STATISTIQUE DESCRIPTIVE Pr ADIL SOUFI

GENERALITÉS Utilisation de la statistique Définitions des principaux termes Distributions et tableaux statistiques Représentations graphiques

Utilisations de la statistique

Objectifs La statistique : est ensemble des méthodes scientifiques à partir desquelles sont collecter, présentées , résumées et analysées des données. Les statistiques : est désigner des données ou des résultats obtenus à partir de ces données. Exemple : statistiques sur le chômage statistiques démographiques

La statistique descriptive et mathématique L'objectif de la statistique descriptive est de décrire, c'est-à-dire de résumer ou représenter, par des statistiques, les données disponibles quand elles sont nombreuses.

Définitions des principaux termes

Population Est l’ensemble de référence sur lequel porte les observations. Exemple : Ensemble des personnes qui ont réussi le baccalauréat l’an passé Ensemble des automobiles en état de circuler au 1er janvier de cette année

Individu Est un élément de la population. On peut dire que la population ensemble des individus

Caractère ou variable statistique Est une information dont on (observe ou mesure) sur chaque individu. Exemple : Un individu qui a réussi le baccalauréat peut être décrit selon la note de mathématiques qu’il a obtenue ou bien selon la mention qu’il a obtenue

Modalités d’un caractère ou d’une variable statistique on désigne aussi par modalités les différentes valeurs présentées par les individus, d'une population relativement à une variable statistique

Caractère quantitatif discret Un caractère ou variable X est quantitatif si ses diverses modalités son mesurables, c est à dire chaque modalité j est associé un nombre xj . Exemple : le nombre d’enfants par famille . La valeur de la variable (ou caractère) pour une famille sera ici un nombre entier de l’ensemble(0, 1, 2, ……?, n)

Caractère quantitatif continu Le caractère peut prendre n’importe quelle valeur dans un intervalle . Exemple : la température relevée à Tanger, à 8heurs, le 1er juin sera un élément de l’intervalle [5,35] en de grés celsius.

Caractère qualitatif Un caractère est qualitatif si chaque modalité ne peut être mesurée par un nombre . Exemple : état familial d’un individu : célibataire , marie , divorcé….

Effectifs et fréquences Effectif n (fréquence absolue) d’une population est le nombre d’individus qui composent cette population. Effectif ni relatif à la modalité i du caractère X est le nombre d’individus de la population qui présentent la modalité i.

Effectifs et fréquences Si le caractère présente p modalités, alors : n = n1+n2+n3+……+ni+ …..+np = La fréquence relative fi d’une modalité i du caractère X est la proportion d’individus de la population qui présentent la modalité i, ainsi: fi= est la fréquence relative de la modalité i de X.

Effectifs et fréquences La somme des fréquences relatives est égale à1 ou 100%.

Fonction de répartition, effectifs et fréquences cumulés Effectifs cumulés croissants(ascendants): l’effectif cumulé croissant jusqu’à une valeur X est le nombre d’observations strictement inferieures à x. Effectifs cumulés décroissants(descendants): l’effectif cumulé décroissant jusqu’à une valeur X est le nombre d’observations strictement supérieur à x

Exercice Montrer sur un exemple que l’on peut transformer un caractère quantitatif en caractère qualitatif.

Distributions et tableaux statistiques

Tableaux statistiques Si on décrit les individus selon un seul caractère, les tableau statistiques sont à une dimension.

Modalités du caractère Caractère qualitatif Modalités du caractère effectifs C1 n1 C2 n2 C3 n3 C4 n4 C5 n5 C6 n6 total n n : le nombre total d’observation

Caractère quantitatif discret En remplaçant Ci par xi , on désigne souvent par distribution ou série statique l’ensemble des couples (xi,ni) .

Caractère quantitatif continu On remplace Ci par l intervalle [ei-1,ei[( la classe) ei-ei-1 est l’amplitude de la classe

Représentations graphiques

DIAGRAMME CIRCULAIRE Chaque valeur du caractère est représentée par un angle dont la mesure est proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence). Le diagramme circulaire est particulièrement Adapté aux séries statistiques à caractère qualitatif.

Exemple

DIAGRAMME A BATONS Chaque valeur du caractère est représentée par un segment dont la longueur est proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence). Le diagramme à bâtons est particulièrement adapté a un séries statistiques à caractère quantitatif discret.

Exemple

HISTOGRAMME Un histogramme est constitué de rectangles accolés ayant pour largeur les amplitudes des classes et dont le surface est proportionnelle aux effectifs (ou aux fréquences).

Exemple

HISTOGRAMME ni ou fi ni/ai ou fi/ai ai

Activités

Activité 1 DISTANCES

Valeur centrale

Valeur centrale une valeur centrale est un résumé, par une seule valeur, de l'ensemble des valeurs d'une distribution statistique.

Trois valeurs centrales La moyenne arithmétique La médiane Le mode

La moyenne arithmétique C’est la caractéristique qui représente le mieux « le centre » de la distribution de la série statistique .

La moyenne arithmétique simple La moyenne arithmétique simple d une suite de nombres x1, x2, ….., Xi,…….,Xn Elle est définie par: Qui se lit « x barre » est la moyenne arithmétique simple

La moyenne arithmétique pondérée On supposons que la valeur de : X1 soit observée n1 fois X2 soit observée n2 fois . Xi soit observée ni fois

Formulation de la moyenne avec fréquences relatives est la fréquence relative de la modalité i alors la moyenne est : Si la fréquence sont donnés en pourcentage :

La cas des Variables continues Xi est le centre de la classe i.

Activités

Xi : représentant le centre des classes b) Retrouver a l aide de Le tableau suivant donne la répartition des 600 salariés d’une entreprise selon la durée, exprimée en minutes, du trajet domicile-travail. Parmi ces trois durées: 15 mn , 35 mn , 60 mn mn laquelle semble susceptible d’être proche de la durée moyenne de trajet? a) A l’aide d une tableau pour présenter les calculs déterminer la moyenne puis sachant que . Xi : représentant le centre des classes b) Retrouver a l aide de Durée du trajet en x minutes [0,10[ [10,20[ [20,30[ [30,40[ [40,50[ [50,60[ [60,70[ EFFECTIFS 50 95 127 151 83 54 40

Le mode Le mode correspond au sommet de l histogramme Pour un caractère discret le mode est la valeur du caractère observé avec la plus grande fréquence. Exemple Mode = 4piéces(4 est la modalité la plus fréquente) Pour un caractère contenue, est celle qui correspond au plus grand effectif si toutes les classes ont même amplitude. Le mode correspond au sommet de l histogramme Nbr de pieces 1 2 3 4 5 6 7 8 TATALE effectifs 10 15 30 12 100

La médiane Est la valeur du caractère pour lequel il y a autant d’observation supérieures à celle valeur que d’observation inferieures Exemple Considérons les notes sur 20 à un contrôle de statistique par sept personnes 10,5 ; 8,5 ; 17 ; 14 ; 6 ; 11 ; 13,5 Ordonnons ces observation par ordre croissante ce qui donne: 6 ; 8,5 ; 10,5 ; 11 ; 13,5 ; 14 ; 17 La médiane est égale à 11 car il y trois notes inferieur à 11 et trois notes supérieures a 11

Soit la distribution de 50 femmes selon leur nombre d’enfants : Tracer le diagramme différentiel. Déterminer le mode. Calculer la médiane. Calculer la moyenne arithmétique.

La moyenne géométrique mg La moyenne géométrique simple d’une suite de nombres positifs x1 , x2 , ….., xi , xn. Exemple x1=1.1 , x2=1.2 , x3=1.7

La moyenne géométrique mg Les valeurs x1 , x2,……xi,…xp sont observées avec les fréquences n1,n2,…ni,….,np. La moyenne géométrique pondérée mg est définie par :

Activite

Exercice 1 Un produit coûte 1000 euros, il augmente de 10% par an pendant trois ans Montrer qu’au bout des trois ans l’augmentation globale est de 33.1%. Comment retrouve l’augmentation moyenne annuelle, puis mensuelle, à partir de l’augmentation de 33.1% sur trois ans ? Exercice 2 On emprunte un capital de 100000 euros que l’on rembourse au bout de 4ans, en une seul fois, avec le montant des intérêts. Les taux d’intérêts sont les suivants: À la fin de chaque période d’un an, les intérêts sont capitalisés, c’est à adire qu’ils s’ajoutent au capital dû. Quel est le montant des intérêts à payer au bout des 4 ans? Quel est le taux d’intérêt moyen annuel pratiqué? année 1 2 3 4 Taux d’intérêt 5% 10% 12% 15%

La moyenne harmonique La moyenne harmonique mh de n nombres non nuls x1, x2,…..,xi,…xn est définie par :

Exercice On procède l’achat d’actions: Pour 26 000 euros au cours de 520 euros; Pour 40 000 euros au cours de 500 euros; Pour 37100 euros au cours de 530 euros. Quel est le cours moyen d’une action