2. Expériences aléatoires et modélisation LES PROBABILITES 1. Activité 1 2. Expériences aléatoires et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités

Objectifs PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Modéliser une expérience aléatoire à l’aide de simulations d’échantillons de chiffres au hasard. Déterminer la probabilité de réalisation d ’un événement. Connaître le langage des probabilités : expérience aléatoire, univers, éventualité, événement contraire.

Enoncé 1. Activité 1 On lance une pièce de monnaie bien équilibrée. PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités On lance une pièce de monnaie bien équilibrée. On est en présence d’une expérience aléatoire. On a deux possibilités :    «  pile » ou « face » qui ne sont pas prévisibles à l ’avance . Ces résultats sont appelés les éventualités. L’ensemble de toutes les éventualités est appelé l’univers des possibles noté E. Quel est le nombre d’éventualités de E ? Une partie de l’univers est aussi appelée un événement ou si une unique éventualité événement élémentaire.

Expérience réelle avec une pièce PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités a) Réaliser l’expérience en lançant une pièce à 10 reprises. Regrouper les résultats sous la forme d’un tableau. b) Comparer les différents résultats obtenus par les élèves de la classe. c) Regrouper les résultats obtenus par une moitié de la classe, par l’autre moitié, puis par la classe entière. d) Comparer les quatre tableaux (le tableau personnel, les tableaux des deux moitiés de la classe et le tableau de la classe entière). Les résultats sont-ils conformes avec l’hypothèse d’équilibre de la pièce émise au départ ? On dit que les fréquences fluctuent.

Expérience simulée avec une calculatrice PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Une calculatrice dispose d’un " générateur de nombres aléatoires ", c’est-à-dire d’un dispositif qui fournit un nombre pris au hasard dans un intervalle donné. On admet que chaque nombre de cet intervalle a autant de chances d’être obtenu.

Expérience simulée avec une calculatrice PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Une calculatrice peut ainsi produire un nombre de 14 chiffres de l’intervalle [0 ; 1[ . Sur T I, grâce à la touche " rand " (pour random, " au hasard " en anglais). Les 10 premières décimales (resp. 14) sont affichées par les calculatrices TI 82 (resp. pour TI 89). (touches « MATH » « PRB » « RAND » ou « MATH » « Probabilité» « nbrAleat() » ). Sur CASIO, « OPT » « PROB » « RAN# ».

Expérience simulée avec une calculatrice PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Question Déterminer la fréquence empirique d’apparition du côté Pile de 100 lancers. Utilisation de votre calculatrice

Expérience simulée avec une calculatrice PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Technique 1 On partage l’intervalle [0 ; 1[ en deux intervalles de même amplitude : - si l’on obtient un nombre de l’intervalle [0 ; ½[, cela revient à obtenir Pile ; - si l’on obtient un nombre de l’intervalle [½; 1[, cela revient à obtenir Face.

Expérience simulée avec une calculatrice PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Technique 2 On partage l’ensemble des chiffres affichés en deux parties, par exemple : - les chiffres pairs correspondent à Pile ; - les chiffres impairs correspondent à Face. Le tirage « RAND »ci-contre permet d’obtenir : « Face, Pile, Face, Pile, Pile, Pile, Face, Pile, Pile, Pile ». La sortie d’un seul nombre aléatoire simule 10 lancers de pièce.

Expérience simulée avec une calculatrice PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Technique 3 On combine plusieurs commandes de la calculatrice ou du tableur. « rand » fournit un nombre décimal de l’intervalle [0 ; 1[ , « 2 * rand » fournit un nombre décimal de l’intervalle [0 ; 2[ , « 2 * rand + 1 » fournit un nombre x de l’intervalle [1 ; 3[ . En prenant la partie entière de " 2 * rand + 1 " (notée "  Int "  sur la TI et la CASIO), on obtient alors un nombre entier égal à 1 ou 2. La commande " Int(2 * rand + 1) " SUR TI ou « Int(2*Rand#+1) » sur CASIO  permet donc de simuler le jet d’une pièce.

