O Le décor : - un cercle de centre O

O A B C Le décor : - un triangle ABC inscrit

O A K B C I Le décor : - la bissectrice de langle

O A K B C L H I Le décor : - les projetés orthogonaux de K sur [AB] et [AC]

O A K B C L H I La demande : Prouver que les deux triangles gris réunis ont la même aire que le triangle jaune…

O A K B C L H I ou aussi : que le quadrilatère AHIL a la même aire que le triangle ABC…

O A K B C L H I soit finalement : que le triangle ALI a une aire égale à la moitié de celle de ABC

O A K B C L H I en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC] P

O A K B C L H I P en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]

O A K B C L H I P

O A K B C L H I P

O A K B C L H I P

O A K B C L H I P

O A K B C L H I P

O A K B C L H I P on se ramène au triangle AKP en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]

O A K B C L H I on fait alors glisser le côté droit P de [AP]

O A K B C L H I P on fait alors glisser le côté droit de [AP]

O A K B C L H I P on fait alors glisser le côté droit de [AP]

O A K B C L H I P on fait alors glisser le côté droit de [AP]

O A K B C L H I P on fait alors glisser le côté droit de [AP]

O A K B C L H I P on fait alors glisser le côté droit de [AP]

O A K B C L H I P pour se ramener au triangle EKC E jusquà [EC] ( on a EC = AP et aussi AE = PC ) on fait alors glisser le côté droit de [AP]

O A K B C L H I P E A on trace [EA] où A désigne le milieu de [BC] Si [AK] et [EA] sont bien parallèles, alors…

O A K B C L H I P E A le triangle EKC peut être échangé contre

O A K B C L H I P E A le triangle EKC peut être échangé contre

O A K B C L H I P E A

O A K B C L H I P E A

O A K B C L H I P E A

O A K B C L H I P E A

O A K B C L H I P E A

O A K B C L H I P E A

O A K B C L H I P E A

O A K B C L H I P E A le triangle AAC !!! qui recouvre bien la moitié du triangle ABC le triangle EKC peut être échangé contre

O A K B C L H I O A K B C L H I P O A K B C L H I P E O A K B C L H I E A En résumé Ces 4 triangles ont la même aire, à savoir : la moitié de celle de ABC encore faut-il prouver que [AK] et [EA] sont parallèles …

O A K B C I A P

O A K B C I A P

O A K B C I A P

O A K B C I A P

O A K B C I A P

O A K B C I A P B A

O A K B C I P B A E

O A K B C L H A I