REVISION du COURS E = En- Ep = h La transition entre deux états accessibles s’accompagne de l’absorption ou de l’émission d’un photon d’énergie égale à la différence de l’énergie des deux états. E = En- Ep = h h : 6,623 10-34 j.s (constante de Planck) ν : fréquence de rayonnement mis en jeu.

E = h Soit les niveaux n et p avec p>n Une absorption d’une radiation est obtenue lorsque l’électron passe du niveau n au niveau p Une émission d’une radiation est obtenue lorsque l’électron passe du niveau p au niveau n. E = h

Série 2 Exercice 1 Un atome d'hydrogène initialement à l'état fondamental absorbe une quantité d'énergie de 10,2 eV. 1). Dans quel état électronique se trouve-t-il alors ? 2). Calculer la fréquence, la longueur d’onde et le nombre d’onde associés à cette transition 3) Pour passer du 1er état excité au 3ème état excité, l'électron d'un atome d'hydrogène absorbe un photon de longueur d’onde. Calculer .

Solution Pour l’atome d’hydrogène, rappelons l’expression de l’énergie : En =- 𝟏𝟑.𝟔 𝒏 𝟐 eV Etat fondamental: n=1 Il absorbe une quantité d’énergie: E = +10,2 eV. L’électron va se trouver dans une couche supérieure, m, n=1 m=? E1= -(13,6/12) = -13,6 eV Em= -(13,6/m2) E = Em - E1 = -(13,6/m2) – (-13,6) = 13,6 (1 – 1/m2) = +10,2eV (1 – 1/m2) = +10,2/13,6= 0,75 1-0,75 = 1/m2 m2 = 4 m=2

E = h  =E / h  = 2,465.1015 Hz 2. a. Calcul de la fréquence, avec h = 6,62 10-34Js et ∆𝑬=𝟏𝟎.𝟐 𝒆𝑽 Convertir eV en Joule: 1eV = 1,6.10-19j = (10,2x1,6.10-19) / 6,62 10-34  = 2,465.1015 Hz E = h  =E / h

2. b. Calcul de la Longueur d’onde , Avec c la vitesse de la lumière : C = 3.108m/s  = 3.108/ 2,6 1015  = C/ = 1,217 , 10-7 m = 121,7 nm

= 1/ 2. C. Calcul du nombre d’onde  :  = 1/ 1,217.10-7 = 0,8217.107 m-1 = 8217 cm-1 = 1/

1 2−4 = RH( 1 𝑛 2 − 1 𝑚 2 ) avec m > n (RH = 1,097373 107m-1) 3) Pour passer du 1er état excité au 3ème état excité, l'électron d'un atome d'hydrogène absorbe un photon de longueur d’onde. Calculer . Réponse: Etat Fondamental n=1 1er Etat Excité n=2 2ème Etat Excité n=3 3ème Etat Excité n=4 Donc : Passage de n=2 vers n=4 Pour calculer  , utilisons le formule de Ritz.   1 2−4 = RH( 1 𝑛 2 − 1 𝑚 2 ) avec m > n (RH = 1,097373 107m-1) 1 2−4 = 1,097373 107 (1/22 - 1/42) = 1,097373 107 (3/16) 2-4 = 4,86.10-7 m 2-4 = 486.10-9 m = 486nm

Exercice 2 Calculer les longueurs d'onde des raies visibles observées sur le spectre d’émission de l’Hydrogène. On prendra les 4 raies de Lyman. Donner la variation d'énergie de l'atome d'hydrogène liée à l'émission de la première raie et de la raie limite dans la série de Lyman. On dit que le spectre d'émission de l'atome d'Hydrogène se décompose en plusieurs séries: les séries de Lyman, Balmer, Paschen, Brackett et Pfund. Chaque série est définie par le niveau d'énergie final des transitions électroniques..

