variable aléatoire Discrète

Notion de variable aléatoire Dans le chapitre précédent, pour étudier une expérience aléatoire, on a construit un modèle mathématique sur la base de trois éléments: W: l’ensemble fondamental des résultats Une famille d’événements associés à W Une fonction de probabilité P Cependant, souvent, on ne s’intéresse pas aux résultats eux-mêmes mais plutôt à une ou des caractéristiques particulières de ces résultats Une variable aléatoire fournit un moyen de décrire de façon numérique les résultats d’une expérience

Notion de variable aléatoire Lorsqu’on lance une pièce de monnaie 3 fois, les résultats ont la forme: (F,P,F), (F,P,P), etc. Ce qui nous intéresse, ce n’est pas tellement un triplet particulier mais plutôt une caractéristique de ce triplet Par exemple le nombre de faces De plus, il arrive souvent que les résultats ne soient pas définis sous forme numérique

Notion de variable aléatoire Il est pratiquement impossible d’effectuer des opérations mathématiques sur des résultats comme des triplets (P,F,P) Il est donc utile de faire correspondre à chacun des résultats non numériques un résultat de type numérique Ainsi à chaque triplet on fera correspondre, par exemple, le nombre réel défini comme le nombre de faces dans le triplet

Exemple X: W w Le nombre de faces (P,P,P) (P,F,P) (P,P,F) (F,P,P) (F,P,F) (F,F,P) (P,F,F) (F,F,F) 1 2 3

Variable aléatoire - Définition Une variable aléatoire est une fonction qui associe à chaque résultat d’une expérience aléatoire un nombre réel Elle nous fournit un moyen de décrire de façon numérique les résultats d’une expérience Elle associe une valeur numérique à chaque résultat possible

Notation Une variable alétoire est identifiée par une lettre majuscule: Soit X le nombre de faces obtenues en lançant 3 pièces de monnaies Les résultats, les valeurs que X peut prendre sont représentés par une lettre minuscule x : x= 0, 1, 2 ou 3 faces

Variable aléatoire discrète Variable aléatoire discrète (V.A.D.) : Lorsque l’ensemble des résultats est un ensemble fini ou infini dénombrable La variable aléatoire discrète peut prendre soit un nombre fini de valeurs, soit un nombre infini dénombrable de valeurs telles 0, 1, 2, 3...

Généralités Les notions de variables aléatoires ne nous sont pas totalement inconnues On les a abordées sous l’angle des statistiques descriptives pour des échantillons L’étude des lois de probabilités permet de caractériser d’une manière conceptuelle une population hypothétique et possiblement infinie Le calcul des probabilités est l’aspect théorique des notions pratiques déjà traitées en statistiques descriptives

Généralités Les notions probabilistes sont associées à une population hypothétique (ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire) Les notions statistiques sont associées à un nombre restreint d’observations (échantillon) La loi des grands nombres nous permet d’établir un pont entre les notions probabilistes et les notions statistiques Elle précise que la fréquence relative d’un événement tend vers sa probabilité lorsque le nombre de répétitions de l’expérience aléatoire augmente

Généralités Notions probabilistes (Concepts théoriques) Notions statistiques (Concepts pratiques) Probabilité d’un événement Fréquence relative Variable aléatoire Variable statistique Loi de probabilité Distribution statistique (empirique) Espérance mathématique d’une variable aléatoire E(X) Moyenne arithmétique d’une variable statistique Variance d’une variable aléatoire Var(X) Variance d’une variable statistique s2

Fonction de probabilité ou fonction masse de probabilité d’une variable aléatoire discrète (v.a.d.) La distibution de probabilité d’une variable aléatoire décrit comment sont distribuées les probabilités des valeurs que peut prendre la v.a. Définir la fonction (distribution, loi) de probabilité d’une v.a. discrète c’est associer à X, chacune des valeurs possibles de la v.a., la probabilité qui lui correspond Pour une variable aléatoire discrète X, la distribution de probabilité est définie par une fonction de probabilité notée f(x). Celle-ci donne la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur x

Exemple Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer deux dés, on considère la v.a. X = la somme des résultats des deux dés. Construire un tableau de distribution de probabilité L’ensemble des réalisations de X est : x = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Il faut maintenant calculer la fonction de probabilité associée à chacun de ces résultats: f(x)

Pour une variable aléatoire discrète Exemple Tableau de distribution de probabilités (fonction de masse de probabilité): Pour une variable aléatoire discrète x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X=x) ou f(x) 36

Le nombre de votants pour le parti vert Exemple X: W w Le nombre de votants pour le parti vert (P,P,P) (P,F,P) (P,P,F) (F,P,P) (F,P,F) (F,F,P) (P,F,F) (F,F,F) 1 2 3 f(0)=1/8 f(1)=3/8 f(2)=3/8 f(3)=1/8

Représentation graphique

Propriétés d’une fonction de probabilité f(x)  0  x   f(xi) = 1

Exemple Considérons les ventes d’automobiles chez le concessionnaire Automax. Les données de ventes journalières sur une durée de 300 jours sont les suivantes: au cours de 117 jours, une auto a été vendue chaque jour; au cours de 72 jours, 2 autos ont été vendues chaque jour; au cours de 42 jours, 3 autos ont été vendues chaque jour, au cours de 12 jours, 4 autos ont été vendues chaque jour; au cours de 3 jours, 5 autos ont été vendues chaque jour. L’expérience consiste à sélectionner un jour parmi les 300 jours de l’opération.

