Méthodes spectrales de simulation d’écoulements - Éléments de théorie de l’approximation fonctionnelle… pourquoi Chebyshev ? - Approximations Fourier et Polynômiales Legendre et Chebyshev. - Les méthodes spectrales Chebyshev. - Définition et utilisation des opérateurs intégro- différentiels. - Résolution de problèmes de Helmholtz. - Résolution du problème de Navier-Stokes.

Canuto, Hussaini, Quarteroni et Zang, Spectral Methods in fluid dynamics, Springer series in Computational Physics (1988). J. Boyde, Chebyshev and Fourier Spectral Methods, Dover Publishers, (PDF mis en ligne gratuitement par l’auteur) (2001). M. Deville, P. Fisher, E. Mundt, High-Order Methods for Incompressible Fluid Flow, Cambridge monographs on applied and computational mathematics, Cambridge University Press (2002). C.Canuto, M.Hussaini, A.Quarteroni and T.Zang, Spectral Methods. Evolution to Complex Geometries and Applications to Fluid Dynamics, Springer Verlag (2007). C.Canuto, M.Hussaini, A.Quarteroni and T.Zang, Spectral Methods. Fundamentals in Single Domains, Springer Verlag (2006). G. Labrosse, Méthodes Spectrales, méthodes locales, méthodes globales, problèmes de Helmholtz et de Stokes, Problème de Navier-Stokes, Editions Ellipses (2011). W. Guo, G. Labrosse, R. Narayanan, The application of the Chebyshev-Spectral Method in Transport Phenomena, Lecture notes in Applied and Computational Mechanics, Springer (2012). Références :

Éléments de théorie de l’approximation fonctionnelle. Les polynômes de Chebyshev comme meilleure approximation polynômiale d’une fonction continue.

Définition du produit scalaire : Dans l’espace des fonctions de carré pondéré sommable sur I, on définit le produit scalaire de deux fonctions f et g par : Muni de ce produit scalaire, P N a une structure d’espace vectoriel. Avec w une fonction strictement positive

Mesure d’une approximation : L’approximation (écart entre l’approximation q et la fonction f) est mesurée par la norme L p :

La norme infinie peut s’écrire C’est la nome la plus sévère et équivaut à la convergence uniforme. La convergence en norme infinie implique donc la convergence de toutes les autres normes.

Théorèmes relatifs aux approximations polynômiales. Théorème de Weierstrass (1885) : Théorème d’existence et d’unicité :

Remarques : -un polynôme optimal pour une norme n’a aucune raison de l’être pour une autre. - en norme infinie, le polynôme optimal définit l’approximation Chebyshev et l’erreur commise peut donc être écrite : - en norme 2, le polynôme optimal définit l’approximation Legendre. Pour toute fonction f continue sur I, la suite des erreurs minimales d’approximations polynômiales de degré N croissant vérifie :

Propriété d’équi-oscillation : La réciproque est vraie :

Polynômes de Chebyshev et erreur minimale d’approximation : Ils obéissent à une relation de récurrence : Le coefficient de plus haut degré de T n vaut donc 2 n-1. Polynômes T 5 et T 10

Meilleure approximation d’un polynôme p(x) de degré N+1 par un polynôme q de degré N La meilleure approximation d’un polynôme par un polynôme de degré inférieur est la troncature de sa décomposition Chebyshev.

Polynômes de Chebyshev et interpolation optimale

Polynômes de Lagrange et théorème de l’unicité : Sur un support à n+1 points, il existe un seul polynôme de degré N passant par tous les points du support: le polynôme de Lagrange. Calcul:- résolution du système linéaire suivant: - formule de Lagrange: 14 Un support d’interpolation est un ensemble de valeurs f p d’une fonction f définies aux points particuliers x=x p.

L’écriture polynomiale d’un polynôme de degré N est unique à partir de la connaissance de ses valeurs en N+1 points distincts. Si la fonction à interpoler est un polynôme de degré N, l’erreur d’approximation est nulle mathématiquement, a priori très faible numériquement.

Théorème de l’erreur à l’approximation polynômiale ne dépend pas de f(x) e N s’annule aux N+1 points du support. Le terme produit ne dépend que du maillage choisi et il pourra être intéressant de chercher à le minimiser.

17 Démonstration de la formule W s’annule n+2 fois, W’ s’annule n+1 fois, … W n+1 s’annule une fois en un point Erreur d’interpolation :

Propriété: Il est complètement défini pas ses racines, et leur utilisation comme support d’interpolation permet donc de minimiser 18 Nous verrons par la suite que connaître la valeur de la fonction aux racines du polynôme équivaut à connaître le spectre de la décomposition de la fonction sur la base des polynômes de Chebyshev.

19 r prend des signes alternés sur n+1 points et a donc n zéros. Il est de degré n-1 donc : Ce qui contredit l’hypothèse. Preuve : Si Aux extrema du polynôme

a.Points uniformément répartis b.Points obtenus par la projection de points répartis à angle constant sur la partie supérieure du cercle unité (points -1 et 1 compris) : points de Gauss-Lobatto-Chebyshev. c.Points obtenus de la même façon en excluant les bords : points de Gauss-Chebyshev. La définition de ces points sera donnée par la suite.

L’approximation polynômiale converge-t’elle avec le degré d’approximation ? Voyons l’illustration matlab correspondante : observation du phénomène de Runge.

Références pour compléter et approfondir ces notions : E. Cheney, Introduction to Approximation Theory, Mac Graw Hill, New York, 1966 T. Rivlin, Chebyshev polynomials, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1990.