1) Calcul des les longueurs d'onde des raies visibles observées sur le spectre d’émission de l’Hydrogène. On prendra les 4 raies de Lyman. Série de Lyman n=1, utilisons le formule de Ritz.   𝟏  = RH( 𝟏 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝒏 𝟐 ) avec n = 2; 3; 4; 5. 1ère raie : n = 2 vers n =1 : 𝟏  = 1,097373 107 ( 𝟏 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝟐 ), donc  =121,5.10-9m = 121,5 nm 2ème raie : n = 3 vers n =1 : 𝟏  = 1,097373 107 ( 𝟏 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟑 𝟐 ), donc =102,5.10-9m = 102,5 nm 3ème raie : n = 4 vers n =1 : 𝟏  = 1,097373 107 ( 𝟏 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟒 𝟐 ), donc  = 97,20 . 10-9m = 97,20 nm 4ème raie : n = 5 vers n =1 : 𝟏  = 1,097373 107 ( 𝟏 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟓 𝟐 ), donc  = 94,90 . 10-9m = 94,90 nm

∆𝑬=𝐄𝟏−𝐄𝐧 = -13,6(1/12) – (-13,6)(1/n2) 2) Calcul de la variation d'énergie de l'atome d'hydrogène liée à l'émission de la première raie et de la raie limite dans la série de Lyman ∆𝑬=𝐄𝟏−𝐄𝐧 = -13,6(1/12) – (-13,6)(1/n2) ∆𝑬 = 13.6 ( 𝟏 𝒏 𝟐 − 𝟏 𝟏 𝟐 ) eV, Première raie: de n=2 vers n = 1 Application numérique : ∆𝑬(𝟏è𝒓𝒆 𝒓𝒂𝒊𝒆)=13.6 ( 𝟏 𝟐 𝟐 − 𝟏 𝟏 𝟐 )= -10.20 eV Avec: Raie Limite: de n=∞ vers n = 1 ∆𝑬(𝒓𝒂𝒊𝒆 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆)=13.6 ( 𝟏 ∞ 𝟐 − 𝟏 𝟏 𝟐 )= -13.6 eV

Exercice 4 (Examen session rattrapage 2014) a) Donnez l’expression de la quantification du moment cinétique utilisée dans la théorie de Bohr. b) Si un atome d’hydrogène dans son état fondamental absorbe un photon de longueur d’onde 1 puis émet un photon de longueur d’onde 2, sur quel niveau l’électron se trouve t-il après cette émission ? 1 = 97, 28 nm et 2 = 1879 nm

Postulat du moment cinétique a) Les états de mouvement permis sont ceux pour lesquels le moment cinétique s0 de l’électron est un multiple entier de (h/2p). s0 = n (h/2p) = mevern me : masse de l’électron et ve sa vitesse rn : rayon de l’orbite dans laquelle circule l’électron. Le moment cinétique orbital correspond à la rotation d'une particule autour d'un noyau, comme la rotation d'un électron autour d'un noyau dans un atome. On différencie le moment cinétique orbital du moment cinétique intrinsèque, interprétable par la rotation d'une particule élémentaire sur elle-même (on parle de spin de l'électron, par exemple). Tout moment cinétique est quantifié en mécanique, c’est-à-dire que le moment cinétique ne peut prendre que des valeurs discrètes bien précises. C'est une des propriétés fondamentales de la théorie quantique.

Etat fondamental : n=1 m m’ m>1 et m’< m b) Etat fondamental : n=1 m m’ m>1 et m’< m 𝟏  𝟏 = 𝑹 𝑯 𝟏 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝒎 𝟐 𝟏  𝟏 𝑹 𝑯 −𝟏= − 𝟏 𝒎 𝟐  𝟏 𝒎 𝟐 =𝟏− 𝟏  𝟏 𝑹 𝑯 =  𝟏 𝑹 𝑯 −𝟏  𝟏 𝑹 𝑯 𝒎=  𝟏 𝑹 𝑯  𝟏 𝑹 𝑯 −𝟏 𝒎= 𝟗𝟕.𝟐𝟖× 𝟏𝟎 −𝟗 ×𝟏𝟎𝟗𝟔𝟕𝟕𝟎𝟎 𝟗𝟕.𝟐𝟖× 𝟏𝟎 −𝟗 ×𝟏𝟎𝟗𝟔𝟕𝟕𝟎𝟎−𝟏 ≅𝟒 Absorption 1 Emission 2

m= 4 il s’agit de la transition électronique 𝟏 𝟏𝟔 + 𝟏  𝟐 𝑹 𝑯 = 𝟏 𝒎′ 𝟐   𝟐 𝑹 𝑯 +𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟐 𝑹 𝑯 = 𝟏 𝒎′ 𝟐  m’=3

