1 Modélisation Bond Graph 1- Principe, structure, construction PAG + FMEEA / Commande des systèmes industriels C : S 1 C : S 2 h1h1 0 h1h1 h1h1 d1d1 d2d2 d2- d1d2- d1 R : R 1 1 d2d2 h1h1 R : R 2 h2h2 0 h2h2 h2h2 d2d2 d 2 -d 3 d3d3 R1R1 d 1 (t) h 1 (t) d 2 (t) h 2 (t) d 3 (t) S2S2 S1S1 R2R Principe 1-2- Eléments 1-3- Jonctions 1-4- Transfo et gyrateur 1-5- Construction 1-6- Simplification 1-7- Exercices Sf : d 1

2 Introduction Outil largement diffusé au niveau international et industriel : Alstom, PSA, EDF, Renault, l’Aérospatiale, Ford, Toyota … AMESim... utilisent le Bond Graph Langage graphique (Bond Graph = Graphe de Liaison) Représente les transferts de puissance en respectant la continuité de la puissance et la conservation de l’énergie Fondé sur la notion d’analogies entre les domaines physiques Fait apparaître explicitement les relations de cause à effet (causalité) Permet de construire de manière systématique des modèles mathématiques de systèmes multiphysiques Niveau de complexité du modèle facilement adaptable BG1-1- Principe

3 La puissance est toujours le produit de 2 variables : P = e.f L’énergie se calcule par intégration de la puissance : Les variables d’énergie sont définies par les relations intégrales : e(t) = effortf(t) = flux Notion de puissance et notations e f La demi flèche signale le sens du transfert Représentation Bond Graph du transfert de puissance : moment généralisé déplacement généralisé BG1-1- Principe

4 Principaux domaines de la physique & variables associées DomaineEffort eFlux fMoment pDéplacement q Mécanique translation rotation force F couple  vitesse v vitesse angulaire Ω quantité de mvt moment cinétique déplacement x angle θ Hydrauliquepression P débit volumique Q impulsion de pression volume V Electricitétension ucourant i flux magnétique Φ charge q Magnétismefmm dérivée flux magnétique flux magnétique Thermo dynamique température Tflux d’entropieentropie Chimie potentiel chimique flux molairemasse molaire BG1-1- Principe

5 tension courant couple vitesse angulaire force vitesse pression débit batterie vérin pneumatique pignon crémaillère moteur à courant continu Décomposition en sous-systèmes, Bond Graph à mots BG1-1- Principe

6 Elements actifs : Sources Eléments qui fournissent de la puissance mécaniquehydrauliqueélectricité actionneur source de force pompe à débit constant source de débit batterie source de tension Se : U Sf : d Se : F Exemples : Se Sf Source d’effort Source de flux e constant ou donné f constant ou donné BG1-2- Eléments Définition :

7 Elément résistif R Elément dissipateur d’énergie mécaniquehydrauliqueélectricité frottement fluide f F = f.V restriction R (écoulement laminaire) P = R.Q résistance R U = R.I R : f R : R R Relation algébrique entre effort et flux e = R.f (en linéaire...) BG1-2- Eléments

8 Elément inertiel I Elément accumulateur d’énergie « cinétique » mécaniquehydrauliqueélectricité masse minertie d’un fluideinductance L I Relation algébrique entre flux et moment p(t) = I.f(t) Energie stockée : I : m I : L S Q L I : ρ.L/S BG1-2- Eléments  

9 Element capacitif C Elément accumulateur d’énergie « potentielle » mécaniquehydrauliqueélectricité ressort de raideur K F = K.x accumulateurcapacité C C Relation algébrique entre effort et déplacement q(t) = C.e(t) Energie stockée : C : 1/K C : C Q H S C : S/(ρ.g) BG1-2- Eléments

10 Tétraèdre de Paynter Résumé des relations dans les éléments R, I, C e f p R q C I ∫ ∫ e(t) = R.f(t) p(t) = I.f(t) q(t) = C.e(t) BG1-2- Eléments

11 Jonction 1 BG1-3- Jonctions mécaniquehydrauliqueélectricité couplage parallèle vitesse commune couplage série débit commun couplage série loi des mailles Caractérise une variable de flux commune à plusieurs éléments f 1 = f 2 = f 3 = f 4 = f :f e 1 + e 2 = e 3 + e 4 Démonstration : Continuité de la puissance : e 1.f + e 2.f = e 3.f + e 4.f m K f V F1F1 F2F2 1:I VRVR VLVL V R +V L VRVR I VLVL 1:V F1F1 C : 1/K R : f F2F2 F 1 +F 2

