Calcul Récursif de la Transformée de Fourier Rapide

Transformation d’une séquence d’un nombre N pair d’échantillons

Séparation deux séquences d’échantillons de numéro pair et impair x o,N/2 (t) x i,N/2 (t)

Séparation deux séquences d’échantillons de numéro pair et impair x o,N/2 (t) x i,N/2 (t)

Séparation deux séquences d’échantillons de numéro pair et impair x o,N/2 (t) x i,N/2 (t)

Séparation deux séquences d’échantillons de numéro pair et impair x o,N/2 (t) x i,N/2 (t)

Séparation deux séquences d’échantillons de numéro pair et impair x o,N/2 (t) x i,N/2 (t)

Séparation deux séquences d’échantillons de numéro pair et impair x o,N/2 (t) x i,N/2 (t)

Séparation deux séquences d’échantillons de numéro pair et impair x o,N/2 (t) x i,N/2 (t)

Séparation deux séquences d’échantillons de numéro pair et impair x o,N/2 (t) x i,N/2 (t)

Séparation deux séquences d’échantillons de numéro pair et impair x o,N/2 (t) x i,N/2 (t)

Calcul de la T. F. des échantillons de numéro pair (taille N/2) x o,N/2 (t) x i,N/2 (t) (récursivité; arrêt pour N=1 : X 1 (0)=x 1 (0)) X o,N/2 (k) T.F. taille N/2

Calcul de la T. F. des échantillons de numéro impair (taille N/2) x o,N/2 (t) x i,N/2 (t) X o,N/2 (k) X i,N/2 (k) T.F. taille N/2 (récursivité) T.F. taille N/2 T.F. taille N/2

Multiplication des échantillons X i,N/2 (k) (taille N/2) x o,N/2 (t) x i,N/2 (t) X o,N/2 (k) X i,N/2 (k) x  k,  exp(-2  j/N)     T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 T.F. taille N/2

0 Obtention par addition des N/2 premiers termes de X N (k) (taille N) x o,N/2 (t) x i,N/2 (t) X o,N/2 (k) X i,N/2 (k) XN(k)XN(k) + + T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 x  k,  exp(-2  j/N)    

0 1 Obtention par addition des N/2 premiers termes de X N (k) (taille N) x o,N/2 (t) x i,N/2 (t) X o,N/2 (k) X i,N/2 (k) XN(k)XN(k) T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 x  k,  exp(-2  j/N)    

0 1 N/2-1 Obtention par addition des N/2 premiers termes de X N (k) (taille N) x o,N/2 (t) x i,N/2 (t) X o,N/2 (k) X i,N/2 (k) XN(k)XN(k) T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 x  k,  exp(-2  j/N)    

0 1 Obtention par soustraction des N/2 derniers termes de X N (k) (taille N) x o,N/2 (t) x i,N/2 (t) X o,N/2 (k) X i,N/2 (k) XN(k)XN(k) T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 N/2-1 N/2 x  k,  exp(-2  j/N)    

Obtention par soustraction des N/2 derniers termes de X N (k) (taille N) x o,N/2 (t) x i,N/2 (t) X o,N/2 (k) X i,N/2 (k) XN(k)XN(k) T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 N/2 N-1 N/ x  k,  exp(-2  j/N)    

x o,N/2 (t) x i,N/2 (t) X o,N/2 (k) X i,N/2 (k) XN(k)XN(k) T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 0 1 N/2 N-1 0 N/ N/2 N-1 N/2-1 0 x  k,  exp(-2  j/N)   N 

 Calcul préalable et mémorisation des  k pour les calculs répétitifs (ne pas refaire le calcul des exponentielles s’il est déjà fait !)  Tenir compte d’une éventuelle perte de précision (quelques bits)  On peut commencer par effectuer tous les tris en séquences d’échantillons de numéros pairs et impairs avant de faire le calcul récursif (‘‘bit reversal ’’) : représentation binaire de t : b 0 b 1 b 2...b m, on range x(t) à l’adresse b m...b 2 b 1 b