Les hyperréels en analyse Valérie Henry

Introduction Leibniz : « La distance entre les temps est infiniment petite, mais pourtant elle n’est pas rien cette distance. Et si elle n’est pas rien, elle doit être représentée par un nombre (...) qui doit être plus petit que tout autre nombre (...) mais pas 0. »

M: « Ils se comportent comme des nombres mais naturellement ils sont plus petits que tout autre nombre » P: « Zéro, alors. » M: « Non, pas tout à fait 0, plus grands que ça. »

Du côté des économistes... L.Walras: « Rien n’indique (...) qu’une augmentation infiniment petite de p y produise une diminution infiniment petite de d . » (‘Eléments d’économie pure’, 1874) Dupont B., Rys A.: « Cette dérivée mesure la réaction moyenne de y à une variation très petite, infinitésimale, de x. (...) » (‘Introduction à la microéconomie’, 1993)

Applications en économie, en finance et en gestion ‘Principles of Infinitesimal Stochastic and Financial Analysis’, van den Berg I. (Portugal) ‘The Values of Nonstandard Exchange Economies’, Brown D.J. – Loeb P.A. ‘The Relationship between measure-theoretic and non-standard exchange economies’, Rashid S.

Une fonction!

Exemple en économie Coût marginal: Cm (x) Déf: Coût additionnel engendré par la production d’une unité supplémentaire de produit lorsque la quantité de production initiale est x Cm(x) = f’(x)

Infiniment petits ipn ipp

Les réels et leurs halos Limités ip -ε ε r-ε r+ε ign igp r Réels

La construction des hyperréels appréciables i.g. i.p. R Les réels font partie de l’ensemble des appréciables

Définitions *x  *y si *x -*y ip *x limité si  r   t.q. *x  r *x appréciable si  r  \{0} t.q. *x  r

Représentation en arbre Nombre hyperréel Limité Non-limité ip 0 appr ig ipn ipp réel non-st ign igp

Règles de Leibniz *x ign appr<0 ipn ipp appr>0 igp -*x 1/*x *x+*y ign appr ip igp ? lmt ip ou 0

Règles de Leibniz (suite) *x  * y ig appr ip ?

Partie standard d’un hyperréel limité  *x hyperréel limité,  r   t.q. *x  r On a : r = st(*x) Exemples : st(ε) = 0,  ε ip (ε ip, r  R) => st(r + ε) = r

Continuité f est continue en a  dom f si  *x  a, f(*x)  f(a) ou encore st(*x) = a => st(f(*x)) = f(a) Les fonctions x , sin x, cos x et e sont continues en a  R; ln x est continue en b réel positif Démonstration de x^n continue

Limites Limite de f(x) pour x tendant vers a : st( f(*x) ) pour *x  a Propriétés évidentes grâce à la partie standard

Dérivée Quotient différentiel ou taux d’accroissement: pour *x  a st( ) = f’(a) est le nombre dérivé de f en a s’il existe

Tangente Illustration grâce au logiciel Mathematica