Expérience simulée avec une calculatrice PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Technique 4 Analyser le programme suivant et expliquer comment il peut simuler le lancer d’une pièce. Algorithme entrer le nombre de lancers N initialiser à 0 le nombre de Piles P initialiser à 1 le nombre de lancers I si le nombre aléatoire est inférieur à 0,5 ajouter 1 dans P ajouter 1 au nombre de lancers si le nombre de lancers est inférieur à N continuer la boucle sinon afficher P N

Expérience simulée avec un tableur PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Utilisation du tableur

Expérience simulée avec un tableur PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Résultats et conjecture b) Sur un tableur, on a obtenu les résultats pour 2 000 lancers, avec un pas de 100 et la courbe ci-dessus. Commenter ces résultats. Conjecturer le comportement de la fréquence empirique de Pile lorsque le nombre de lancers devient grand. Quel nombre théorique obtient-on ?

Approche de la loi des grands nombres Conclusion : Approche de la loi des grands nombres PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Le nombre obtenu est appelé probabilité de réalisation de l’événement A : « obtenir Pile ». On a : P(A) = 0,5 La modélisation permet ainsi de choisir une loi de probabilité selon « la loi des grands nombres »

Précision des résultats Conclusion : Précision des résultats PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités La fréquence obtenue est comprise entre 0,478 et 0,522 avec un niveau de confiance de 95 %. On dit que l ’hypothèse de bon équilibre du dé est au seuil de risque de 5 %. Les formules permettant d ’obtenir la fourchette pour une valeur p = 0,5 et un échantillon de taille n avec un intervalle de confiance de 95% sont :

Loi des grands nombres PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation - Loi des grands nombres - Définition - Expérience aléatoire, éventualités, univers - Evénement 3. Activité 2 4. Probabilités Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité P, les distributions des fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de P quand n devient grand.

Définition - Définition Définir une loi de probabilité sur l ’univers PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation - Loi des grands nombres - Définition - Expérience aléatoire, éventualités, univers - Evénement 3. Activité 2 4. Probabilités Définir une loi de probabilité sur l ’univers E = x1, x2, …, xn , signifie associer à chacun des éléments xi de E un réel pi vérifiant : a) 0 < pi < 1 b) p1 + p2 + … + pn = 1 notation : pi = p(xi) = p( xi ) La probabilité d ’un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires de A. … Cf exemple

Expérience aléatoire, éventualités, univers PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation - Loi des grands nombres - Définition - Expérience aléatoire, éventualités, univers - Evénement 3. Activité 2 4. Probabilités Expérience aléatoire, éventualités, univers Lors d ’une expérience aléatoire, un résultat possible est appelé une éventualité. L ’ensemble de toutes les éventualités est appelé univers E (ensemble des cas possibles)

Evénement - Evénement 2. Expérience PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation - Loi des grands nombres - Définition - Expérience aléatoire, éventualités, univers - Evénement 3. Activité 2 4. Probabilités Un événement est une partie de l ’univers E est l ’événement certain est l ’événement impossible L ’événement contraire d ’un événement A est l ’ensemble des éventualités de E qui n ’appartiennent pas à A, noté A

Objectifs PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 - Objectifs, énoncé - Questions (1 à 8) 4. Probabilités Connaître le langage des probabilités : intersection et réunion de deux événements, événements incompatibles. Calculer l ’espérance, la variance et l ’écart type d ’une loi de probabilité (cas xi réels) Enoncé On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes. Soit A, B et C les événements suivants : A : « tirer un as » B : « tirer une figure » (c’est à dire un roi, une dame ou un valet) C : « tirer un cœur »

Question 1 Question 2 3. Activité 2 - Objectifs, énoncé (1 à 8) U PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 - Objectifs, énoncé - Questions (1 à 8) 4. Probabilités Combien y a-t-il de résultats possibles au total ? Combien y a-t-il de résultats dans les événements A, B et C ? Question 2 U On note A C l’événement A et C. a) Nommer les éventualités des événements A C et B C. b) Comment appelle-t-on l’événement  A B ?

