Retour sur la notion de taux dintérêt Taux dintérêt réel, nominal, taux dintérêt composé actualisation

1. Taux dintérêt réel / nominal

Supposons que je prête 100 pour un an… Le taux dintérêt est de 5 % (i= 5% = 5/100 = 0,05) Donc la somme que lon me rendra sera multipliée par… Linflation est de 3 % Donc la valeur de leuro aura été divisée par… 1,05 1,03 x 1 = x 0 + x 0 x i x 1 = x 0 (1+i) Avec i=5%=5/100=0,05 Les prix ont été multipliés par 1,03, la valeur de la monnaie a été divisée par 1,03 x 0 est la somme initialement prêtée x 1 la somme due au bout dun an

En prêtant 100 me suis-je vraiment enrichi de 5 % ? On ma remboursé 5% deuros en plus : je suis 1,05 fois plus riche. Mais ces euros se sont dépréciés de 3% : ils valent 1,03 fois moins Au total on ma remboursé 100 x 1,05 / 1,03 = 101,94 Donc le taux dintérêt est en réalité de… 1,94% Passer de 100 à 101,94 Cest multiplier par 1,0194 Cest augmenter de 1,94%

Rappelez la définition du taux dintérêt réel et du taux dintérêt nominal : InternetInternet Quel est le taux dintérêt réel dans lexemple précédent ? Que signifie un taux dintérêt réel négatif ? 1,94% Ou de façon approximative : Tx nominal – Tx dinflation = 5-3 = 2% Tx nominal < Tx dinflation

Retenons la formule (approximative) Tx dint. réel (ir) =Tx dint. nominal (in) – tx dinflation (t) Etes vous capable décrire la formule rigoureuse ? Ir = [ (1+in) / (1+t) ] - 1

Quizz … Une fois le contrat de prêt conclu, linflation favorise… les créanciersles débiteurs Quand les anticipations dinflation sont fortes les prêteurs vont proposer… des taux plus élevésdes taux plus bas X X

2. Taux dintérêt composés

Supposons le taux dintérêt égal à 3% Je prête 100 euros pour une période de 10 ans. (on néglige ici linflation et on suppose que chaque année les intérêts sajoutent à la somme due) De quelle somme serai-je remboursé ? On ne peut pas écrire : 3% pendant 10 ans égalent 30 % Car chaque année les intérêts représentent 3% dune somme un peu plus importante !

Et ainsi de suite à 10 reprises Calcul dun taux dintérêt composé Départ Somme x 0 Au bout dun an Somme x 1 = x 0 x 1,03 X 1,03 Que se passe-t-il après un an ? Que se passe-t-il après deux ans ? Au bout de deux ans Somme x 2 = x 1 x 1,03 = x 0 x 1,03 x 1,03 = x 0 x 1,03 2 Au bout de trois ans Somme x 3 = x 2 x 1,03 = x 1 x 1,03 x 1,03 = x 0 x 1,03 x 1,03 x 1,03 = x 0 x 1,03 3 X 1,03 Que se passe-t-il après trois ans ?

Doù la formule x n = x o (1+i) n Avec x o la somme initialement prêtée, x n la somme rendue après n années, i le taux dintérêt en vigueur

Compliquons un peu Je prête 200 pour 12 ans Le taux dintérêt nominal est de 6% Le taux dinflation moyen est de 2% Combien aurai-je gagné en courants ? en constants ?

En euros courants La somme rendue sera égale à 200 x (1+0,06) 12 = 402,44 La somme rendue a augmenté de 101,22% par rapport à la somme prêtée. Rappel : un taux dintérêt de 6% appliqué pendant 12 ans accroît la somme, non pas de 6 x 12 = 72 % mais de 101,22 %

En euros constants Première méthode (rigoureuse) Calculons rigoureusement le taux dintérêt réel Chaque année le montant prêté est multiplié par 1,06 Mais la valeur de leuro est divisée par 1,02 1,06 / 1,02 =1,0392 (taux dintérêt réel = 3,92 %) 200 x 1, = 317,32

En euros constants Deuxième méthode (approximative) Calculons approximativement le taux dintérêt réel Taux dintérêt réel = taux dintérêt nominal – taux dinflation = 6% - 2% = 4% 200 x 1,04 12 = 320,21

En euros constants Troisième méthode (rigoureuse) Puisquon me rembourse 402,44 en euros courants Je nai quà les ramener à des euros constants Les prix ont été multipliés par 1,02 12 Le pouvoir dachat de leuro a été divisé par 1, ,44 / 1,02 12 = 317,32 Le résultat est le même quavec la première méthode