Commande non-linéaire Notes de Hannah Michalska, McGill University

Contrôle par mode de glissement (sliding mode control) Soit un système non-linéaire Problème (T): Construire u(x) tel que: Suivi de trajectoire…

Idée principale Définissons Il existe un temps t1 tel que …et Erreur de suivi de trajectoire. Il existe un temps t1 tel que (i=1,2,…,n-2) …et Ce qui implique:

Idée principale Pour un système du 2e ordre: Ces équations différentielles sont stable pour 4

Surface de glissement La partie gauche des équations peut être vue comme l’équation d’un hyperplan de glissement S(t): Cet hyperplan doit être un ensemble invariant. Une fois que l’on y est, on y reste ! 5

Problème (T) équivalent Il faut construire la commande u(x) tel que: S(t) est atteint en un temps fini t1; S(t)=0, pout tout t≥t1. Faits: 6

Fait #1 Si t1 est tel que: S(t1)=0 et S(t)=0 pour tout t≥t1; Alors, e(t)0 exponentiellement pendant que t∞. 7

Fait #2 Si |S(t)|≤δ pout tout t≥t0… Cela implique que 8

Solution au problème (T) Choisir u(x) tel que Pour tout t≥0 pour un η donné. Distance au plan de glissement décroissant sur toutes les trajectoires du système. 9

Phase d’atteinte Ça marche car 1) si S(0)>0, alors 10

Phase d’atteinte Et le temps d’atteinte est 11

Phase d’atteinte Ça marche car 2) si S(0)<0, alors 12

Phase d’atteinte Et le temps d’atteinte est 13

Temps d’atteinte Le temps d’atteinte de l’hyperplan de glissement est 14

Phase de glissement Construction de la commande u(x) qui maintient le système sur l’hyperplan de glissement. Requiert que 15

Exemple Soit le système suivant: Plan de glissement, on choisi: Phase de glissement exige: 16

Exemple Ce qui peut s’écrire: Le contrôle équivalent est donc: 17

Exemple Ce contrôle permet de maintenir le système sur l’hyperplan de glissement. Car on désire que S(t) soit un ensemble invariant. 18

Exemple Reste à voir la phase d’atteinte du plan de glissement. Cela requiert que: 19

Contrôle équivalent (phase de glissement) Exemple Que l’on peut écrire: La commande u est alors: Contrôle équivalent (phase de glissement) 20

Exemple Que se passe-t-il si f n’est pas connu de façon exacte ? Supposons que seul un estimé est connu, et tel que: Contrôle basé sur le modèle: 21

Exemple Il faut choisir un η en fonction de tel que fonctionnera avec le système réel. 22

Exemple Suite: Si on choisi: Alors: 23

Exemple #2 Système: Contrôle équivalent: Commande: 24

Rétroaction Linéarisante (Linearizing state feedback)

Rétroaction linéarisante Principe (contrôle de niveau): Système non-linéaire

Rétroaction linéarisante Un choix possible de la commande u(t) est: Ainsi: Nouveau contrôle

Rétroaction linéarisante Que l’on peut simplifier à: Si on choisi: Alors: Système linéaire

Rétroaction linéarisante Le système converge vers la valeur désirée de niveau. Finalement, la commande est:

Système non-linéaire sous « forme compagnon » Système non-linéaire avec contrôle scalaire: Avec: Et:

Système non-linéaire sous « forme compagnon » Représentation dans l’espace d’état:

Système non-linéaire sous « forme compagnon » Commande linéarisante: Nouveau contrôle

Système non-linéaire sous « forme compagnon » Système linéaire équivalent: Qui donne:

Système non-linéaire sous « forme compagnon » Correspond à une chaine de n intégrateurs. Facile à contrôler. Soit: Contrôleur v(t):

Système non-linéaire sous « forme compagnon » Le système contrôlé est: Que l’on peut réécrire: Équivaut à: 35

Système non-linéaire sous « forme compagnon » Il faut choisir les gains pour que les racines de: … soient dans le demi plan gauche. i.e. pour avoir un système stable. 36

Système non-linéaire sous « forme compagnon » Donc la commande u(t) est: 37

Exemple Soit ce système: Définissons ces variables d’état: Ce qui donne:

Exemple Ce système non-linéaire est sous « forme compagnon ». Ainsi: Et: Avec:

Exemple #2 Soit ce système: La non-linéarité dans x1 ne peut être annulée par le choix de la commande u. Ce n’est pas la forme compagnon!

Exemple #2 Il faut donc transformer le système pour avoir une forme compagnon. Considérez ces nouvelles variables d’état:

Exemple #2 Notes: Transformation inverse:

Exemple #2 Transformons le système:

Exemple #2 Il est maintenant sous sa forme compagnon: Ainsi, on peut choisir:

Exemple #2 Avec cette commande, le système équivalent est: Choisissons: Cela donne un système globalement asymptotiquement stable…

Exemple #2 Pour le système réel: Exige que cos(2x1) n’égale pas 0.

Mais… Ce n’est pas toujours aussi simple… Pour aider, cela prend des outils: Qui exigent l’algèbre de Lie; Qui exigent des fonctions vectorielles nommées en anglais « diffeomorphism ».

Linéarisation entrée-sortie VTOL aircraft simplified model: Petit couplage entre les deux commandes: