Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin

Objectif Estimer l' é tat d'un syst è me dynamique perturb é al é atoirement aux vues d'un processus d'observation

Démarche Modélisation globale du système –Etat du système –Processus dobservation Analyse du modèle –Linéaire / Non linéaire –Bruits Gaussiens / Non Gaussiens –Observabilité Choix dun critère destimation Désignation dune technique de filtrage adaptée au modèle

Modélisation Base la modélisation : Processus stochastiques = Variable aléatoire indicée par le temps Description par probabilité conjointe Fonction de répartition : Mesure de probabilité : Densité de probabilité : Moments (moyenne, autocorrélation, …) : …

Analyse dun processus stochastique Objectif : Séparer partie prévisible / martingale Modèle détat gouverné par des bruits blancs Bruits blancs = Processus à réalisations indépendantes dans le temps (et de moyenne nulle)

Ignotus Données Bruit Capteurs Etat Bruit Système dynamique Objectif : Estimer létat Calculer F Filtre Estimateur Objectif

Propriétés fondamentales des bruits blancs Indépendance : Décorrélation : Densité spectrale de puissance :

Caractérisation des bruits blancs à temps continus Dérivée (formelle) dun processus à accroissements indépendants, les variablessont indépendantes Il nexiste que deux catégories : à trajectoire continue : Mouvement Brownien PAI à trajectoire continue : Mouvement Brownien PAI purement discontinus : Processus de comptage marqué PAI purement discontinus : Processus de comptage marqué

Mouvement Brownien Trajectoire continue Limite de la marche aléatoire Réalisation gaussienne de puissance infinie Nulle part dérivable Bruit blanc

Exemple de réalisation du mouvement Brownien

Exemples Bruit thermique, électronique Bruit électromagnétique …

Processus de comptage Processus à valeurs entières de fréquence

Exemple de réalisation

Processus de comptage marqué Sauts règlés par un processus de comptage Les amplitudes sont aléatoires, indépendantes de et de distribution connue :

Exemple de réalisation

Exemples Emission délectrons dun tube vidéo Radioactivité Apparition de pannes Déclenchement de manoeuvre Evènements sismiques …

Processus markoviens Modèle détat : Processus à accroissements indépendants

Echantillonnage Traitements numériques => échantillonnage Théorème de Shannon : un signal continu à spectre borné par la fréquence F doit être échantillonné au moins à 2F. Filtrer avant déchantillonner F 2F

Echantillonnage dun signal bruité Signal à spectre borné par F Bruit blanc gaussien de d.s.p. Filtrage passe-bas à F => inchangé Densité spectrale de Puissance =

Echantillonnage dun signal bruité Bruit blanc gaussien de variance Attention : Fréquence plus basse => puissance plus faible mais bruit non blanc

Discrétisation dun système dynamique markovien Intégration durant la période déchantillonnage T Bruits blancs

Discrétisation dun système dynamique markovien (suite) Processus à accroissements indépendants Bruit blanc gaussien à temps discret

Discrétisation dun système dynamique markovien (suite) Processus de comptage Bruit blanc poissonien à temps discret

Résultat de la modélisation Modèle dynamique de prédiction de lévolution du système Distribution de létat initial Distribution du bruit blanc Equation dobservation

Exemple de modélisation Mobile soumis à une force aléatoire

Evolution de la position

Evolution de la vitesse

Evolution de la force appliquée

Critères destimation Minimum de variance Maximum de vraisemblance Dans les deux cas : calcul de la probabilité conditionnelle

Filtrage récursif des systèmes à temps discret Evolution de la probabilité conditionnelle Prédiction

Correction (Bayes) Prédiction + Correction

Cas linéaire gaussien : le filtre de Kalman Evolution de la probabilité conditionnelle Prédiction

Correction

Détection optimale Observation dun système par un processus continu Plusieurs modes de fonctionnement possibles Critère bayesien à minimum derreur

Résolution Sous chaque hypothèse, on a un modèle du type Calcul de la probabilité conditionnelle : Utiliser le terme de normalisation pour prendre la décision

Fin de la première partie….

Mise en oeuvre du Filtrage et Exemples dapplication

Modélisation du système Variables continues –Variables détat (positions, vitesses, …) –Perturbations (bruits de dynamique, bruits dobservations,…) Gaussiennes (bruits des capteurs, dérives, …) A occurrence poissoniennes (changements de manoeuvre,…) … –Equations dévolution (modèles Markoviens) Variables discrètes –Variables détat (hypothèses, variables binaires, …) –Dynamique (chaînes de Markov)

Analyse du modèle Approximations locales –Linéaires –Polynomiales Approximations globales –Densité de probabilité de létat (somme de dirac, somme de gaussiennes, …) –Densités de probabilité des bruits (idem)

Désignation de la technique de filtrage adaptée Méthode optimale exacte (quasi unique) –Système linéaire –Bruits Gaussiens Filtre de Kalman (Kalman – 1960)

