DEuclide à Legendre, autour du 5 ème Postulat III - Legendre, un géomètre entêté

Les Éléments de Géométrie de Legendre D 1 - Legendre math é maticien et p é dagogue Adrien-Marie Legendre ( ), professeur à l É cole Militaire et à l É cole Normale sup é rieure, a produit des travaux en m é canique, analyse (m é thode des moindres carr é s) et th é orie des nombres (loi de r é ciprocit é quadratique dan son Essai sur la th é orie des nombres en 1830). P é dagogue, entre 1794 et 1823 il publie 12 é ditions de ses É l é ments de g é om é trie (30 é ditions en anglais), dans lesquels il tente de simplifier et de moderniser les É l é ments d Euclide. D é ditions en é ditions, il pr é tend d é montrer le 5 è me Postulat, en inventant des « preuves » qu il juge ensuite insuffisantes, malgr é leur originalit é et leur é l é gance. Ainsi, dans l avertissement à sa 12 è me é dition (1823), il é crit : « La d é monstration de la th é orie des parall è les, telle qu elle avait é t é pr é sent é e dans la 3 e é dition de cet ouvrage et dans les é ditions suivantes jusqu à la 8 e inclusivement, n é tant pas à l abri de toute objection, on s é tait d é termin é dans la 9 e é dition à r é tablir cette th é orie à -peu-pr è s sur la même base qu Euclide. Des r é flexions ult é rieures faites sur le même objet, dont on donnera le d é veloppement dans la note II, ont fait d é couvrir deux nouvelles mani è res de d é montrer le th é or è me sur les trois angles du triangle, sans le secours d aucun postulatum. »

Les Éléments de Géométrie de Legendre D 2 - La « d é monstration » de la 3 è me é dition (1800) Excluant l hypoth è se de l angle obtus du rectangle de Saccheri (conduisant à une g é om é trie sph é rique), Legendre suppose que l on peut prolonger une droite à l infini. Sa strat é gie est d é tudier la somme des angles d un triangle. Il d é montre d abord un lemme de g é om é trie absolue (donn é pour 2 angles dans les É l é ments d Euclide, prop. 17), connu comme th é or è me de Legendre: La somme des trois angles d un triangle ne peut être plus grande que deux angles droits. Soit ABC un triangle dont la somme des trois angles est plus grande que deux droits. Sur AC prenez CE = AC, faites l'angle ECD = CAB (prop. 23), le côt é CD = AB. Le triangle CDE est é gal au triangle BAC (prop. 4). Comme A, C, E sont align é s, ABC > BCD et AC > BD (prop. 25). Soit AC – BD = d > 0. On recommence cette construction n fois jusqu en P et Q, suffisamment pour que AP – BQ = nd > 2AB (o ù BQ est la longueur de la ligne bris é e obtenue). On aurait AP > AB+BQ+QP, contraire à l in é galit é triangulaire (prop. 20). L hypoth è se est donc absurde. A B C D E F G H IP Q

Les Éléments de Géométrie de Legendre D 2 - La « d é monstration » de la 3 è me é dition Dans un deuxi è me temps, Legendre « d é montre » le th é or è me : Dans tout triangle, la somme des trois angles est é gale à deux angles droits. Soit ABC un triangle dont la somme des angles vaut 2d – z, l angle a en A é tant le plus petit (donc a < 2d/3). Soit D le point tel que BCD = ABC et CBD = ACB. Les triangles ABC et DCB sont é gaux (prop. 26). Par D, point int é rieur à l angle en A, on m è ne une droite quelconque qui rencontre (AB) en F et (AC) en E (C est cette hypoth è se qui porte en elle le 5 e Postulat, puisqu il d é coule du th é or è me. Legendre obtient l axiome é quivalent : d un point int é rieur à un angle moindre que 2/3 d un droit, il passe une droite qui rencontre les deux côt é s de l angle). Comme les sommes des angles des triangles FBD et DCE n exc è dent pas 2d, on obtient que la somme des angles du triangle AEF est inf é rieure ou é gale à 2d – 2z. On recommence n fois cette construction de telle sorte que 2 n z > 2d. La somme des angles du grand triangle ainsi obtenu, é gale à 2d – 2 n z serait n é gative! L hypoth è se est donc absurde, la somme des angles d un triangle ne peut être ni plus grande, ni plus petite que 2 angles droits. A B C D E F a

