Algèbre de BOOLE Laurent JEANPIERRE D’après le cours de Pascal FOUGERAY IUT de CAEN – Campus 3

Contenu du cours Introduction Portes logiques de base Propriétés intéressantes Résolution d’un problème logique Équivalence entre circuits

Définitions Algèbre binaire Variables booléennes : ne prennent que deux valeurs VRAI ou FAUX. Opérateurs décrits par une table de vérité Opérateurs réalisés par des portes logiques George BOOLE ( )

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Opération suiveuse (OUI) Table deSymboleÉquation vérité S = X XS 00 11

Table deSymboleÉquation vérité _ S = ¬X = X Remarque : La barre oblique est utilisée dans tous les symboles pour représenter la fonction de négation Opération inverseuse (NON) XS 01 10

Table deSymboleÉquation vérité S = A.B = A \ B = A ^ B Opération produit (ET) ABS

Table deSymboleÉquation vérité S = A+B = A [ B = A _ B Opération somme (OU) ABS

Table deSymboleÉquation vérité ___ ____ ____ S = A.B = A \ B = A ^ B Opération NON-ET (NAND) ABS

Table deSymboleÉquation vérité ____ ____ ____ S = A+B = A [ B = A _ B Opération NON-OU (NOR) ABS

Table deSymboleÉquation vérité S = A ⊕ B Opération dilemme (OU exclusif, XOR) ABS

Table deSymboleÉquation vérité ____ S = A ⊕ B Opération NON OU exclusif (NEXOR) ABS

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Propriétés algébriques LoisETOULoisETOU Identité1.A = A0+A = ANullité0.A = 01+A = 1 Associativité (A.B).C = A.(B.C) (A+B)+C = A+(B+C) CommutativitéA.B = B.AA+B = B+A DistributivitéA.(B+C) = A.B + A.CIdempotenceA.A = AA+A = A Inversion Absorption (1) A.(A+B) = AA+A.B = A Absorption (2) Loi de De Morgan

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Les problèmes logiques 1 Problème  Plusieurs variables Expressions possibles : Français Table de vérité Équations Circuits logiques Exemple : Fonction majorité F(A,B,C) = 1  majorité de 1 Table de vérité ABCF

Fonction Majorité (équations) F = ¬A. B. C + A. ¬B. C + A. B. ¬C + A. B. C F = A.B + A.C + B.C F = A. (B+C) + B.C … Table de vérité ABCF

Tableaux de Karnaugh Représentation compacte (non unique) Couramment utilisé pour 3/4 variables Utilise un code de Gray Cherche les regroupements maximaux F A=0A=1 B=1B=0B=1 C=0 D=0 D=1 C=1 D=0 F=1 F=¬C F=B F=D.¬B F=B.¬D F=C.D.¬B F=B.C.¬A F=A.B.C.¬D

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Équivalence de circuits Il est possible de réaliser toutes les fonctions logiques avec des NAND ou de NOR Il suffit de remarquer que : ¬(X. X) = ¬X et ¬(X + X) = ¬X ¬¬X = X A+B = ¬¬(A+B) = (¬A NAND ¬B) Loi de De Morgan A. B = ¬¬(A. B) = (¬A NOR ¬B) Loi de De Morgan Ce principe est utilisé dans les CPLD et les FPGA (voir le polycopié).

Ex : XOR avec des NAND A ⊕ B = A.¬B + B.¬A = ¬(¬(A.¬B). ¬(B.¬A )) A ⊕ B = (A nand ¬B) nand (B nand ¬A) A ⊕ B = (A nand (A nand B)) nand (B nand (A nand B))

Ex : NEXOR avec des NOR