27/10/24 Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique 1 MODELISATION MATHEMATIQUE - CHANGEMENT D’ECHELLE Homogénéisation Présentation Générale (Alain Bourgeat)

27/10/24 Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique 2 Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them, they translate into their own language and forthwith it is something entirely different. J. W. Goethe

27/10/24 Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique 3 Définition L'homogénéisation consiste à gommer les hétérogénéités inhérentes aux microstructures afin d'obtenir une loi de comportement plus simple du milieu, asymptotiquement équivalente, dite homogénéisée. On ne dispose pas en général de formule explicite de la loi homogénéisée sauf dans des cas très particuliers.

27/10/24 Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique 4 Principes A partir d’une modèlisation mathématique adimensionnalisée, écrite à l’échelle « microscopique » –Hypothèses et domaine de validité clairement définis –Met en évidence les importances relatives des phénomènes (par exemple : Diffusion /Dispersion /Convection/ Décroissance radioactive/…) –Permet de considérer conjointement les grandeurs physiques importantes (différents Flux, Energie, …) un choix du temps caractéristique « interessant »

27/10/24 Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique 5 Principes Mettre en évidence le « petit paramêtre »  associé aux hétérogéneités ou oscillations des propriétés –Taille relative de la période spatiale ou temporelle Mesurer toutes les rapports: de taille, de puissance des phénomènes, en fonction de ce petit paramètre  –Taille des grains, porosité, perméabilité, … Nombre de Peclet, Nombre de Reynolds, Nombre de Froude, …, exprimés en

27/10/24 Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique 6 Exemples simples (2) Ecoulement à travers des grains (obstacles en grand nombre): (1) Diffusion à travers un matériau hétérogène (hétérogéneités en grand nombre):

27/10/24 Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique 7 Exemples moins simples (2) Ecoulement à travers des grains (obstacles) en grand nombre): (1) Diffusion à travers un matériau hétérogène (hétérogéneités en grand nombre):

27/10/24 Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique 8 Principes (le retour) En écrivant les modèles : I– Supposer que le « petit paramêtre »  associé aux hétérogénéités ou oscillations des propriétés, est infiniment petit ( très grand nombre d’hétérogéneités, d’ oscillations des propriétés, d’obstacles, …)

27/10/24 Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique 9 Principes I – Trouver la limite II – Etudier la limite (en un sens adéquat ! ) lorsque du modèle (équation)

27/10/24 Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique 10 Problèmes I – Quelle limite? En quel sens? ex: II – Comment obtenir cette limite?

27/10/24 Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique 11 I

27/10/24 Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique 12 I

27/10/24 Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique 13 II

27/10/24 Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique 14 II

27/10/24 Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique 15 Diverses techniques Contenant éventuellement des couches limites II - Développement: I - Notion de limite faible, de limite à double échelles, … (en considérant l’Energie) La limite de l’Energie donne le comportement à grande échelle (ou global)

27/10/24 Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique 16 APPLICATIONS CLASSIQUES Validation des hypothèses sous jacentes, domaine de validité; moyens de calculer exactement; Micro –Méso –Navier-Stokes Darcy, Brinkman,Forcheimer,… –Navier-Stokes +Elasticité Biot –Ecoulements non newtoniens Lois de filtration ad-hoc –Navier-Stokes ou Diffusion tailles critiques des « mésopores » ou « fractures » –Diffusion diffusion dispersion

27/10/24 Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique 17 APPLICATIONS CLASSIQUES Validation des hypothèses sous jacentes, domaine de validité; moyens de calculer exactement; Méso - Macro –Transport, diffusion lois globales de milieux fissurés (vs. Taille des fractures) –Transport, diffusion modèles champ lointain de site de stockage (avec possible endommagement) –Ecoulements multiphasiques lois doubles porosité de milieux fissurés –Ecoulements multiphasiques Lois « macroscopiques » de comportements Pc, Kr; K –Navier-Stokes lois de contact fluide libre- milieu poreux,

27/10/24 Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique 18 CONCLUSIONS : + / - Validation des hypothèses sous jacentes, identification des domaine de validité; moyens de calculer exactement; Donne les ordres de grandeur Valide les modèles (identifie les phénomènes) que l’expérimentateur va voir à son échelle d’observation Analyse théorique des EDP!! => besoin de collaboration avec les phénoménologues