Les Éléments de Géométrie de Legendre D 3 - La 11 è me é dition Jusqu à la 8 è me é dition de ses É l é ments de g é om é trie, Legendre donne sa « d é monstration » du 5 è me Postulat. On a d û lui faire des critiques et de la 9 è me é dition à la 11 è me, il abandonne son beau th é or è me pour une autre pr é sentation de la th é orie des parall è les. Têtu, il admet le 5 è me Postulat comme une é vidence. Celle-ci semble être cons é quence de l é galit é des angles droits, le 4 è me postulat d Euclide que Legendre pr é tend aussi d é montrer !

Les Éléments de Géométrie de Legendre D 3 - La 11 è me é dition Legendre commence donc par « d é montrer » l é galit é des angles droits. PROPOSITION PREMI È RE TH É OR È ME Par un point pris sur une droite on peut é lever une perpendiculaire sur cette droite, et on n en peut é lever qu une. « En effet, supposons qu une droite AM d abord couch é e sur AC, tourne autour du point A : elle formera deux angles adjacents, MAC, MAB, dont l un, MAC, d abord tr è s petit, ira toujours en croissant, et dont l autre, MAB, d abord plus grand que MAC, ira constamment en d é croissant jusqu à z é ro. L angle MAC, d abord plus petit que MAB, deviendra donc plus grand que cet angle; par cons é quent, il y aura une position AM de la droite mobile o ù ces deux angles seront é gaux, et il est é vident qu il n y en aura qu une seule ». Corollaire : Tous les angles droits sont é gaux. Sinon, par superposition de deux côt é s de mani è re que les sommets co ï ncident, on pourrait, du sommet commun, é lever deux perpendiculaires à cette droite. M M M B AC

Les Éléments de Géométrie de Legendre D 3 - La 11 è me é dition Legendre pr é sente ensuite sa TH É ORIE DES PARALL È LES : PROPOSITION XXI Deux droites AC, BD, perpendiculaires à une même droite CD, sont parall è les (C est une forme de la proposition 27 d Euclide, valable en g é om é trie absolue). L argument de Legendre : « Car, si elles se rencontraient en un point M, par exemple, on pourrait de ce point abaisser deux perpendiculaires sur CD. » L é nonc é de Proclus - Playfair en d é coule imm é diatement : PROPOSITION XXI Par un point on peut mener une parall è le à une droite. « Du point A abaissez AB perpendiculaire à BC, et au même point, menez AD perpendiculaire à AB, les deux droites AD et BC, é tant toutes deux perpendiculaires à AB, seront parall è les ». Legendre ajoute, comme à regret : « On admettra en second lieu, comme une proposition é vidente, que par un point on ne peut mener qu une seule parall è le à une droite », admettant ainsi « comme une proposition é vidente » le 5 è me Postulat. A B C D A B M C D

Les Éléments de Géométrie de Legendre D 4 - La 12 è me é dition, note II: retour sur le pass é Legendre y pr é sente « une nouvelle mani è re de d é montrer le th é or è me sur les trois angles du triangle ». Il s explique dans une note II, avec une belle lucidit é : «...., nous avons fait voir que toute la difficult é se r é duisait à construire un triangle qui cont î nt au moins deux fois le triangle donn é ; mais la solution que nous avons donn é e de ce probl è me, en apparence tr è s simple, suppose que par un point donn é dans un angle moindre que deux tiers d angle droit, on peut toujours faire passer une ligne droite qui rencontre à -la-fois les deux côt é s de l angle. Nous avions ainsi beaucoup approch é de notre but, mais nous ne l avions pas atteint enti è rement, puisque notre d é monstration d é pendait d un postulatum qui à toute force pouvait être ni é. C est cette consid é ration qui nous a fait revenir, dans la 9 e é dition, à la simple marche d Euclide, en renvoyant aux notes pour la d é monstration rigoureuse. En examinant les choses avec plus d attention nous sommes rest é convaincu que pour d é montrer compl è tement notre postulatum il fallait d é duire de la d é finition de la ligne droite une propri é t é caract é ristique de cette ligne qui excl û t toute ressemblance avec la forme d une hyperbole comprise entre ses deux asymptotes ».

Les Éléments de Géométrie de Legendre D 4 - La 12 è me é dition, note II: le postulatum justifi é Legendre tente alors de « d é montrer son postulatum », et aboutit aux mêmes consid é rations m é taphysiques qu Omar Al-Khayyam et que Saccheri : Soit BAC un angle donn é, et M un point donn é au dedans de cet angle; divisez l'angle BAC en deux é galement par la droite AD, et du point M menez MP perpendiculaire sur AD : je dis que la droite MP prolong é e dans un sens et dans l'autre, rencontrera n é cessairement les deux côt é s de l'angle BAC. « Car si elle rencontre un des côt é s de cet angle, elle rencontrera l'autre, tout é tant é gal des deux côt é s à partir du point P ; si elle ne rencontrait pas un côt é, elle ne rencontrerait pas l'autre par la même raison ; ainsi, dans ce dernier cas elle devrait être renferm é e tout enti è re dans l'espace compris entre les côt é s de l'angle BAC ; or, il r é pugne à la nature de la ligne droite qu'une telle ligne, ind é finiment prolong é e, puisse être enferm é e dans un angle. En effet, toute ligne droite AB trac é e sur un plan, et ind é finiment prolong é e dans les deux sens, divise ce plan en deux parties qui é tant superpos é es co ï ncident dans toute leur é tendue et sont parfaitement é gales »… Or un « espace angulaire n'est pas la moiti é de tout le plan ; donc la ligne droite qu'on suppose partager en deux portions l'espace angulaire, ne pourra partager qu'en deux parties in é gales la totalit é du plan, ce qui est contraire à la nature de la ligne droite ». A B C M D

Les Éléments de Géométrie de Legendre D 5 - La 12 è me é dition, introduction du Livre I Un avertissement donne le ton : « On a ins é r é une des d é monstrations [du 5 è me Postulat] dans le texte de cette é dition, …, qui ne semble pas plus difficile à comprendre que celle qui avait é t é donn é e dans les é ditions pr é c é dentes, depuis la 3 e jusqu à la 8 e ». Legendre ajoute dans la note II: « Nous laissons aux g é om è tres à d é cider si cette d é monstration ne m é riterait pas d'être admise dans les é l é mens, de pr é f é rence à toute autre, pour r é tablir la marche d'Euclide devenue enti è rement rigoureuse par la suppression de son Postulatum. » Le Livre I commence par 20 d é finitions des objets de base donn é es en Principes, dont celle de la G é om é trie : « La G é om é trie est une science qui a pour objet la mesure de l é tendue ». Puis Legendre explique, entre autres mots et symboles, ce qu est un axiome : « une proposition é vidente par elle-même ». Il donne alors la liste de ses axiomes qui lui paraissent suffisants pour engendrer toute la g é om é trie euclidienne.

Les Éléments de Géométrie de Legendre D 5 - La 12 è me é dition, introduction du Livre I Les 5 axiomes de la g é om é trie de Legendre : 1. Deux quantit é s é gales à une troisi è me sont é gales entre elles. (Premi è re notion commune chez Euclide). 2. Le tout est plus grand que sa partie (9 è me notion commune). 3. Le tout est é gal à la somme des parties dans lesquelles il a é t é divis é. 4. D'un point à un autre on ne peut mener qu'une seule ligne droite. (Premi è re demande d Euclide). 5. Deux grandeurs, ligne, surface ou solide, sont é gales, lorsque é tant plac é es l'une sur l autre elles co ï ncident dans toute leur é tendue. (8 è me notion commune). Les « d é monstrations » des autres demandes euclidiennes font l objet des premi è res propositions, la 5 è me sera l objet de la proposition 19 : Proposition premi è re : Les angles droits sont tous é gaux entre eux. (4 è me demande). Proposition 3 : Deux lignes droites qui ont deux points communs co ï ncident l une avec l autre dans toute leur é tendue, et ne forment qu une seule et même ligne droite. (2 è me et 6 è me demandes).

