Modèles de choix discrets ( I) Denis PHAN Ecole Thématique CNRS d Agay Roches Rouges mars 2004 version du 5 mars 2004 update : Dynamique des systèmes complexes et applications aux SHS : modèles, concepts méthodes

mars Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS2 Lensemble des choix individuels On considère N « agents » ( i = 1,2,…,N ) Chaque agent « i » a le choix entre plusieurs actions possibles (choix « discret ») On se limitera pour linstant au choix entre les deux branches dune alternative (choix « binaire » ou « binomial ») Lorsque lensemble des choix possibles contient plus de deux possibilités on dit que le choix est « multinomial » Selon le contexte, lensemble de choix sera désigné par : = {0, 1} lorsquil sagit dun choix entre « faire » et « ne pas faire » (par exemple, acheter ou ne pas acheter, participer ou pas…) S = {-1, +1} lorsque le choix porte entre deux solutions alternatives du même ordre (choix entre deux normes, deux stratégies etc…) Le choix de lagent « i » sera alors désigné par : s i S ou i ; par exemple : i = 1 pour « acheter » et i = 0 pour « ne pas acheter »

mars Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS3 Le surplus individuel Considérons le cas simple dun marché ou chaque agent a le choix entre : « acheter » une unité dun bien : i = 1, ou « ne pas acheter » : i = 0. Les économistes désignent sous le nom de « surplus du consommateur » la différence entre ce quun individu est prêt à payer pour acheter un bien et ce quil paie effectivement. Pour un prix donné : p, ce surplus est une fonction du choix ( i ) du consommateur : (1)V( i ) = i (H i - p) Si H i > p, le surplus est positif si lagent achète ( i = 1) Si H i < p, le surplus est négatif si lagent achète ( i = 1), nul sinon ( i = 0). Si lagent est « rationnel », cest à dire sil nachète pas un bien pour lequel ce quil est prêt à payer est inférieur au prix proposé, le choix de i maximise la fonction V( i )

mars Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS4 Interdépendance entre les choix des agents Considérons le cas où le choix dun agent dépend du choix dautres agents ( k ) que lon désignera sous le nom générique de «voisinage » de cet agent : k, lensemble des indices des « voisins » de lagent « i ». (sans que cela implique nécessairement une proximité géographique). Dans le cas le plus simple (dépendance additive et linéaire, influence limitée aux choix observés), on peut alors réécrire la fonction de surplus de la manière suivante : (2)V( i ) = i (H i + J ik k - p) La « disposition à payer » est alors égale à : H i + J ik k Elle peut être décomposée en deux termes. le premier : H i correspond aux préférences « idiosyncrasiques » de lagent « i » (la disposition à payer en labsence dinterdépendance). le second terme J ik k correspond à la somme cumulée de leffet des choix dans le voisinage de lagent. J ik mesure donc leffet « social » du choix de lagent «k» sur les préférences de lagent «i»

mars Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS5 Interprétation de leffet de dépendance sociale Quelles sont les conséquences du choix dun voisin « k » de lagent « i » sur sa disposition à payer ? Si le voisin « k » nachète pas ( k = 0 ), leffet sera nul. Si le voisin « k » achète ( k = 1 ),, la disposition à payer augmentera de J ik. On notera que les J ik ne sont pas univoques : de nombreuses interprétations de la « dépendance sociale » sont possibles. On considèrera le plus souvent des situations où J ik > 0, mais des situation avec J ik < 0 ne peuvent être à priori exclues. On considèrera également souvent des situations où les J ik sont constants dans la période considérée, mais ils pourraient varier dans le temps J ik (t) ou dépendre dautres variables du modèle J ik (X). Des formalisations plus sophistiquées relativement aux choix du voisinage peuvent aussi être envisagées. En particulier, leffet de dépendance peut être une fonction des choix anticipés, plutôt que des choix observés.

mars Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS6 Hétérogénéité « interactionnelle » et « idiosyncrasique » Nous désignerons par « hétérogénéité interactionnelle » (ou « sociale ») la diversité des préférences des agents relativement à leffet de leur environnement spécifique à court terme. Cette forme dhétérogénéité doit être distinguée de « lhétérogénéité idiosyncrasique » qui représente les préférences des agents indépendamment des effets de dépendance sociale à court terme Pour bien comprendre les implications de cette différence, considérons une population dagents avec des préférences idiosyncrasiques identiques : H i = H pour tout i è Deux agents auront des disposition à payer différentes dès lors que leffet cumulé des adoptions ( k = 1 ) dans leur voisinage sera différent (multiples causes possibles)

mars Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS7 Une formulation plus générale On peut donner une formulation plus générale à notre fonction de surplus : Où S t (.) désigne la part « interactionnelle » de la disposition à payer en t, et le vecteur des choix anticipé des voisins de lagent « i ». Dans le cas simple où : On peut distinguer le cas des anticipations « myopes » (report des observations de la période antérieure) Et celui des anticipations « rationnelles » (espérance mathématique de la distribution des choix)

