Espace des vecteurs d’onde L’espace réciproque Espace des vecteurs d’onde Espace de Fourier Inverse Orthogonal

Réseau réciproque Définition géométrique Définition des vecteurs de base avec v=(a,b,c) volume de la maille Définition équivalente (2D, 3D...) a* est orthogonal à b et c mais pas en gal à a v*=(a*,b*,c*)=(2p)3/v Introduit par Bravais Repris par Ewald (1917) RD b a RR b* a* Espace réciproque : espace vectoriel base (a*,b*,c*) Réseau réciproque : ensemble des points h,k,l entiers

Définition par les ondes planes Q appartient au réseau réciproque ssi : Si Si on pose entiers. Réseau réciproque Ensemble des vecteur q des ondes planes eiq.r ayant une périodicité du réseau direct q q

Propriétés du RR Symétrie RD RR Le réseau réciproque a la même symétrie ponctuelle que le réseau direct Soit O une opération de symétrie du RR. On veut montrer a b b* a* RD RR Dualité Le réseau réciproque du RR est le réseau direct : RR du RR formé des points R tel que Si R=Ruvw la relation est vérifiée Réciproquement si R=xa+yb+zc vérifie xu+yv+zw=m, x, y et z sont entiers

Plans réticulaires, rangées Næuds d’un réseau regroupés en plans équidistants : Les plans réticulaires Famille de plans forme un feuilletage du réseau [001] [010] [100] <100> Rangée : file infinie de noeuds dans la direction Ruvw Notation [uvw], u, v, w premiers entre eux Les directions équivalentes par symétrie sont notées <uvw>

(0,0,1) (3,2,4) h, k, l indices de Miller Plans réticulaires b dhkl 1/2 1/4 a 1/3 Le plan réticulaire le plus proche de l’origine coupe les axes de la maille en : h, k, l indices de Miller Famille de plans (h,k,l) Familles de plans équivalents par symétrie {h,k,l} Distance entre plan dhkl Si N(hkl) est la densité de næuds par plans, N(hkl)/dhkl est la densité volumique Les plans les plus denses sont les plus distants Les facettes des cristaux sont des plans réticulaires de faibles indices de Miller (surface)

Relation des plans réticulaires avec le RR À chaque famille de plans réticulaires d correspond Une rangée du réseau réciproque de pas 2p/d Cette rangée est orthogonale à la famille de plan Le plus petit vecteur de cette rangée à pour module 2p/d Q020 Q010=d* 2p/Q020 d010=2p/Q010 Le plan réticulaire le plus proche de l’origine satisfait : Il coupe les axes en : 𝒉𝒖+𝒌𝒗+𝒍𝒘=𝟏 𝒂 ℎ , 𝒃 𝑘 , 𝒄 𝑙 h, k, l indices de Miller (premiers entre eux)

𝑸=2𝜋𝒏/𝑑 est un vecteur du RR 𝑹𝑢𝑣𝑤∙𝑸 = 2𝜋 𝒅=𝟐𝝅/𝑸 𝒏 𝑹𝑢𝑣𝑤 𝑑 𝑹𝑢𝑣𝑤∙𝒏= 𝑚𝑑 𝑹𝑢𝑣𝑤∙ 2𝜋𝒏/𝑑 = 2𝜋𝑚 𝑸=2𝜋𝒏/𝑑 est un vecteur du RR 𝑹𝑢𝑣𝑤∙𝑸 = 2𝜋 𝑸 ne peut pas être plus petit, c’est le pas de la rangée 𝑸𝑸ℎ𝑘𝑙 ℎ,𝑘,𝑙 indices de Miller : 𝑑ℎ𝑘𝑙 ? 𝑸

Distance interréticulaire dhkl dhkl distance entre plan (hkl) Qhkl plus petit vecteur de la rangée Cas général Système hexagonal : Système cubique :

Cas des mailles multiples Exemple d’une maille centrée La condition implique 1) h, k ,l entiers (Réseau réciproque du réseau (a,b,c)) 2) Condition d’existence I a F a* Réseau hexagonal A = a-b; B=a+b; C=c B b a A Conditions P I F A P F I A B* b* a* A*

La transformée de Fourier du RD Définition Fonction ou distribution 𝑆(𝒓) Le réseau direct est décrit par la distribution « densité de nœuds » : ℎ 𝛿 𝑞−ℎ𝑇 = 1 𝑇 𝑛=−∞ +∞ 𝑒 −2𝑖𝜋𝑛 𝑞 𝑇 𝑇𝐹 𝑆 𝒓 =𝐹 𝒒 = 𝑆(𝒓) 𝑒 −𝑖𝒒∙𝒓 𝑑 3 𝒓 𝑇𝐹 −1 𝐹 𝒒 =𝑆 𝒓 = 1 (2𝜋) 3 𝐹 𝒒 𝑒 𝑖𝒒∙𝒓 𝑑 3 𝒒 Série de Fourier du Peigne de Dirac 𝑆 𝒓 = 𝑢𝑣𝑤 𝛿(𝒓− 𝑹 𝑢𝑣𝑤 ) 𝑇𝐹 𝑆 𝒓 =𝐹 𝒒 = 𝑢𝑣𝑤 𝛿(𝒓− 𝑹 𝑢𝑣𝑤 ) 𝑒 −𝑖𝒒∙𝒓 𝑑 3 𝒓 = 𝑢𝑣𝑤 𝑒 −𝑖𝒒∙ 𝑹 𝑢𝑣𝑤 = 𝑢 𝑒 −2𝑖𝜋 𝑞 𝑥 𝑢 𝑣 𝑒 −2𝑖𝜋 𝑞 𝑦 𝑣 𝑤 𝑒 −2𝑖𝜋 𝑞 𝑧 𝑤 𝒒= 𝑞 𝑥 𝒂 ∗ + 𝑞 𝑦 𝒃 ∗ + 𝑞 𝑧 𝒄 ∗ = ℎ 𝛿 𝑞 𝑥 −ℎ 𝛿 𝑞 𝑦 −𝑘 𝑙 𝛿 𝑞 𝑧 −𝑙 𝐹 𝒒 = 𝑣 ∗ ℎ𝑘𝑙 𝛿(𝒒− 𝑸 ℎ𝑘𝑙 ) « densité de nœuds » du RR 𝑣 ∗ = 𝒂 ∗ , 𝒃 ∗ , 𝒄 ∗ =2𝜋/𝑣 La TF du réseau direct est le réseau réciproque L’espace réciproque est la TF de l’espace direct

Symétrie des espaces directs et réciproques Propriétés de la TF Dualité du RR et du RD Symétrie des espaces directs et réciproques Si O est un opérateur de symétrie dans ED… …O est un opérateur de symétrie dans l’ER Produits de convolution Le produit de convolution de f et g est f * g

Application aux objets de basse dimension 1D : chaîne 2p/a a a* Ensemble de plans parallèles b b* a a* 2D : plan Réseau de tiges

Lien avec la diffraction Relation de Bragg Diffraction sur des plans réticulaires d Vecteur de diffusion q ki kd q q normal aux plans d Diffraction  q appartient au RR (à la rangée  plans)