Les Éléments de Géométrie de Legendre D 6 - La 12 è me é dition, structure du Livre I Il est utile de donner un aper ç u de la progression du Livre I, pour bien situer la d é monstration que donne Legendre du 5 è me Postulat (prop. 19) : Propositions 2 à 5 : propri é t é s des angles form é s par deux droites s é cantes Prop. 6, 7 et 11 : les 3 cas d é galit é des triangles Prop. 8 : in é galit é triangulaire Prop. 9, 10 et 14 : in é galit é s de côt é s et d angles dans les triangles Prop. 12 et 13 : angles et côt é s d un triangle isoc è le Prop. 15 : unicit é de la perpendiculaire issue d un point à une droite Prop. 16 et 17 : longueurs des obliques issues des points d une perpendiculaire à une droite, m é diatrice d un segment Prop. 18 : cas d é galit é des triangles rectangles Prop. 19 : « Dans tout triangle, la somme des trois angles est é gale à deux droits ».

Les Éléments de Géométrie de Legendre D 7 - La 12 è me é dition, th é orie des parall è les La suite de la proposition 19 constitue la th é orie des parall è les de Legendre. Le Livre I se termine par les propri é t é s du parall é logramme (prop. 28 à 31). De la propri é t é de la somme des angles d un triangle, Legendre d é duit rapidement le 5 è me Postulat (propositions 21 à 23). Proposition 21 : Si deux lignes droites AB, CD, sont perpendiculaires à une troisi è me FG, ces deux lignes seront parall è les … Preuve : Car si elles se rencontraient en un point O, il y aurait deux perpendiculaires OF, OG, abaiss é es d un même point O sur une même ligne FG, ce qui est impossible (prop.15). Proposition 22 : Si deux lignes droites AB, CD, font avec une troisi è me EF, deux angles int é rieurs BEF, DFE, dont la somme soit é gale à deux angles droits, les lignes AB, CD, seront parall è les. Preuve r é sum é e : Si les angles BEF, DFE sont droits, la prop. 21 conclut. Sinon, du point F, on abaisse la perpendiculaire FG à AB (prop. 15). Dans le triangle FGE, rectangle en G, la somme des angles aigus vaut un droit (corollaire de la prop.19), et comme BEF + EFD = 2 droits, il reste que DFG vaut 1 droit. Les droites AB et CD sont donc perpendiculaires à FG, ce qui montre qu elles sont parall è les (prop. 21). Remarque : C est la proposition 28 d Euclide qui ne n é cessite pas le 5 è me Postulat ! A B E C D F G

Les Éléments de Géométrie de Legendre D 7 - La 12 è me é dition, th é orie des parall è les Legendre peut alors conclure: Proposition 23 : Si deux lignes droites AB, CD, font avec une troisi è me EF, deux angles int é rieur d un même côt é, dont la somme soit plus petite ou plus grande que deux angles droits, les lignes AB, CD, prolong é es suffisamment, devront se rencontrer. (5 è me demande d Euclide). Preuve en images anim é es : M M sur EB, AMF=MFG car supp à MEF+EFM N Soit MN = MF, EMF = MFN+MNF (19) donc MFN = 1/2 MFG E F C A D B AB et CD coupées par EF, avec BEF+EFD < 2 droits G FG telle que AEF=EFG Donc FG // AB (22) et D est entre ces droites Z NFP = 1/4 MFG … n fois Z sur AB t.q. MFZ = (1–1/2 n )MFG MFZ > MFD, FD est dans le triangle MFZ et coupe donc AB. P