Exemple - suite Définissons une variable aléatoire qui représente le nombre d’autos vendues par jour: Soit X le nombre d’autos vendues par jour X est une variable aléatoire discrète Les valeurs que X peut prendre sont x= 0,1,2,3,4,5 f(x) donne la probabilité qu’on vende x autos un jour donné. La distribution (fonction) de probabilité de x est: f(0)= 54/300=0,18 ;f(1)= 117/300=0,39 ; f(2)= 42/300=0,24 ;f(3)= 0,14 ;f(4)=0,04 ; f(5)= 0,01;

Exemple - suite L’avantage de décrire une variable aléatoire et sa distribution de probabilité est qu’une fois cette distribution connue, il est relativement facile de déterminer la probabilité d’occurrences des différents événements qui peuvent présenter un intérêt La probabilité de vendre au moins 3 automobiles au cours d’une journée est: f(3)+f(4)+f(5)= 0,14+0,04+0,01=0,19

Fonction de répartition La fonction de répartition est la somme des probabilités des valeurs xj de X (inférieures à x) jusqu’à x: F(x) = P( X  x ) = f(x1) + f(x2) +…+ f(xj) tel que x1, ..xj,  x - C’est la fonction de probabilités cumulées des valeurs de X jusqu’à xj - C’est aussi la surface sous la courbe f(x) jusqu’à la valeur xj

Exemple somme de 2 dés - suite 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X=x) f(x) 36 P(Xx) F(x) 15 21 26 30 33 35

Représentation graphique

Propriétés de la fonction de répartition Une fonction de répartition F(xi) prends ses valeurs dans l’intervalle (0, 1) F(-) = lim F(x) lorsque x tend vers -  = 0 F(+) = lim F(x) lorsque x tends vers +  = 1 F(x) est non-décroissante, i.e. si x1<x2 alors F(x1) F(x2)

Propriétés de la fonction de répartition Pour une variable aléatoire discrète: P(a < X  b) = F(b) – F(a) P(a < X < b) = F(b-) – F(a) P(a  X < b) = F(b-) – F(a-) P(a  X  b) = F(b) – F(a-) où : F(x-) = P(X <x)

Paramètres d’une v.a.d Paramètre de tendance centrale Espérance mathématique Paramètres de dispersion Variance Écart type

L’espérance mathématique L’espérance mathématique d’une v.a. X permet de caractériser la tendance centrale ou la position de l’ensemble des valeurs possibles d’une v.a. Notation : E[X] ou  Si X est une v.a. discrète : E[X] =  xi f(xi)

Exemple 1 - suite xi P(X=xi) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X=xi) 36 xi .f(xi) 20 30 42 40 22 E[X] =  xi f(xi) = 0 + 2 + …+ 12 = 252 = 7 36 36 36 36

La variance La variance sert d’indicateur pour l’étalement des valeurs de la variable aléatoire par rapport à  (l’espérance mathématique) Var(X) = 2 = E[(X-)2] =

La variance Var(X) = E[X2] – (E[X])2

Écart type L’écart type (déviation standard) de la variable aléatoire X, noté (X) ou simplement , est défini comme la racine carrée positive de Var(X) (X) =

Processus Bernoulli et expérience binomiale Propriétés: L’expérience est une série de n tirages identiques Deux événements sont possibles à chaque tirage: succès et échec La probabilité de succès, notée p, ne se modifie pas d’un tirage à l’autre. La probabilité d’échec q=1-p ne se modifie pas non plus Les tirages sont indépendants Lorsque les propriétés 1, 2, 3, et 4 sont satisfaites, il s’agit d’une expérience binomiale

Distribution binomiale Si une variable aléatoire X représente le nombre de succès lorsqu’on effectue n épreuves de Bernoulli, alors X obéit à une distribution binomiale. X  Bi (n, p) Ce qui se lit «X obéit à une loi binomiale de paramètres n, p» L’intérêt est de connaître le nombre de succès après n tirages

Distribution binomiale n = le nombre d’épreuves de Bernoulli p = la probabilité de succès Définition mathématique d’une v.a. binomiale : Une v.a. X qui prend les valeurs entières x telles que x = 0,1,2,…n pour n entier positif, 0  p  1, q=1-p, avec les probabilités : s’appelle une v.a. binomiale de paramètres n et p.

Distribution binomiale Si X est une v.a. binomiale alors :

Exemple Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer 2 dés où un succès consiste à obtenir une somme égale à 7. Si on répète 4 fois cette expérience aléatoire, quelle est la probabilité d’obtenir 2 succès ? p= q= n= x= Utilisation des tables p. 702: probabilité d’obtenir x succès en n tirages lors que p est la probabilité de succès Quelle est la probabilité d’obtenir moins de 3 succès?