Approximations Linéaires Locales Systèmes localement linéaire Bruits quasi gaussiens Rapports bruit dynamique/bruit dobservation petit Ecart type initial petit (petit = écart type destimation < domaine de validité de la linéarisation) Filtre de Kalman étendu (Breakwell – 1967) Filtre de Kalman sur le système linéarisé

Filtre de Kalman étendu Linéarisation des équations du système (dynamique + observation) autour de lestimateur. Filtre de Kalman sur le système linéarisé

Filtre de Kalman Etendu (2) Prédiction : Correction Valide si et restent dans le domaine de validité de la linéarisation

Approximations Bilinéaires Locales Système bilinéaire ou localement bilinéaire Observation linéaire ou polynomiale Bruits éventuellement non-gaussiens Filtrage de Volterra (Monin&Salut – 1996) Choix dune classe paramétrique de filtres polynomiaux Calcul des paramètre optimaux par projection

Modèle bilinéaire Restriction à une classe de systèmes non linéaires réalisables en dimension finie

Optimisation des paramètres par minimisation de lerreur quadratique moyenne

Inversion récursive dun système linéaire

Exemple académique : Bruit poissonien Processus de comptage de fréquence 1/10

Erreurs de filtrage en fonction du degré

Comparaison des estimations

Approximations globales Il existe une approximation linéaire locale valide Lécart type initial est grand grand = écart type destimation >> domaine de validité de la linéarisation Approximation par somme de Gaussiennes (Alpach&Sorenson – 1972) Partitionnement de lespace détat (état initial distribué comme somme de gaussiennes) Construction des filtres de Kalman étendus pour chaque partition Evaluation des vraisemblances de chaque filtre (pondérations) Estimateur global = somme pondérée de gaussiennes

Filtres de Kalman en parallèle Partition du domaine dincertitude initiale Pour chaque partition : Filtre de Kalman étendu Evaluation de la vraisemblance de chaque partition

Densité de probabilité initiale : Evolution des filtres de Kalman étendus : Calcul des pondérations :

Estimateur

Evolution de la densité de probabilité

3035 km 2890 km 11,4° Exemple : Traitement du signal LORAN-C

Modélisation Dynamique du porteur Equation dobservation

143m ± 100m Erreur destimation en longitude

Erreur destimation en latitude 78m ± 385m

Approximations globales Il existe une approximation linéaire locale Lécart type initial est grand Les bruits de dynamiques sont de type Gaussiens et grands (Les perturbations font sortir le filtre du domaine de validité de la linéarisation) Approximation par somme de Gaussiennes (Alpach&Sorenson – 1972) Partitionnement de lespace détat = somme de Gaussiennes (n) Partitionnement de lespace des bruits = somme de Gaussiennes (p) Construction des filtres de Kalman étendus pour chaque partition (n.p) Evaluation des vraisemblances de chaque filtre (pondérations) Explosion combinatoire => sélection de n parmi n.p (regroupements, rejets)

Approximation par somme de Gaussiennes Modèle : Densité de probabilité du bruit dynamique : somme de gaussiennes

Ignotus Approximation par somme de Gaussiennes (2) A linstant t-1 : Prédiction : Avec :

Ignotus Approximation par somme de Gaussiennes (3) Correction : Nxp Kalman étendus : Pondérations :

Ignotus Approximation par somme de Gaussiennes (4) Sélection : Critère de sélection le plus simple : ne retenir, parmi les Nxp gaussiennes, que les N de poids les plus élevés + renormaliser + renormaliser

Approximations globales Aucune approximation locale nest valide Les bruits sont non Gaussiens Filtres particulaires (Huillet&Salut – 1989 / Gordon 1993) Approximation de la distribution par somme de Dirac pondérés Exploration de lespace détat par simulation aléatoire Evaluation des vraisemblances de chaque particules (pondérations) Redistributions des particules (aléatoire ou déterministe)

Ignotus Filtrage particulaire Modèle très général : Conditions de mise oeuvre : Savoir simuler la loi de Pouvoir calculer explicitement

Ignotus Filtrage particulaire (2) Représentation de la mesure probabilité par une somme de mesures de Dirac : Prédiction : Simulation de Monte-Carlo de la dynamique Où sont tirés indépendamment suivant la loi de

Ignotus Filtrage particulaire (3) Redistribution : Tirage des nouvelles particules selon la loi multinomiale Correction : Pondération par la formules Bayes :

Ignotus Filtrage particulaire (4) Initialisation Prédiction/Pondération Redistribution

Ignotus Variantes de lalgorithme : redistributions Ne redistribuer que si le nuage de particules est dégénéré => Cumuler les poids Après redistribution, affecter au lieu de Redistribution déterministe : maximum de vraisemblance …

Evolution des particules avec redistributions (LORAN-C)

Résumé

Fin