Flexion Exercice simple d’entrainement au calcul de la flèche et de la contrainte PB octobre 2014 PB octobre 2014

Etude d’une poutre encastrée en A , libre en B , soumise à une force F inclinée On donne : intensité F=4000N; a=30°; L=1m Objectifs : -Déterminer les actions de la liaison en A sur la poutre -Calculer les éléments du torseur de cohésion s’exerçant sur une section -Tracer les diagrammes le long de la poutre des éléments du torseur de cohésion -Calculer la contrainte maximum dans la poutre sachant que la poutre est un profilé acier IPE 100….; (Iz=171cm4, E=210.103N.mm-2) -Calculer la flèche maximum Pré-requis: -Modélisation des actions mécaniques : force et moment d’une force -Principe fondamental de la statique (P.F.S)

Actions de la liaison en A sur la poutre: + y Repérage de la poutre YA RA x z XA Actions de la liaison en A sur la poutre: L’encastrement est caractérisé par une force de réaction passant par A: et un moment d’encastrement d’axe Az (**) Soit 3 inconnues Remarques: 1- (*) Les composantes des forces et les valeurs des moments que l’on recherche seront notés algébriquement 2-(**)Un moment fléchissant d’axe Az tend à faire tourner la section droite autour de Az Pour les déterminer, appliquons le principe fondamental de la statique à la poutre: (***)Le signe des composantes permet de dire que la force RA est orientée vers le haut et vers la gauche Sa valeur positive indique que MA fait tourner la section droite de la poutre en A dans le sens +

Soit la section S d’abscisse x et de centre de gravité G, Torseur de cohésion: Il évalue les sollicitations internes auxquelles chaque section droite de la poutre doit résister pour assurer la cohésion de la poutre Soit la section S d’abscisse x et de centre de gravité G, le torseur au droit de cette section a pour expression générale: La 1ère colonne désigne les composantes d’un vecteur force résultante RG d’origine le cdg G de la section N(x) désigne l’effort normal et Ty(x),Tz(x) les composantes verticale et horizontale de l’effort tranchant T La 2ème colonne désigne les composantes d’un vecteur moment résultant MG d’origine le cdg G de la section Mt désigne le moment de torsion d’axe Ax et My(x) , Mz(x) les composantes d’axe y et d’axe z du moment de flexion RG et MG sont appelés « éléments de réduction » du torseur de cohésion Dans le cas d’une flexion simple verticale sans torsion comme c’est le cas dans cet exemple, le torseur peut s’écrire plus simplement: 3 composantes non nulles sont donc à déterminer Mz(x) est donc ici un moment qui tend à faire tourner la section autour de z

L’équilibre de cette partie gauche permet d’écrire: Pour évaluer les composantes du torseur de cohésion, réalisons une coupure fictive de la poutre au droit de la section S(x) d’abscisse x : Par convention , le torseur de cohésion t G(x) est celui qu’il faut exercer sur la section S(x) pour équilibrer la partie de poutre à gauche de la coupure L’équilibre de cette partie gauche permet d’écrire: La poutre est donc soumise à des efforts de traction et de cisaillement constants sur toute sa longueur Le moment fléchissant est une fonction affine de x

Autre méthode équivalente…. Nous pouvons déterminer le torseur en écrivant que l’opposé du torseur de cohésion -t G(x) appliqué sur la section S(x) doit équilibrer la partie à droite de la coupure L’équilibre de cette partie droite permet cette fois d’écrire: Les résultats obtenus sont les mêmes! En RDM, on choisit la méthode la plus simple et la plus rapide pour exécuter les calculs. C’est une question d’entrainement !

effort tranchant Ty(x) Diagrammes effort normal N(x) effort tranchant Ty(x) moment fléchissant Mz(x) Image extraite du logiciel RDM6

Contrainte maximale dans la poutre: IPE 100; Iz=171cm4=171.104mm4 Le moment de flexion M est à l’origine d’ une contrainte normale maximum au point A sur la fibre supérieure à laquelle s’ajoute une contrainte due à l’effort normal N : Contrainte normale dans la section au point A (encastrement) Image extraite du logiciel RDM6

justifie pas pour le calcul de la contrainte maximum Remarque : la contrainte de cisaillement est maximum au centre du profilé, elle ne se cumule pas avec la contrainte normale. Sa prise en compte ne se justifie pas pour le calcul de la contrainte maximum Contrainte de cisaillement au point A Image extraite du logiciel RDM6

Application numérique: IPE 100; Iz=171cm4=171.104mm4; E=210.103N.mm-2 Flèche en B Utilisons la méthode d’intégration de l’équation différentielle de flexion: Application numérique: IPE 100; Iz=171cm4=171.104mm4; E=210.103N.mm-2