Vaguener ǀ Willis Towers Watson 1 Alac Luxembourg 12│05│2016 Duration Vectorielle et ALM Mobile :

Vaguener ǀ Willis Towers Watson AGENDA 1. Rappels 2. Duration, convexité, ALM 2.1 Définition et Motivation 2.2 Duration et Convexité : ΔR(t) = ε Duration et Convexité : ΔR(t) = ε 1 t 3. Duration vectorielle, ALM : ΔR(t) = ε 0 + ε 1 t + ε 2 t² Annexe 2

Vaguener ǀ Willis Towers Watson 1. RAPPELS 3

Vaguener ǀ Willis Towers Watson Soit un investissement obligataire VI(0,r) : capitalisons la valeur actuelle VI(0,r) de l’investissement à l’instant D et calculons la valeur de D qui annule la dérivée de VI(D,r) par rapport à r A cet instant D, la perte (le gain) sur le réinvestissement des coupons est compensée par l’augmentation (la diminution) de la valeur de l’obligation consécutive à une diminution (augmentation) du taux d’intérêt sur le marché pratiqué pour un instrument financier similaire. 1. Rappel : Duration comme instant d’immunisation 4

Vaguener ǀ Willis Towers Watson Intéressons-nous cette fois à la sensibilité de la valeur d’une obligation à une variation du taux d’intérêt r Et en développant en série V(0,r) jusqu’au terme d’ordre 2, on a : 1. Rappel : Duration comme mesure de sensibilité, Convexité 5

Vaguener ǀ Willis Towers Watson Duration Convexité 1. Rappels : Duration et convexité à taux continu 6 (1) (2)

Vaguener ǀ Willis Towers Watson 2. DURATION, CONVEXITÉ, ALM Introduction aux notions de 7

Vaguener ǀ Willis Towers Watson 2.1 Définitions et Motivation 8 Définition ALM La gestion actif-passif (Asset and Liability Management, ou ALM) peut se définir comme un ensemble de techniques visant à coordonner les décisions relatives à l’actif et au passif, dans le but de protéger et d’optimiser la richesse nette. Partons d’une position initiale d’équilibre : G(0) = VA(0) – VL(0) = 0 Motivation : Analyser dans un contexte déterministe la sensibilité de G(0) à une variation du taux d’intérêt pratiqué sur le marché en partant d’une position initiale d’équilibre (G(0)=0). (3)

Vaguener ǀ Willis Towers Watson 2.2 Duration et Convexité : ΔR(t) = ε 0 9 Supposons par exemple qu’immédiatement, après l’instant initial d’évaluation des positions de l’actif et du passif, la courbe de taux subisse un déplacement parallèle (à la hausse ou à la baisse) d’un montant positif ou négatif ε 0 tel que : La position est immunisée Si Admettons : 1. Cash-flows d’actifs A(t) et de passifs L(t) insensibles à la courbe des taux. 2. Mouvement parallèle ε 0 de la courbe des taux.

Vaguener ǀ Willis Towers Watson 2.2 Duration et Convexité : ΔR(t) = ε 0 10 Développons en série G(0,ε 0 ) jusqu’au terme d’ordre 2 au voisinage de ε 0 =0 Si : et, alors la position initiale G(0,0) est immunisée et Calculons et

Vaguener ǀ Willis Towers Watson 2.2 Duration et Convexité : ΔR(t) = ε 0 11 Calculons avec Première condition d’immunisation d’une position d’équilibre G(0,0) = 0 (4)

Vaguener ǀ Willis Towers Watson 2.2 Duration et Convexité : ΔR(t) = ε 0 12 Calculons Compte tenu des relations (2), (4) et (5), on peut écrire : Seconde condition d’immunisation d’une position d’équilibre G(0,0) = 0 (5) (6)