Les Éléments de Géométrie de Legendre D 8 - La belle « d é monstration » (prop. 19) Donnons enfin la d é monstration ing é nieuse de Legendre. Chercher l erreur ! Dans tout triangle, la somme des trois angles est é gale à deux droits. Preuve en images anim é es : soit un triangle ABC, d angles,, tels que : AB AC BC, doù (prop. 14). + + = ? Soit I 1 le milieu de [BC] et K 1 sur (AB) tel que AK 1 = AI 1. K 1 est entre A et B et AK 1 > AB/2, car dans le triangle ABC, la m é diane AI 1 est plus petite que le plus grand côt é AB (prop. 16). C A B (C 1 AK 1 ) = (BAI 1 ) (1er cas dégalité, prop.6), doù C 1 K 1 = BI 1 = CI 1 et AK 1 C 1 = AI 1 B et AC 1 K 1 = ABI 1 = (B 1 C 1 K 1 ) = (ACI 1 ) (car B 1 K 1 = AK 1 = AI 1 et C 1 K 1 B 1 = AI 1 C car supp à AK 1 C 1 et AI 1 B) doù B 1 C 1 = AC AB = AC 1 AB 1, de plus, K 1 C 1 B 1 = I 1 CA = et C 1 B 1 K 1 = CAI 1 = Doù 1 = AC 1 K 1 + K 1 C 1 B 1 = + et = CAI 1 + I 1 AB = 1 + 1, donc + + = et comme B 1 C 1 AC 1, 1 1, et donc 1 /2 C1C1 B1B1 K1K1 I1I1 Soit C 1 sur (AI 1 ) tel que AC 1 = AB et B 1 sur (AB) tel que AB 1 = 2AK 1. On a donc AB 1 > AB. Soient,, AB 1 C 1. On montre que = + + avec AB 1 AC 1 B 1 C 1 et que de plus que 1

Les Éléments de Géométrie de Legendre D 8 - La belle « d é monstration » (prop. 19) C A B C1C1 K1K1 B1B1 I1I1 B2B2 C2C2 I2I2 K2K2 C3C3 K3K3 3 I3I3 On a donc obtenu = = avec AB 1 AC 1 B 1 C 1 et 1 [et aussi aire(ABC) = aire(ACI 1 ) + aire(AI 1 B) = aire(B 1 K 1 C 1 ) + aire(AK 1 C 1 ) = aire(AB 1 C 1 )] Soit à nouveau I 2 le milieu de [B 1 C 1 ] et K 2 sur (AB 1 ) tel que AK 2 = AI 2. K 1 est entre A et B 1. Soit C 2 sur (AI 2 ) tel que AC 2 = AB 1 et B 2 sur (AB 1 ) tel que AB 2 = 2AK 2. Soient,, A2 1 C 2. On obtient de même : = = + + avec AB 2 AC 2 B 2 C 2, 2 1 /2 = et = 1 [On a encore : aire(AB 2 C 2 ) = aire(AB 1 C 1 )= aire(ABC)]. Même construction pour obtenir le triangle AB 3 C 3, avec = + + AB 3 AC 3 B 3 C 3 et 3 /2 3, de plus = 2 [ainsi que aire(AB 3 C 3 ) = aire(ABC)] Et ainsi de suite, on obtient le triangle AB n C n, avec n + n + n = + + AB n AC n B n C n, n /2, n + n = n–1 [aire(AB n C n ) = aire(ABC])

Les Éléments de Géométrie de Legendre D 8 - La belle « d é monstration » (prop. 19) On a finalement pour tout n un triangle AB n C n tel que n + n + n = + + avec AB n AC n B n C n, n n n, n n et n + n = n – 1 [Et aire(AB n C n ) = aire(ABC) !] n n n BnBn CnCn dndn A xnxn Soit x n langle extérieur en C n au triangle AB n C n : n = 2 droits – x n. On a donc + + = n + n + n = n – droits – x n Quand n, n 0 et la droite d n qui porte (AC n ) tend à se confondre avec (AB), et x n 0. A la limite, on a donc + + = 2 droits. C.Q.F.D. Legendre pr é sente ainsi son raisonnement : Mais on peut concevoir que le triangle AB n C n varie dans ses angles et ses côt é s, de mani è re à repr é senter les triangles successifs qui naissent ult é rieurement de la même construction et s approchent de plus en plus de la limite o ù les angles n et n seraient nuls. Dans cette limite la droite AC n d n se confondant avec AB n, les trois points A, C n, B n, finissent par être exactement en ligne droite ; alors les angles n et x n deviennent nuls en même temps que n, et la quantit é 2D + n + n – x n, qui mesure la somme des trois angles du triangle AC n B n, se r é duit à 2D, donc dans tout triangle la somme des trois angles est é gale à deux angles droits. Mais « à la limite », le triangle AB n C n saplatit et son aire tend donc vers 0. Pourtant elle est constante, égale à laire du triangle donné ABC ! Legendre ne semble pas avoir remarqué ce « détail » qui laisse planer un doute certain sur son raisonnement.