12 Jonction 0 mécaniquehydrauliqueélectricité couplage série effort commun couplage parallèle pression commune couplage parallèle loi des noeuds Caractérise une variable d’effort commune à plusieurs éléments e 1 = e 2 = e 3 = e 4 = e :e f 1 + f 2 = f 3 + f 4 BG1-3- Jonctions K m F V1V1 V2V2 F V I ILIL IRIR 0:V ILIL IRIR I V1V1 I : m C : 1/K 0 : F V2V2 V 1 –V 2

13 Transformateur BG1-4- Transformateur et gyrateur mécaniquehydrauliqueélectricité poulie, bras de levier, réducteur rapport n vérin section S P = F/S et Q = V.S transformateur n 1 spires au primaire n 2 au secondaire V 2 = n 2 /n 1.V 1 I 1 = n 2 /n 1.I 2 Couplage énergétique neutre, sans permutation de la nature énergétique TF : m e2e2 e1e1 f2f2 f1f1 m = module du transformateur e 1 = m.e 2 f 2 = m.f 1 Le transformateur conserve la puissance, est réversible ΓeΓe ee ΓsΓs ss  s = n.  e Γe = n.Γs TF : n F V Q P F V P Q TF : S V1V1 I1I1 TF : n 2 /n 1 V2V2 I2I2

14 Transformateur modulé Transformateur à module variable MTF (M = modulé) F V r θ → Ω O A x y V = r.Ω.cosθ Exemple : tige pivotante 1:  ∫ cos r θ Γ  F V MTF r.cosθ Remarque : flèches pleines = signal demi-flèches = puissance BG1-4- Transformateur et gyrateur

15 Gyrateur Couplage énergétique neutre, avec permutation de la nature énergétique GY : r e2e2 e1e1 f2f2 f1f1 r = rapport du gyrateur e 1 = r.f 2 e 2 = r.f 1 TF et GY représentent les changements de domaine technologique électromécanique moteur à courant continu Γ  u i Γ = K.i et u = K.  GY : K u i Γ  Le gyrateur conserve la puissance, est réversible BG1-4- Transformateur et gyrateur

16 Méthode systématique de construction d’un Bond Graph BG1-5- Construction 1.Identifier tous les domaines physiques du système et tous les éléments dans chaque domaine physique 2.Fixer un sens de circulation du flux (axe de référence pour les vitesses en mécanique) pour chaque domaine physique 3.Identifier et nommer chaque variable d’effort (de vitesse en mécanique) 4.Associer à chaque variable d’effort (vitesse) une jonction 0 ( 1) 5.Identifier dans le système toutes les différences d’effort (vitesses relatives) nécessaires à la connexion des éléments à la structure de jonctions 6.Construire les différences d’effort (vitesses relatives) en utilisant des jonctions 1 ( 0) et en respectant le sens du transfert de puissance 7.Connecter les éléments R, I, C aux jonctions et placer les sources 8.Simplifier le BG si possible (Cf BG1-6-)

17 Construction exemple 1 : Système masse ressort BG1-5- Construction Etape 1: Mécanique de translation uniquement 2I : m 1 m 2, 1R : f, 2C : K 1 K 2, 1Se : F + Etape 2: Orienter l’axe des vitesses : Etape 3: Recenser les différentes vitesses : F V1V1 V2V2 f F K2K2 K1K1 m1m1 m2m2 + f K2K2 K1K1 m1m1 m2m2 V0V0

18 Etape 4: Matérialiser les différentes vitesses par des jonctions 1 : Etape 5: Introduire des vitesses relatives : Etape 6: Construire les vitesses relatives à l’aide de jonctions 0, en respectant le sens du transfert des puissances : 1 : V 12 1 : V 1 1 : V 2 V 1 –V 2 F1F1 0 : F 1 F1F1 F1F1 V1V1 V2V2 Idem avec 0 : F 2 et 0 : F 0 BG1-5- Construction V1V1 V2V2 f F K2K2 K1K1 m1m1 m2m2 + F1F1 F2F2 K 1 et f soumis à V 12 = V 1 – V 2 K 2 soumis à V 20 = V 2 – V 0 V0V0 1 : V 1 1 : V 2 1 : V 0 F0F0

19 Etape 7: Connecter la source et les éléments R, I, C : BG1-5- Construction V1V1 V2V2 f F K2K2 K1K1 m1m1 m2m2 + V0V0 I : m 1 Se : F I : m 2 C : 1/K 1 R : f C : 1/K 2 1 : V 1 1 : V : V 12 1 : V : V 0