mars Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS8 Effets de la dépendance sociale sur les choix : adoption « directe » et « indirecte » Le choix dadopter peut être causé directement par une variation des prix à environnement donné, ou indirectement par une variation du nombre dadopteur dans le voisinage ; soit avec des anticipations « myopes » : Effet indirect des prix : effet en chaîne (ou « dominos ») Variation du prix ( P 1 P 2 ) Adoption par lagent i Adoption par lagent j Variation du prix ( P 1 P 2 ) Adoption par lagent i Effet Direct du prix Adoption par lagent j

mars Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS9 complexité de la demande : leffet dhystéresis Dans ce qui suit, nous considérerons un cas très simple : L influence sociale sera supposée positive, homogène, symétrique et normalisée sur le voisinage : Chaque agent est influencé par lensemble de la population (ce qui est approximativement équivalent au choix moyen pour de grandes populations) La population est idiosyncrasiquement homogène : H i = H pour tout i Entre p = H et p = H + J, il y a deux niveaux déquilibre possibles pour la demande : et. La réalisation dun équilibre particulier dépend des anticipations des agents et/ou de lhistorique des prix P = H + J P = H

mars Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS10 effet dhystéresis et partage du surplus global Pour un niveau de prix, il y a deux niveaux de la demande, entre P = H et P = H + J. Il y a également deux moyens pour atteindre l équilibre haut : les anticipations de surplus ex ante de la part des consommateurs, une baisse des prix jusquau niveau P = H pour le vendeur (historique) Le partage du surplus dépend du niveau des prix : si : P = H, tout le surplus (soit J) va aux consommateurs. En : P = H + J, tout le surplus est approprié par le vendeur P = H + J P = H

mars Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS11 Anticipations, tarification et dynamique de la demande Considérons le surplus anticipé : En t = 0, le produit nest pas présent sur le marché. 50% des agents ont des anticipations optimistes a+ (0) = 1 50% ont des anticipations pessimistes : a- (0) = 0 On étudie le cas où H P H+J Les optimistes ont un surplus anticipé positifs et achètent En t = 1, les acheteurs observent le taux dadoption : 1 = 1/2 On suppose que leurs anticipations deviennent myopes (égales à leurs observations) a (1) = 1 = 1/2 si p H + J/2 tout le monde adopte si p H + J/2, plus personne nachète le produit

mars Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS12 Régimes de profit avec distribution bimodale des préférences Si seuls les agents H 2 adoptent : (p 2 ) (p 2 -c).Q(p 2 ) (p 2 ) = (H 2 + J. 2 - c).N. 2 p 2 = H 2 + J. 2 ; = 2 Si tous les agents adoptent : (p 1 ) (p 1 -c).Q(p 1 ) = (H 1 +J-c) N p 1 = H 1 + J ; = 1 Profit part tête ( /N ) avec : H 1 = c = 0 H 2 > J > H 2 / 1 H 2 < J (p 1 ) = p 1 = J p 2 = H 2 + J. 2 (p 2 ) = 2 (H 2 + J. 2 ) J2J2 J1J1 H 2 < J. 1

mars Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS13 choix entre deux solutions alternatives (1) H i désigne les préférences idiosyncrasiques de lagent, et X une variation de surplus de valeur exogène, mais de signe dépendant du choix de lagent (par exemple un transfert monétaire en (dé)faveur dune alternative) Comme dans le cas précédent, la valeur de H (de X) exprime le biais personnel (exogène) de lagent en faveur de lune ou lautre des alternatives. Si (H i +X) il y aura un biais en faveur du choix : s i = Considérons la fonction de surplus suivante :

mars Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS14 choix entre deux solutions alternatives (2) Linfluence sociale, pondérée par J, mesure le « degré de conformité » entre le choix de lagent et ceux de son voisinage. Cet effet dépendent de la proportion des agents qui choisissent chaque branche de lalternative ( i et : i ) Désignons par: i et : i la proportion des voisins de lagent « i » qui choisissent respectivement S k et S k Remarque : on reprouve le modèle de demande précédent si on pose :

mars Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS15 complémentarité stratégique, conformité Lorsque les J i sont positifs, : J i J/N i 0, o n peut montrer quil y a complémentarité stratégique entre les choix de deux agents dans la mesure ou deux choix similaires (1,1) ou (0,0) conduisent à une variation positive de la fonction dinteraction S(s i,s -i ) précisément égale à J i. Elle est aussi vérifiée pour « leffet de conformité » de Bernheim (1994) Qui est équivalent au précédent à une constante (J/2) près.

mars Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS16 Liens avec la théorie des jeux Chaque agent (joueur) dispose de deux choix alternatifs (deux « stratégies »). On peut représenter la part du surplus associée à chaque confrontation entre deux voisin par une matrice représentant un jeu symétrique sous forme « normale » : Où : V 0 i V 0 i /N i ; H i H i /N i ; X i X/N i ; J i J/N A droite : V 0 i = 5 ; H i 2 ; X i 1 ; J i 4 ; S S S S V 0 i J i H i X i S S S S