Vaguener ǀ Willis Towers Watson 2.2 Duration et Convexité : ΔR(t) = ε 0 13 En synthèse, partant d’une position initiale d’équilibre G(0,0)=0, les conditions d’immunisation contre une déplacement parallèle de la courbe des taux d’intérêt sur le marché sont : Egalité des valeurs actuelles : VA(0) = VL(0) Egalité des Durations : D A = D L Condition de Convexité : Q A ≥ Q L Si taux r plat

Vaguener ǀ Willis Towers Watson 2.2 Duration et Convexité : ΔR(t) = ε 0 : exemple Exemple : considérons que les structures de l’actif et du passif soient, d’une part, composées des cash-flows repris dans la figure ci-dessous et, d’autre part, que le taux d’intérêt en base annuelle initial r soit de 5 % et donc un taux continu équivalent de 4,879 % 14 La position initiale est équilibrée puisque VA(0)=VL(0)=104,244 Calculons les durations et convexités de la structure des actifs et passifs (voir relations (1) et (2)) Calculons les effets d’une hausse et d’une baisse du taux de 50 pb : ε 0 = ± 0,005 La position est immunisée, MAIS est- ce toujours vrai ? t=0t=6t=12 t=8,564 V(t) 158,313 A(t) ,2

Vaguener ǀ Willis Towers Watson 2.3 Duration et Convexité : Si ΔR(t) = ε 1.t Considérons la même position initiale, mais la courbe des taux subit un effet de pente ou de rotation, c’est-à-dire un déplacement non parallèle. 15 Calculons les effets de pente de la courbe des taux sur la position initiale si ε 1 prend les valeurs de 2,5 % (hausse) et -2,5% (baisse) Position non immunisée si ε 1 <0

Vaguener ǀ Willis Towers Watson 3. DURATION VECTORIELLE Introduction à la notion de 16

Vaguener ǀ Willis Towers Watson Duration vectorielle : ΔR(t) = ε 0 + ε 1.t + ε 2.t² Soit un instrument financier délivrant les flux : évalué sous la courbe des taux initiale tel que : Admettons une déformation de la courbe des taux avec effets de niveau, de pente et courbure, V(0) devient V(0 + ) tel que: Intéressons-nous au facteur d’actualisation en le développant en série autour du point initial (0,0,0) (7) (8)

Vaguener ǀ Willis Towers Watson Duration vectorielle : ΔR(t) = ε 0 + ε 1.t + ε 2.t² On peut donc utiliser ce développement pour approcher le nouveau facteur d’actualisation après déformation de la courbe des taux. Calculons les dérivées du premier et second ordre : (8)

Vaguener ǀ Willis Towers Watson Duration vectorielle : ΔR(t) = ε 0 + ε 1.t + ε 2.t² Remplaçons dans (8) les dérivées par leur valeur : Nous obtenons : L’approximation de la valeur actuelle (7) des flux sous la nouvelle courbe des taux devient : (9) (10) (8)

Vaguener ǀ Willis Towers Watson Duration vectorielle : ΔR(t) = ε 0 + ε 1.t + ε 2.t² La duration d’ordre i : Nous obtenons à partir de la relation (10) : Appliqué au GAP actif Passif, nous obtenons : (11) Voir annexe (12)

Vaguener ǀ Willis Towers Watson Duration vectorielle : ΔR(t) = ε 0 + ε 1.t + ε 2.t²  Si on désire obtenir une protection contre une variation plus importante des trois effets, à savoir les déplacements de niveau, de pente et de courbure, la stratégie consiste à posséder : des actifs et des passifs de même duration du premier, du deuxième, du troisième, du quatrième et du cinquième ordre. des actifs de duration du sixième ordre supérieure ou égale à celle des passifs  Nous pouvons généraliser en adoptant une modification de la courbe des taux de type polynomiale limitée aux k premiers termes.

Vaguener ǀ Willis Towers Watson Merci de votre attention Devolder, Fox, Vaguener, Mathématiques Financières, 2 ème édition Pearson, Montreuil, juin Référence :

Vaguener ǀ Willis Towers Watson Annexe : expression (12) 23