CHAPITRE 10 Fonctions affines – Fonctions linéaires

Objectifs: Savoir déterminer la forme algébrique d’une fonction linéaire ou d’une fonction affine. - Déterminer l’image et l’antécédent d’un nombre par une fonction donnée. Représenter graphiquement des fonctions et exploiter les graphiques. aaaaaa

Exemples de fonctions affine et linéaire Voici les tarifs d’entrée pour un stade de football : Tarif 1 : 8€ l’entrée Tarif 2 : 4€ l’entrée avec la carte demi-tarif qui coûte 40€ Calculer pour chaque tarif, la dépense pour 6 entrées, 11 entrées puis 15 entrées. Dans chaque cas, quel est le tarif le plus intéressant ? Nombre d’entrées x Dépense avec Tarif 1 Dépense avec Tarif 2 x = 6 x = 11 x = 15 48 € 88 € 120 € 64 € 84 € 100 €

A chaque nombre x, on associe le nombre 8x. 2) Soit x le nombre d’entrées. Exprimer en fonction de x la dépense pour la saison pour chaque tarif. Tarif 1 : 8x A chaque nombre x, on associe le nombre 8x. On a définit une FONCTION LINEAIRE qu’on appelle f et on note: ou f(x)= 8x f: x 8x Remarques : f(x) se lit « f de x » Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité.

Tarif 2 : 4x + 40 A chaque nombre x, on associe le nombre 4x + 40. On a définit une FONCTION AFFINE qu’on appelle g et on note: g: x 4x + 40 ou g(x)= 4x + 40 Définitions Soient a et b deux nombres fixés x a x + b est appelée fonction affine x a x est appelée fonction linéaire Remarque: Une fonction linéaire est une fonction affine où b = 0.

Avec le tarif 2, 18 entrées coûtent 112€. 3) a) Avec le tarif 2, calculer le prix dépensé pour 18 entrées. Avec x = 18 on a g(18) = 4x18 + 40 = 112 Avec le tarif 2, 18 entrées coûtent 112€. On dit que : L’ IMAGE de 18 par la fonction g est 112 b) Calculer de même : f(2), g(4), g(7) et f(10). f(2) = 8x2 = 16 g(4) = 4x4 + 40 = 56 g(7) = 4x7 + 40 = 68 f(10) = 8x10 = 80

Avec le tarif 2, une somme de 84€ permet 11 entrées. c) Trouver x tel que g(x) = 84. Interpréter le résultat. g(x) = 84 4x + 40 = 84 car g(x)= 4x + 40 4x = 44 x = 11 Avec le tarif 2, une somme de 84€ permet 11 entrées. On dit que : L’ ANTECEDENT de 84 par la fonction g est 11 Définition Soit f une fonction affine ou linéaire, on a: f: antécédent image ou encore f(antécédent) = image

Remarque : Si on ne dispose pas d’un tel tableau, 4) a) Pour chaque tarif, représenter sur un même graphique la dépense en fonction du nombre d’entrées. Pour construire les représentations graphiques, on utilise le tableau de la question 1). x entrées x = 6 x = 11 x = 15 Tarif 1 48 € 88 € 120 € Tarif 2 64 € 84 € 100 € Remarque : Si on ne dispose pas d’un tel tableau, il faut en construire un.

x entrées x = 6 x = 11 x = 15 Tarif 1 48 € 88 € 120 € Tarif 2 64 € 84 € 100 € Représentation de la fonction f Prix en € 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 Représentation de la fonction g Nombre d’entrées 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Remarque : Les représentations graphiques sont des droites. Propriétés -Toute fonction affine est représentée par une droite d’équation y = a x + b -Toute fonction linéaire est représentée par une droite passant par l’origine d’équation y = a x Ici, f est représentée par la droite d’équation y = 8x et g par la droite d’équation y = 4x + 40. b) Répondre en utilisant le graphique : Dans quels cas vaut-il mieux choisir un tarif plutôt qu’un autre ? Entre 0 et 10 entrées : le tarif 1 est plus avantageux. Pour plus de 10 entrées : c’est le tarif 2.

II. Lecture graphique d’images et d’antécédents Voici la représentation graphique de la fonction f tel que f(x) = 3x – 5 dans le repère (O,I,J). x y O I y = 3x - 5 L’image de 4 par f est 7 7 on a f(4) = 7 L’image de -1 par f est -8 4 on a f(-1) = -8 -1 J 3 4 L’antécédent de 4 par f est 3 on a f(3) = 4 - 8

III. Détermination de la forme algébrique d’une fonction 1) Fonction linéaire Déterminer la forme algébrique de la fonction linéaire f vérifiant : f(5) = 6 Déterminer la forme algébrique de f revient à trouver la valeur de a dans f(x) = a x . or f(5) = 6 donc a x 5 = 6 car f(5) = a x 5 soit a = 6/5 = 1,2 Donc la forme algébrique de f est f(x) = 1,2 x

2) Fonction affine Déterminer la forme algébrique de la fonction affine g vérifiant : f(2) = 4 et f(5) = 1 Déterminer la forme algébrique de f revient à trouver la valeur de a et la valeur de b dans f(x) = a x + b Pour déterminer la valeur de a nous disposons de la formule suivante: Donc la forme algébrique partielle de f est f(x) = -1 x + b

Donc la forme algébrique de f est f(x) = -1 x + 6 Il reste à trouver la valeur de b dans f(x) = -1 x + b or f(2) = 4 donc -1 x 2 + b = 4 car f(2) = -1 x 2 + b soit -2 + b = 4 soit b = 4 + 2 = 6 Donc la forme algébrique de f est f(x) = -1 x + 6 ou encore f(x) = -x + 6