LES DIFFERENTS TYPES DE CALCULS DANS UNE MEME ACTIVITE CALCUL MENTAL CALCUL MACHINE CALCUL POSE Cette activité est dans la suite de l’esprit des programmes de primaire et de 6ième . Pour cela aller voir les montages sur les différents formes de calcul sur le site des IPR de Math de l’académie de Lille, ainsi que les accompagnements des programmes de sixième. Insistance est faite d’améliorer les performances des élèves sur les 3 types de calcul. La résolution de problèmes est facilitée par cette performance simultanée. Pour l’animation des diapositives , allez à la découverte…

Un exemple parmi d’autres …… DEGAGER UNE REGLE DE CALCUL MENTAL L’activité développe aussi la démarche d’investigation avec en particulier les phases « expérimentation » ,  » conjecture »,  »démonstration ». Niveau 4ième ou 3ième

Produit de deux nombres égaux ayant 5 pour chiffre des unités Exemple 45 x 45 ou 45² Extension au cas d’un produit de deux nombres : Même nombre de dizaines Somme des chiffres des unités égale à 10 Exemple 72 x 78 A tester dans l’assemblée….. Même fonctionnement qui amène à 2 025 et 5 616 ATTENTION AU MODE DE FONCTIONNEMENT DU DIAPORAMA: des indications en commentaires

DEROULEMENT DE LA SEANCE Consignes données aux élèves Temps de réflexion personnelle Mise en commun Généralisation Justification Extension de la règle DIAPORAMA: A partir de cette diapo lien hypertexte avec une autre diapo qui explicite l’étape Retour à cette diapo en cliquant sur R. Après extension de la règle, revenir à cette diapo puis passer à la suivante qui indique la fin du diaporama.

Les meilleures choses ont une fin !!!!! DIAPORAMA : au clic pour passer à la suivante une page blanche s’affiche afin de sortir du diaporama

DIAPORAMA: cliquez en bas à gauche pour demander de mettre fin au diaporama

1) Consignes données aux élèves Effectuer 75x75, 35x35, 65x65, 25x25, 85x85, 105x105. calcul machine ou posé En observant les résultats, dégager une règle simple permettant de calculer mentalement les produits donnés. calcul mental DIAPORAMA: cliquez sur R pour revenir à la diapo «  déroulement », avant de pa sser à l’étape suivante du déroulement En italique ici et par la suite indication des modes de calcul utilisable R

2) Temps de réflexion personnelle Plusieurs scénarios possibles selon la façon de réagir de la classe: réflexion personnelle puis mise en commun réflexion personnelle puis échange par deux, trois ou quatre mise en commun directement R

3) Mise en commun Les produits se terminent à droite par 25 ( 5x5) Le nombre de centaines : si n est le nombre de dizaines du nombre donné alors le nombre de centaines est n x ( n+1) Repartir à la diapo « consignes donnée aux élèves » pour présenter les réponses: 5 625; 1 225; 4 225; 625; 7 225; 11 025. En général les élèves découvrent assez vite la terminaison 25, pour la 2ième partie après un certain temps on peut donner comme aide de compare pour chaque exemple le nombre de dizaines du nombre donné avec le nombre de centaines du produit. En 3ième on peut présenter le travail sous forme de carrés et adapter la justification à la connaissance des identités remarquables du programme. R

4) Généralisation: «Cette règle fonctionne-t-elle toujours?» D’abord on propose les autres nombres à 2 chiffres: réponse par calcul mental vérification par calcul machine Puis on propose quelques nombres à 3 chiffres produit direct par calcul machine utilisation de la méthode selon les cas en calcul posé,mental ou machine Bien être au point sur le scénario pour la gestion de l’usage ou non de la calculatrice. Occasion de pousser l’usage de la calculatrice au moment de la vérification en faisant écrire la différence entre le produit donné et le nombre obtenu par la méthode, si la différence est nul, le résultat est vérifié. C’est l’occasion de faire apparaître le produit nx(n+1) x 100 + 25, bonne préparation à la justification R

5) Justification à partir d’un exemple puis en généralisant 3 méthodes : Méthode numérique Méthode algébrique Méthode géométrique DIAPORAMA: attention ici enchaînement de plusieurs diapos avant de retourner au « déroulement…. »

Méthode numérique Utilisation de la double distributivité de la multiplication pour l’addition: 35 x 35 = (30+5) x (30+5) =30x30 + 30x5 + 5x30 +5x5 Puis factorisation partielle = 30 x (30 + 5 +5 ) + 5x5 = 30 x 40 + 25 = (3 x 4)x 100 + 25 Calcul mental En troisième utilisation possible des identités remarquables

Méthode algébrique Utilisation de l’écriture n5 d’un nombre entier ayant n dizaines et 5 unités: n5 = n x 10 + 5 n5 x n5 = (10n + 5)(10n + 5) = ……… = 100 n² + 100 n + 25 = [n (n + 1)] x 100 + 25

Méthode géométrique A 30 B 5 C 40 N 35 D F G H T E Aire(ACED)=35 x 35; Aire(BCEN)=Aire(DEHF) D’où Aire(ACED) = Aire(ABND) + Aire (DNGF) +Aire(NEHG) Aire(ACED) = Aire(ABGF) + Aire(NEHG) On obtient : 35x35 = 30 x 40 + 5 x 5 35x35 =(3x4)x100 + 25 DIAPORAMA : ne pas passer à la suivante à partir de celle-ci. Passer par le bouton T pour revenir au texte avant de retourner à la diapo déroulement. Pour suivre l’évolution du calcul utilisez la modification du pointeur flèche en stylo feutre ou en surligneur, tout peut-être effacé ensuite. La figure n’est pas fidèle aux dimensions indiquées

6) Extension de la règle En calcul posé ou en calcul machine Faire calculer 23x27 ; 36x34 ; 52x58; 81x 89 …… Suivre à nouveau les étapes précédentes sauf la solution géométrique Réponses 621, 1224, 3016, 7209 …. DIAPORAMA: faire retour par R à la diapo « déroulement.. » puis passer à la diapo suivante pour sortir du diaporama. Invitation à reprendre les différentes étapes dans ce cas et à rechercher une éventuelle solution géométrique. Il y a peut-être une solution géométrique, recherche laissée à la discrétion des participants !!! R