Question 3 3. Activité 2 - Objectifs, énoncé (1 à 8) C E B A PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 - Objectifs, énoncé - Questions (1 à 8) 4. Probabilités Représenter l’ensemble des 32 tirages possibles dans le diagramme suivant en précisant le nombre d’éventualités de chaque plage : E B A C

Question 4 Question 5 Question 6 On note A U C l’événement A ou C. Expliciter par une phrase l’événement A U C. Donner la liste de ses éventualités. PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 - Objectifs, énoncé - Questions (1 à 8) 4. Probabilités Question 5 On note B l’événement constitué des tirages qui ne réalisent pas B. Expliciter par une phrase ne contenant pas de forme négative cet événement B. Que peut-on dire de B par rapport à B ? Question 6 Définir de même C. Donner la liste des éventualités constituant chacun des événements suivants : B C et B C. U

Question 7 a) Dans l’activité 1 on répète un grand nombre de fois le tirage. La fréquence de l’événement A est de 0,125. Donner p(A). Vérifier qu ’il est égal au quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles (loi de probabilité équirépartie). b) Calculer la probabilité des événements suivants : B, C, A B, A C, A U C, C. U PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 - Objectifs, énoncé - Questions (1 à 8) 4. Probabilités Question 8 Conjecturer une relation liant : a) p(A U C) et p(A), p(C), p(A C). b) p(C ) et p(C). U

Equiprobabilité PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités - Equiprobabilité - Définitions - Théorèmes - Espérance, variance écart-type d ’une loi de probabilité Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité, alors on dit qu ’il y a équiprobabilité. On a : pi = 1 n Si A événement de E alors : p(A) = Nombre de cas favorables à la réalisation de A Nombre de cas possibles Exemples : 1) jeu de pile ou face 2) dé à 6 faces non pipé Remarque : on repère l ’équiprobabilité par « au hasard », par des boules « indiscernables au toucher », ou par « bien équilibré »

Définitions - Définitions PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités - Equiprobabilité - Définitions - Incompatibilité - Théorèmes - Espérance, variance écart-type d ’une loi de probabilité L ’événement A et B est formé des éventualités appartenant à A ou à B , ou aux deux (A inter B). (Cf exemple) A B U Si A et B sont deux événements n ’ayant aucune éventualité commune, on dit qu ’ils sont incompatibles (ou disjoints). (Cf exemple) A B = U L ’événement A ou B est formé des éventualités appatenant à A ou à B (A union B). (Cf exemple) A U B

Théorèmes Si A et B sont deux évènements de E, on a : PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités - Equiprobabilité - Définitions - Théorèmes - Espérance, variance écart-type d ’une loi de probabilité Si A et B sont deux évènements de E, on a : p ( A U B) = p(A) + p(B) - p (A B) U Si A et B sont deux événements incompatibles, on a : p (A U B) = p(A) + p(B) Si A est l ’événement contraire de A, on a : p (A) = 1 - p(A) (… cf Exemple)

Espérance, variance, écart-type d ’une loi de probabilité (xi réel) PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités - Equiprobabilité - Définitions - Théorèmes - Espérance, variance écart-type d ’une loi de probabilité L’espérance d’une loi de probabilité est la moyenne des xi pondérés par les pi : E = p1x1 + p2x2 + … + pnxn =  pixi n i=1 n i=1 La variance est le réel positif : V = pi (xi - E)2 + … + pn (xn - E)2 V =  pi (xi - E)2 L ’écart type est la racine carrée de la variance :  = V V (Cf exemple)

LES PROBABILITES F I N