20 Construction exemple 2 : Filtre électrique VeVe VsVs R C L Etape 2: Orienter le courant Etape 4: Placer une jonction 0 par tension Etape 6: Relier les jonctions 0 à l’aide de jonctions 1 Etape 7: Connecter R, L, C, V e 0 : V e 0 : V s 1 : I 1 1 : I 2 0 : V BG1-5- Construction I1I1 I2I2 Se : V e C : C R : R I : L Etape 5: V = V e – V s appliquée à R et C

21BG1-5- Construction Electrique Mécanique Rotation Translation 1 Se, 2C, 2R, 2I, 1GY 1GY, 1R, 1C, 1I, 1TF 1I, 2TF Etape 1: Identifier les domaines physiques et les éléments présents Rotation 2I, 2Se, 3C, 2R, 3TF Construction exemple 3 : Treuil

Etape 2: Fixer un sens de circulation du courant, et des axes de références pour les vitesses Etape 3: Identifier et nommer les tensions et les vitesses R5R5 r 0 V + u1u1 u2u2 u3u3 u4u4 u5u5 Ω1Ω1 Ω3Ω3 v2v2 v4v4 v1v1 v5v5 v3v3 R1R1 L1L1 C1C1 C2C2 R2R2 L2L2 R3R3 K1K1 JD M1M1 M2M2 K2K2 K3K3 R4R4 K4K4 Ω2Ω2 BG1-5- Construction Etapes suivantes: Cf p et ED

23 Règles de simplification BG1-6- Simplification 2- Eliminer une jonction n’ayant qu’un lien en entrée et en sortie 3- Réduire à une seule jonction 1 (ou 0) deux jonctions 1 (ou 0) reliées par un seul lien 1C0 C0 ≡ 0I1  I ≡ à cause du changement de signe 1- Eliminer un lien ne transmettant pas de puissance (e ou f nul)

24 4- Les schémas ci-dessous à gauche sont équivalents à ceux de droite 1 : f 1 1 : f : f 1 – f : e 1 0 : e : e 1 – e ≡ ≡ 5- Si on considère un système dans une position initiale d’équilibre, on peut supprimer les sources constantes BG1-6- Simplification

25 Simplification exemple 1 : Système masse ressort BG1-6- Simplification I : m 1 Se : F I : m 2 C : 1/K 1 R : f C : 1/K 2 1 : V 1 1 : V : V 12 1 : V : V 0 I : m 1 Se : F I : m 2 C : 1/K 1 R : f C : 1/K 2 1 : V 1 1 : V : V 12 Règle 1 Règle 2 Règle 4 15 liens 9 liens

26 0 : V e 0 : V s 1 : I 1 1 : I 2 0 : V Se : V e C : C R : R I : L 1 : I 1 + I 2 0 : V Se : V e C : CR : R I : L BG1-6- Simplification Simplification exemple 2 : Filtre électrique Règle 4 10 liens 5 liens

27 Exercice exemple 3 : treuil Se : C R : R :  12 C : 1/K 1 I : J 1 :  1 1 :  2 1 : V 1 TF : D/2 1R, 1C, 1I, 1TF + Ω1Ω1 R3R3 K1K1 J Ω2Ω2 D v1v1 + Moteur = Se V 1 = D/2.  2 Etapes 4 et suivantes : BG1-7- Exercices Règle 2

28 + Ω3Ω3 v2v2 v4v4 v1v1 v5v5 v3v3 M1M1 M2M2 K2K2 K3K3 R4R4 K4K4 Translation 1I, 2TF Rotation 1I, 1Se, 2TF + r R5R5 Treuil = Sf Hypothèse : raideurs infinies V 3 = 0 V 1 = V 2 = r.  3 V 4 = V 5 = – r.  3 Sf : V 12 I : M 1.r² 1 :  3 TF : 1/rTF : -r 1 : V 45 I : M 2 Se : – M 2.g BG1-7- Exercices Règle 5

29 + Ω3Ω3 v2v2 v4v4 v3v3 M1M1 K4K4 Translation 1I, 2TF Rotation 1I, 1Se, 1C 2TF r Modification : prise en compte de K 4 V 2 = r.  3 + V 3 V 4 = – r.  3 + V 3 Sf : V 12 I : M 1.r² 1 :  3 1 : V 45 1 : V 3 TF : -r 0 TF : 1/r 0 Se : – M 1.g I : M 1 C : 1/K 4 BG1-7- Exercices Règle 5