Cours d’Automatique MASTER OIV Emmanuel Marin - F 155 emmanuel.marin@univ-st-etienne.fr

Plan du cours Chapitre I : Introduction à l’automatique Chapitre II : Les outils mathématiques Chapitre III : Description externe des systèmes linéaires invariants (SLI) Chapitre IV : Commande analogique des SLI par retour de sortie ou asservissement linéaire et continu Chapitre V : Commande numérique des SLI par retour de sortie (Systèmes asservis échantillonnés SAE) Chapitre VI :Description interne des systèmes linéaires invariants (SLI) - Représentation d’état Chapitre VII :Commande par retour d’état

Automatique = asservissement

Chapitre I : Introduction à l’automatique I-1 Concepts de base I-2 Contenu de l’automatique I-3 Diagramme fonctionnel ou Schéma bloc

Chapitre I : Introduction à l’automatique I-1 Concepts de base : Commande en boucle ouverte, en boucle fermée Pour illustrer, les concepts de base de l’automatique partons d’un cas simple : p(t) g est un gain constant p(t) est une perturbation inconnue u(t) est la commande ou consigne u(t) g y(t) On pilote ce système en Boucle Ouverte (BO) pour avoir un certain état e en sortie. Si g=1 on applique u(t)=e Le terme de perturbation est généralement de nature aléatoire ce qui ne permet pas de le prendre en compte dans la commande. Le gain a été supposé constant ce qui est vraiment loin d'être une réalité physique, ceci n’est vrai que sous certaines conditions. En résumé l’objectif n’est pas atteint Modifions le schéma en appliquant une commande en Boucle Fermée (BF) selon le nouveau schéma : g p(t) u(t) y(t) k e -

Recalculons maintenant la sortie y(t) : On remarque que Donc la sortie est égale à la consigne quelque-soit p(t) et quelque-soit g. Les choses seraient simples et l’automatique se réduirait à ces résultats si le système n’était pas dynamique et n’était pas représenté par une certaine transmittance. Correcteur P(p) G1(p) On se place généralement dans le domaine de Laplace pour simplifier les calculs comme nous le verrons après. (p) U(p) E(p) C(p) G(p) Y(p) - Pour le système bouclé on a : Si C(p)=k, on obtient le même résultat que précédemment pour : Sauf qu’une grande valeur de k entraîne généralement l’instabilité de la boucle. Il faut donc trouver un correcteur qui stabilise la boucle tout en gardant une grande valeur a k qui permet d’approcher la consigne au plus près en restant insensible aux perturbations.

Les problèmes de l’automatique se pose en ces termes: Etant donnés G et les performance statiques et dynamiques souhaités pour la boucle fermée (= précision statique, temps de réponse, qualité transitoires), il s’agira de déterminer la structure de C(p), type de transmittance et ses paramètres, afin que le système se comporte de la manière désirée. I-2 Contenu de l’automatique 1 La théorie des systèmes Il s’agit d’élaborer des modèles mathématiques pour décrire des systèmes physiques de toute nature. Un système est caractérisé par des relations de cause à effet entre des signaux d’entrées (e) et des signaux de sortie (s), ou définir un certain nombre de variables internes xi appelées variables d’état. e s La représentation externe On utilise les variables externes e et s et l’état initial xi(0), appelé conditions initiales. On définit ensuite une transmittance, ou matrice de transfert (multivariable) Outil = Transformée de Laplace

La représentation interne ou représentation d’état On utilise les variables externes et internes. Les équation différentielles sont reconditionnées en équations différentielles vectorielles du 1er ordre où interviennent 4 matrices de paramètre. Outil de base = Le calcul matriciel Avantage = un formalisme unique pour les systèmes, mono ou multivariables, analogiques ou échantillonnés 2 Identification Il s’agit de déterminer de façon expérimentale les paramètres du modèle mathématique d’un système. On relève la sortie et on applique des recettes afin de remonter à la réponse impulsionnelle ou la transmittance ou aux matrices de la représentation d’état. identification : harmonique indicielle par intercorrélation e/s par filtrage de Kalman

3 Commande Le but est de calculer les entrées de commande d’un système de manière à ce que le système réponde selon le cahier des charges, traduisant un certain nombres d’exigences : Faire en sorte que la sortie soit l’image la plus fidèle d’un signal modèle (consigne)  Asservissement Découpler un système multivariables Obtenir un comportement optimal, c’est à dire passer d’un état initial à un état final en minimisant l’énergie et le temps. I-3 Diagramme fonctionnel ou Schéma bloc La représentation par schéma fonctionnel permet de représenter de manière graphique un système linéaire. Chaque bloc du schéma caractérise une des fonctions du système, l’allure globale du schéma renseigne aussi sur sa structure (boucle ouverte, boucle fermée). Les équations différentielles décrivant le système permettent de déterminer la fonction de transfert de chaque constituant. Le système d'équations est donc remplacé par un ensemble de blocs. La représentation par schéma bloc est directement déduite à l’aide de la transposition dans le domaine de Laplace des équations régissant le système.

H E S Branche 1 Branche 2 E1 E2 E3 S E1 E2 S 1 Formalisme  Bloc Le bloc possède une entrée E et une sortie S. H est la fonction de transfert du bloc et est déterminée d'après les équations de fonctionnement. S=H.E H E S  Capteur Branche 1 Branche 2 La variable de la branche 1 est identique à celle de la branche 2, un prélèvement d’information (à l’aide d’un capteur) ne modifie pas la variable  Sommateur / Comparateur + E1 E2 E3 S Les sommateurs permettent d’additionner et soustraire des variables, il possèdent plusieurs entrées mais une seule sortie. S=E1+E2+E3 + - E1 E2 S Cas particulier de sommateur qui permet de faire la différence de deux entrées (de comparer) ici : S=E1-E2

T1 E T2 S=E.T1.T2 T1.T2 E S T1 E T2 S= E(T1±T2) T1±T2 E S T E1 S E2 T 2 Manipulation des schémas blocs  Blocs en cascade ou en parallèle T1 E T2 S=E.T1.T2 T1.T2 E S T1 E T2 + ± S= E(T1±T2) T1±T2 E S  Déplacement d’un comparateur par rapport à une transmittance T E1 + ± S E2 T E1 E2 + ± S=(E1±E2)T T E1 E2 + ± S=T.E1±E2 E1 1/T + ± S E2 T

T E S T S E E T T E S 1/T S S T1 E T2 E 1/T1 T1T2 S E T1T2 1/T2  Déplacements d’un capteur par rapport à une transmittance T E S T S E E T T E S 1/T S S  Boucle de contre réaction T1 E + ± T2 Retour unitaire par déplacement du comparateur Retour unitaire par déplacement du capteur E 1/T1 + ± T1T2 S E + ± T1T2 1/T2