Cour Régulation AII3 Chapitre I: Modélisation des systèmes automatiques Abdelkhalek.S 1

Définition d’un système Dans le cas général un système peut posséder plusieurs entrées (causes) et plusieurs sorties (effets). Il est représenté par un bloc contenant le nom du système. On étudie dans cette partie essentiellement les systèmes qui possèdent une entrée et une sortie, et les systèmes à deux variables d'entrée (entrée de consigne et entrée de perturbation) pour une sortie. Introduction L’étude d’un système nécessite la connaissance : - de la nature des signaux (déterministes, aléatoires, à temps continu, à temps discret - des caractéristiques du système: la nature, l’invariance, la linéarité. Et ceci pour concevoir un modèle « utile » Système entrées Sorties 2

Dans le domaine de l’automatique la connaissance du modèle est indispensable pour synthétiser une loi de commande Introduction à la modélisation 3

Définition La modélisation est l’ensemble des procédures permettant d’obtenir un modèle. Modéliser un système c’est être capable de prédire le comportement du système Subjectivisme de la modélisation : modèle = intersection du système et du modélisateur Le modèle ne peut jamais être "exact" Intérêt de la modélisation Analyse: - Etude du système en BO ou en BF - Elaboration des propriétés du système Synthèse: - Créer des lois de commande suivant un cahier des charges (CC) en termes de stabilité, de précision, de régulation, de poursuite, de dynamique… La construction d’un modèle se fait par deux moyens: A partir de la connaissance a priori du système (= Lois de la Physique) -> Modèle de connaissance A partir d’expériences réalisées sur le système (Identification) -> Modèle de représentation Procédure 4

Modèle mathématique d’un système Le comportement d’un système linéaire et invariant est régi par une équation différentielle linéaire à coefficients constants : Modèle du premier ordre L'équation temporelle qui régit un système du premier ordre simple est une équation différentielle linéaire du premier ordre (à coefficients constants), elle s'écrit : 5

Avec: constante de temps (> 0) en secondes, K gain statique du système La fonction de transfert d’un modèle du premier ordre, obtenue par transformation de Laplace de l’équation différentielle: Exemple d’un modèle de premier ordre électrique On a les deux relations suivantes : d’où l’équation différentielle du système : 6

La fonction de transfert du système est Etudions la réponse de ce système à un échelon d’amplitude E, c’est à dire à une entrée dont la valeur passe de 0 à E à l’instant initial. Le système est supposé initialement au repos (s(0)=0). Ainsi on a D’où 7

Modèle du second ordre L'équation temporelle qui régit un système du second ordre simple est une équation différentielle linéaire à coefficients constants, elle s'écrit : Avec pulsation propre du modèle. est un facteur d’amortissement du mouvement oscillatoire naturel du système. K est le gain statique. La fonction de transfert d’un modèle du second ordre, obtenue par transformation de Laplace de l’équation différentielle avec des conditions initiales nulles est : Les racines de l’équation caractéristique seront notées p1 et p2. 8

Exemple d’un modèle de second ordre électrique On a les deux relations suivantes : d’où l’équation différentielle du système : La fonction de transfert du système est 9

Représentation fréquentielle de la fonction de transfert La réponse fréquentielle d’un système est obtenue en remplaçant p par jw dans sa fonction de transfert. Cette fonction de transfert peut alors être écrite : H(p = jw) = |H(jw)| exp(j ( (w)) |H(jw)| est le module de la fonction de transfert (w) en est l’argument, ou phase (déphasage de la sortie sur l’entrée). Diagramme de Bode Il s’agit de tracer les deux courbes de Gain et de Phase en fonction de ω dans le plan logarithmique. 10

Exemple d’un modèle de premier ordre électrique On obtient ainsi: Pour le traçage on distingue trois cas: et 11

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Diagramme de Nyquist Pour chaque pulsation w, le nombre complexe est représenté dans le plan complexe par le point d’affixe H(jw). Exemple d’un modèle de premier ordre électrique Ainsi 13

Diagramme de Black Il s’agit de tracer dans le plan cartésien la courbe du gain en fonction de la phase en faisant varier la pulsation de zéro à l’infini. Pour le circuit RC précèdent on trouve un diagramme de la forme 14

Représentation d’état d’un système Soit un système multi-entrées (m entrées), multi-sorties (p sorties), dont le modèle est décrit par une ou plusieurs équations différentielles linéaires à coefficients constants. Ce modèle peut s’écrire sous la forme d’un système d’équations matricielles différentielles du premier ordre: Définiton 15 Equation de commande Equation d’observation où X(t) est le vecteur d’état dont le nombre d’éléments n dépend de la complexité du système, U(t) est le vecteur de commande, Y (t) est le vecteur de sortie, et A(n×n), B(n×m), C(p×n) et D(p×m) sont des matrices à coefficients constants. Le modèle sous cette forme est appelé représentation d’état du système.

16 Exemple : Circuit RC Entrée : u(t) Sortie : y(t) = i(t) Posons x(t)=Vc(t) Modélisation du circuit RC On obtient un modèle de la forme