Exercice 5 1) En se basant sur les postulats de la théorie de Bohr pour l’atome d’hydrogène, donner les expressions générales de l’énergie et du rayon des orbites de Bohr. 2) Pour l’hydrogénoïde de l’atome de 4Be, calculer le photon d’énergie associé à la transition : état fondamental- 2ème état excité, en déduire la longueur d’onde et l’expression de la formule de Ritz généralisée. 3) Calculez la constante de Rhydber RH théorique et comparez cette valeur à celle donnée expérimentalement RH (exp) = 109677 cm-1.

1) L’expression générale de l’énergie est: Les rayons des orbites de Bohr sont calculés à partir de l’expression suivante :

L’hydrogénoïde est Be3+ Pour l’hydrogénoïde de l’atome de 4Be, calcul du photon d’énergie associé à la transition : état fondamental - 2ème état excité: L’hydrogénoïde est Be3+ Il s’agit de la transition: n=1 n=3 E1-3 = E3 – E1 absorption donc E1-3 > 0 E3 = -13,6 Z2/n2 = -13,6 (4)2/32 = - 24,18eV E1= -13,6 Z2/n2 = -13,6 (4)2/12 = - 217,6eV E1-3 = E3 – E1 = 193,42eV (1eV= 1,602.10-19j) E1-3 = 3,099.10-17J

Déduisons la longueur d’onde correspondant à la transition: 1 3 E1-3 = h = hC/  = hC/E1-3 (h = 6,62 10-34Js; C = 3 108 ms-1.) = (6,62 10-34 x 3 108 )/3,099.10-17 = 6,409.10-9m  = 6,409nm

Déduisons l’expression de la formule de Ritz généralisée.

on trouve RH(calculée)= 1.0991668×107 m-1 = 109917cm-1 3) Calcul de la constante de Rhydberg RH théorique et comparaison de cette valeur à celle donnée expérimentalement RH (exp) = 109677 cm-1. avec e = 1,6 10-19 C, h = 6,62 10-34 Js, C = 3 108 ms-1, me = 9,109534 10-31 kg, 0 = 8,854187 10–12 C2N-1m-2 on trouve RH(calculée)= 1.0991668×107 m-1 = 109917cm-1 Cette valeur est en accord excellent avec la valeur expérimentale.

Exercice 6 1- Donner la composition (nombre de protons; nombre de neutrons et nombre d’électrons) de l’atome de Bore 115B. 2- Sachant que l’énergie des niveaux électroniques des hydrogénoïdes est donnée par l’expression en eV Calculez le quantum d’énergie, la fréquence et la longueur d’onde, associés à la transition électronique de l’état fondamentale vers le deuxième état excité. b) Calculez la constante de Rydberg RH’ de l’hydrogénoïde de l’atome de Bore en utilisant la formule de Ritz générale pour les hydrogénoïdes. c) Calculez le potentiel d’ionisation de l’hydrogénoïde de l’atome de Bore. Données e = 1,6 10-19 C, h = 6,62 10-34 Js, C = 3 108 ms-1, RH = 1,09677 107 m-1 me = 9,109534 10-31 kg, 0 = 8,854187 10–12 C2N-1m-2

Solution : 115B 5protons, 5électrons, 6 neutrons Transisition : Etat fondamental  2ème état excité : n=1 n=3 a) Calcul du quantum d’énergie : E1=-13,6*(5)2/1=-340eV E3=-13,6*(5)2/(3)2=-37,8eV E= E3- E1=-37,8 – (-340)=302,2eV E=302,2eV= 4,84.10-17j   Calcul de la fréquence : E =h  = E / h  = 302,2x1,6.10-19/6,62.10-34 J s  =7,304.1016s-1= 730,4.1014 s-1

