Sujet de mathématiques du concours blanc n° 2 donné à lIUFM dAlsace le 26 janvier 2010 avec proposition de corrigé Ce diaporama est disponible en ligne à cette adresse :

Exercice 1: (5 pts) (1 point par question) L'unité de longueur est le centimètre. Dans un triangle ABC, on appelle H le pied de la hauteur issue de A. Le triangle ABH est isocèle. AH = 14 et BC = 16. 1) Écrire un programme de construction de cette figure que vous réaliserez. Solution : Le triangle ABH étant isocèle et rectangle en H, on en déduit que BH = AH = 14. D'où un programme de construction possible : - Tracer un segment [BC] de longueur 16 cm. - Placer sur ce segment le point H tel que BH = 14 cm.

- Tracer la droite d perpendiculaire à la droite (BC) en H. - Placer sur la droite d un point A situé à 14 cm de H.

- Tracer les segments [AB] et [AC].

Remarque concernant la question 1 : Lénoncé nimpose pas dutiliser uniquement la règle et le compas. 2°) Une parallèle à la droite (BC) coupe le segment [AB] en J, le segment [AC] en K et le segment [AH] en L. Quelle est la nature du triangle AJL ? Justifier la réponse. Solution : Les droites (JK) et (BC) sont parallèles et (AH) est perpendiculaire à (BC) donc (AH) est aussi perpendiculaire à (JL) donc le triangle AJL est un triangle rectangle en L. De plus, l'angle mesure 45° (car le triangle BHA est un triangle rectangle en H). On en déduit donc que AJL est un triangle isocèle et rectangle en L.

Remarque concernant la question 2 : Le triangle AJL est limage du triangle ABH dans lhomothétie de centre A et de rapport. 3) On pose : AL = x. Démontrer que. Solution : D'après le théorème de Thalès, donc. Donc :

Remarque concernant la question 3 : On peut aussi dire que le triangle AJK est limage du triangle ABC dans lhomothétie de centre A et de rapport et en déduire que

4) Calculer l'aire du triangle AJK en fonction de x. Solution :

5) Déterminer la valeur de x pour laquelle l'aire du triangle AJK est égale au quart de celle du triangle ABC. Solution : Vérification : si x = 7, le triangle AJK est limage du triangle ABC dans lhomothétie de centre A et de rapport donc son aire est égal à fois celle de ABC donc est bien égale au quart de laire de ABC.

Question complémentaire (3 pts) On a proposé à des élèves de CE2 de résoudre le problème suivant : « On a posé un tapis sur le carrelage de la pièce. Calcule le nombre de carreaux recouverts par le tapis. »

1) Analyser les productions des quatre élèves (A,B,C et D) pour résoudre ce problème (documents en annexe 1). Présenter cette analyse sous forme d'un tableau (voir annexe 2).

Solution (2 points par élève) :

2) Quest-ce que l'enseignant pourrait proposer à lélève B pour quil corrige son erreur ? (0,5 point) Solution : Le maître peut faire en sorte que l'élève comprenne qu'il a fait une erreur - en donnant à cet élève un quadrillage sur transparent (identique au quadrillage de l'énoncé) que l'élève pourra superposer au dessin de l'énoncé et sur lequel il pourra cocher les carreaux "cachés" devenus apparents pour pouvoir les dénombrer et/ou - en demandant à l'élève de colorier des rectangles "de 9 carreaux sur 5 carreaux" puis de dénombrer par comptage les carreaux coloriés puis de comparer le résultat trouvé et la somme

3) Au cours du cycle III, dans quels domaines du programme peut-on trouver des problèmes semblables ? (0,5 point) Solution : Au cours du cycle 3, on peut trouver des problèmes semblables dans les chapitres suivants : - Calcul sur des nombres entiers (résolution de problèmes relevant des quatre opérations au CE2) - Grandeurs et mesures (notion d'aire au CM1 et formule permettant de calculer l'aire d'un rectangle au CM2) Remarque concernant cette question complémentaire : Le formule permettant de calculer laire dun rectangle est au programme du CM2 (pas du CE2).

Solution

Solution : (« que des 2 » ou « que des 5 » ou « des 2 et des 5 »)

Solution :

D. Pernoux