Transformation de Laplace - Mr.Retima Abderaouf - Mr.Ghandjoui abderahmane Université 20 aout 1955 Skikda

Historique  Pierre-Simon de Laplace, ou Pierre-Simon Laplace, né le 23 mars 1749 à Beaumont-en-Auge et mort le 5 mars 1827 à Paris, est un mathématicien, astronome et physicien français.  Laplace est l’un des principaux scientifiques de la période napoléonienne  Parmi les découvertes mineures de Laplace en mathématiques pures : La Transformation de Laplace Cette transformation fut introduite pour la première fois sous une forme proche de celle utilisée par Laplace en 1774, dans le cadre de la théorie des probabilités

Introduction La transformation de Laplace est une opération intégrale qui permet de transformer une fonction d’une variable réelle en une fonction d’une variable complexe. Par cette transformation, une équation différentielle linéaire peut être représentée par une équation algébrique. L’intérêt de la transformation de Laplace est d’offrir sensiblement les mêmes propriétés que la transformée de Fourier, mais dans un cadre moins restrictif. Ainsi de nombreuses fonctions dont les transformées de Fourier n’existent pas (car l’intégrale sur un support infini de ces fonctions ne sont pas définies) admettent une transformée de Laplace

Définition de la transformation de Laplace

Existence de la TL Cette intégrale existe si deux conditions sont remplies  D’une part la fonction f doit bien se comporter su sont domaine de définition  D’autre part, l’intégrale doit être convergente

La transformation inverse  On peut revenir de la transformée de Laplace à la fonction du temps f(t) par la transformation inverse suivante: f(t) F(s)

Propriétés  a)-Addition La transformée de Laplace d’une somme de fonctions f 1 (t) et f 2 (t) est égale à la somme de leurs Transformées de Laplace.  b)- Multiplication par une constante

 c)- Linéarité Les propriétés d’addition et de multiplication par une constante lorsqu’elles sont combinées conduisent au fait que la transformée de Laplace est une transformation linéaire :  d)- Dérivées

 e)- Théorème de la valeur initiale On peut déterminer la valeur de la fonction f(t) à l’origine si on connaît la limite à l’infini de sa transformée de Laplace.  f)- Théorème de la valeur finale On peut déterminer la valeur de la fonction f(t) à l’infini si on connaît la limite pour s  0 de sa transformée de Laplace.

 i)-produit de deux fonctions  j)-produit de convolution

 m)-Règle de similitude (Changement d'échelle) : Soit g (t) = f(at) (a>0), alors

Fonctions particulières

Transformation de fonctions usuelles : En utilisant l’intégrale de définition, le calcul de la TL pour les fonctions les plus utilisées

Applications de la transformée de Laplace (circuit RL)  On considère la réponse du système correspondant au circuit ci-dessus, soumis à un signal échelon (supposé unitaire) U(t). La transformée de Laplace du signal échelon est : Pour t>0 on a : u(t)=E = constante. On cherche le courant i (t) qui circule dans le circuit de la figure ci-dessous.

 La loi d'Ohm permet d'écrire l’équation différentielle :  On applique la transformation de Laplace, dans chacun de ces éléments pris séparément,en se rappelant F'(s)=sF(s) ; ce qui donne :  En remplaçant U(s) par E/s, l’équation différentielle s’exprime dans l’espace de Laplace par :  On en déduit I(s) qu'on décompose en termes simples, soit

 -On applique les règles de détermination des coefficients, on obtient :  La table des transformées nous donne la solution

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