris = cercles Distances au pôle Nord ou au pôle Sud = courbe irrégulière Déformations rejettées sur les bords La projection azimutale équivalente est la seule projection qui conserve les distances au point central. C’est donc une projection fort intéressante en géographie. Voici un exemple de représentation des distances à Paris sur une carte en projection azimutale équivalente. Remarquez que les lieux à égales distances du Pôle Nord et du Pôle Sud ne sont pas des cercles. Remarquez également que les déformations sont rejettées en marge de la carte.

Autres projection azimutales équivalentes obliques Centrée sur Khartoum Centrée sur Madison, Wisconsin Centrée sur Wellington, Nouvelle Zélande

Critères de choix d'une projection Besoins de l'application: angles, distances, surfaces Taille de la zone: détermine l'importance des distortions Localisation de la zone: basse latitude: projections cylindriques latitude moyenne: projections coniques régions polaires: projections azimutales Forme de la zone: N-S -> cylindrique transversale E-O -> conique

Le géoréférencement Lier des coordonnés géographiques à des points de l'image / des objets graphiques Différentes sources d'information pour géoréférencer: Coordonnés sur carte scannée Points de référence (ex: par GPS) Données numériques géoréférencées de référence (vectorielles ou matricielles)

Corrections géométriques Sélection de points de calage gd nbre de points bien répartis sur tout la zone et même au delà (carrefours, confluence, croisement route - chemin de fer) Coordonnées de référence (X, Y) et carte à géoréférencer (u, v) à connaître précisément : ! aux effets de la généralisation sur carte ! aux petits changements de localisation entre dates

Exemple avec gvSIG

Corrections géométriques Estimation de la transformation géométrique à partir des coordonnées x, y de référence et des coordonnées u, v sur carte à géoréférencer, ajuste polynôme par méthode des moindres carrés + ordre élevé, + surface se déforme (suppose que points de contrôle très fiables)‏ nbre de pts dépend de l'ordre du polynôme et de RMS à atteindre min. 3 pts pour 1er ordre (= rotation, translation et mise à l’échelle)‏ 6 2 10 3 maintenir ordre le + petit possible, pour réduire RMS, augmenter le nbre de point :

Corrections géométriques : Application à toute l'image transformation polynomiale appliquée à toute l’image localisation d’un pixel/noeud calculée à l'aide de la transformation polynomiale ne correspond pas forcément à la localisation réelle dans l’image de sortie calcule valeur du pixel/noeud de l’image de sortie par interpolation des valeurs de l’image non corrigée selon différentes méthodes : + proche voisin (valeur du pixel le + proche)‏ interpolation bilinéaire (voisinage de 4 x 4 pixels)‏ interpolation cubique (voisinage de 16 x 16 pixels)‏ rmq : si changement d’échelle important duplication ou suppression de pixels

Localisation possible des pixels () et localisation calculée des pixels (o) Interpolation au plus proche voisin Interpolation bilinéaire Interpolation cubique