Conjecture H: Topologie, algèbre et géométrie. UNIVERSITÉ HASSAN II FACULTE DES SCIENCES CASABLANCA Conjecture H: Topologie, algèbre et géométrie. Hassan AAYA
Sommaire Introduction Formes différentielles Algèbres différentielles graduées Lemme de Poincaré et cohomologie de de Rham Lien avec la topologie : et groupes d'homotopie supérieurs La théorie de Quillen-Sullivan et Le théorème de Quillen-Sullivan sur Passer des réels aux rationnels :Triangulation, modèle de Sullivan La conjecture H.
Introduction
Introduction Historique: Ce résultat a été démontré par M. Hilali pour le cas des espaces pures en 1990, et puis par MM. Hilali et Mamouni en 2008 pour le cas hyper-elliptique sous des conditions spécifiques et d’autres types d’espaces topologiques, avant d’être démontré en 2012 par des espagnoles dans le cas hyper-elliptique.
Introduction Le calcul des groupes d’homotopie d’ordre supérieur est un problème fondamental de la topologie algébrique. Mais, curieusement, on ne sait même pas calculer les groupes d'homotopie des sphères:
Introduction A part quelques cas:
Formes différentielles Une forme différentielle de degré 1 sur un ouvert de est une expression de la forme Où sont des fonctions sur cet ouvert.
Formes différentielles Une forme différentielle de degré n ≥1, sur une variété X consiste en la donnée en chaque point x d'une forme n-linéaire alternée sur l'espace tangent en x. En coordonnées :
Formes différentielles On note l'ensemble des formes différentielles de degré n≥1, l'anneau des fonctions . On note la somme directe des .
Algèbres différentielles graduées
Algèbres différentielles graduées Si on a Alors
Exemple ADG de Koszul
Lemme de Poincaré et cohomologie de De Rham. On vérifie par le calcul que soit Donc
Lemme de Poincaré et cohomologie de De Rham.
Lemme de Poincaré et cohomologie de De Rham. Autrement dit, le nième groupe de cohomologie matérialise l'obstruction pour qu'une forme régulière fermée sur X soit exacte
Lemme de Poincaré et cohomologie de De Rham.
Lien avec la topologie et groupes d'homotopie supérieurs
Lien avec la topologie et groupes d'homotopie supérieurs
Lien avec la topologie et groupes d'homotopie supérieurs
Lien avec la topologie et groupes d'homotopie supérieurs Groupes d’homotopie des sphères :
La théorie de Quillen-Sullivan
La théorie de Quillen-Sullivan
La théorie de Quillen-Sullivan
La théorie de Quillen-Sullivan
La théorie de Quillen-Sullivan
Passer des réels aux rationnels :Triangulation
Passer des réels aux rationnels :Triangulation
Passer des réels aux rationnels :Triangulation
Passer des réels aux rationnels :Triangulation Comment?
Passer des réels aux rationnels :Triangulation Comment?
Passer des réels aux rationnels :Triangulation Comment?
Passer des réels aux rationnels :Triangulation Comment?
Passer des réels aux rationnels :Triangulation
Conjecture H