Calcul de la longueur d’onde = 4,11.10-9m Calcul de la constante de Rydberg RH’ de l’hydrogénoïde de l’atome de Bore 1/=Rh’(1/n2 – 1/m2) Rh’ = 1/[x(1/n2 – 1/m2)] Rh’ =1/[4,11.10-9x(1/1 - 1/9)] Rh’ =9/8(4,11.10-9) Rh’ =2,74.108m-1 Calcule du potentiel d’ionisation de l’hydrogénoïde de l’atome de Bore. PI= E- E1 = 0- E1=-(-13,6*(5)2/1)=+340eV

Exercice 7 (Examen session rattrapage 2015) L’électron de l’atome d’hydrogène se trouvant initialement au deuxième état excité émet (émission), par retour à un niveau inférieur, une radiation de longueur d’onde = 1027 Å. Quelle est la transition électronique responsable de cette émission? Calculer la fréquence (), le nombre d’onde () et l’énergie du photon accompagnant cette transition ( = 1027 Å). Données : RH = 1,097373 107m-1 ; h = 6,62 10-34Js ; C = 3 108 ms-1.

L’électron de l’atome d’hydrogène est sur le : 2ème Etat Excité n=3 m? m<n émission = 1027 Å l’émission d’une radiation de longueur d’onde =1027Å correspond au retour de l’électron vers un état électronique m<n 1) On utilise la formule de Ritz 𝟏 𝝀 = 𝑹 𝑯 𝟏 𝒎 𝟐 − 𝟏 𝒏 𝟐 𝟏 𝟏𝟎𝟐𝟕× 𝟏𝟎 −𝟏𝟎 =𝟏,𝟎𝟗𝟕𝟑𝟕𝟑× 𝟏𝟎 𝟕 𝟏 𝒎 𝟐 − 𝟏 𝟑 𝟐 On trouve m=1 (état fondamental), il s’agit de la transition électronique 31

Calculer la fréquence (), =(3×108)/(1027×10-10)=2,92×1015Hz Calcul du nombre d’onde () 1/=1/1027×10-10= 9,74×106m-1 Calcul de l’énergie du photon accompagnant cette transition ( = 1027 Å). E= h E=6,62×10-34×2,92×1015= 19,3×10-19J C’est une émission donc : E<0 E=-19,3×10-19J

Exercice 6 (Examen Janvier 2014) 1-Donner la composition (nombre de protons; nombre de neutrons et nombre d’électrons) de l’atome de Bore 511B. 2-Sachant que l’énergie des niveaux électroniques des hydrogénoïdes est donnée par l’expression a) Calculez le quantum d’énergie, la fréquence et la longueur d’onde, associés à la transition électronique de l’état fondamentale vers le deuxième état excité. b) Calculez la constante de Rydberg RH’ de l’hydrogénoïde de l’atome de Bore en utilisant la formule de Ritz générale pour les hydrogénoïdes. c) Calculez le potentiel d’ionisation de l’hydrogénoïde de l’atome de Bore. (eV) Données e = 1,6 10-19 C, h = 6,62 10-34 Js, C = 3 108 ms-1, RH = 1,09677 107 m-1 me = 9,109534 10-31 kg, 0 = 8,854187 10–12 C2N-1m-2

Solution : 1) 511B. 5protons, 5électrons, 6 neutrons 2) Etat fondamental : n=1, 2ème état excité : n=3 a) Calcul du quantum d’énergie  E : E1=-13,6*(5)2/1=-340eV E3=-13,6*(5)2/(3)2=-37,8eV E= E3- E1=-37,8 – (-340)=302,2eV E=302,2eV= 4,84.10-17j 

Calcul de la fréquence : E =h  = E / h  = 302,2x1,6.10-19/6,62 10-34 J s  =7,304.1016s-1= 730,4.1014 s-1 Calcul de la longueur d’onde  =c/  =3.108/730,4.1014  = 4,11.10-9m

Calcul de la constante de Rydberg RH’ de l’hydrogénoïde de l’atome de Bore 1/=Rh’(1/n2 – 1/m2) RH’ = 1/[ x(1/n2 – 1/m2)] RH’ =1/[4,11.10-9x(1/1-1/9)] RH’ =9/8(4,11.10-9) RH’ =2,74.108m-1 Calcul du potentiel d’ionisation de l’hydrogénoïde de l’atome de Bore: EI= E - E1 = 0 – (-13,6) (52/12) EI=340eV