Économie pour les ingénieurs Chapitre 2 Les formules d’équivalence et d’intérêt

Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt Plan du chapitre L’intérêt : le loyer de l’argent L’équivalence économique L’élaboration des formules d’intérêt Les calculs d’équivalence non classiques Les calculs par ordinateur Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.1 L’intérêt : le loyer de l’argent Les décisions en ingénierie impliquent souvent un arbitrage entre les bénéfices et les coûts qui sont réalisés à des périodes différentes dans le temps. Typiquement, on investit aujourd’hui dans un projet pour en tirer des bénéfices dans l’avenir. Ce chapitre examine comment on peut faire des comparaisons entre des bénéfices et des coûts qui sont réalisés à différentes périodes dans le temps. La clé de ces comparaisons est le taux d’intérêt. Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.1 L’intérêt : le loyer de l’argent La valeur temporelle de l’argent L’argent possède un potentiel de profit dans le temps. Un dollar reçu aujourd’hui a plus de valeur qu’un dollar reçu à une date ultérieure. Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.1 L’intérêt : le loyer de l’argent Les éléments des transactions à intérêt Capital (P) Taux d’intérêt (i) Période d’intérêt Nombre de périodes d’intérêt (N) Plan des recettes ou des débours (paiements) (A) Somme capitalisée (F) Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

Un diagramme de flux monétaire et la convention de fin de période Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

Les méthodes de calcul et l’intérêt L’intérêt simple IS = iPN F = P + I = P + iPN = P(1 + iN) L’intérêt composé Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

Les méthodes de calcul et l’intérêt Début de période Montant du prêt Montant des intérêts Montant de la dette à la fin de la période + = P + P i = P(1 + i) P i P 1 + = P(1 + i) + P(1 + i) i = P(1 + i)2 P(1 + i) i P(1 + i) 2 + = P(1 + i)2 + P(1 + i)2 i = P(1 + i)3 P(1 + i)2 i P(1 + i)2 3 = P(1 + i)N [P(1 + i)N-1] i P(1 + i)N-1 N . + Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt Exemple Prêt de 1000 $ pendant 3 ans à un taux d’intérêt simple de 5 %/an. Combien sera remboursé à la fin de trois ans ? Solution Intérêt par année = 1000(0,05) = 50 $ Intérêt total sur trois ans = 1000(3)(0,05) = 150 $ Montant à rembourser à la fin de trois ans = 1000 + 150 = 1150 $ Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt Exemple Prêt de 1000 $ pendant 3 ans à un taux d’intérêt composé de 5 %/an. Combien sera remboursé à la fin de trois ans ? Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt Exemple Solution n = 1 : 1000,00(0,05) = 50,00 $ Dette à la fin n = 1 : 1000 + 50 = 1050 $ n = 2 : 1050,00(0,05) = 52,50 $ Dette à la fin n = 2 : 1050 + 52,50 = 1102,50 $ n = 3 : 1102,50(0,05) = 55,13 $ Dette à la fin n = 3 : 1102,50 + 55,13 = 1157,63 $ Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt Exemple Solution (méthode plus rapide) n = 1 : 1000,00(1,05) = 1050,00 $ n = 2 : 1000,00(1,05)2 = 1102,50 $ n = 3 : 1102,50(0,05)3 = 1157,63 $ Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt Commentaires La divergence entre l’intérêt simple et l’intérêt composé croît à chaque année. Avec les paramètres précédents: Sur 10 ans la différence est de 128,90 $ Sur 20 ans la différence est de 653,30 $ Manhattan Intérêt simple = capital x nombre de périodes x taux d’intérêt Intérêt composé = (capital + intérêt couru) x taux d’intérêt Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.2 L’équivalence économique Différentes sommes d’argent à différents moments peuvent avoir la même valeur économique. Pris ensemble, la valeur temporelle de l’argent et le taux d’intérêt permettent de développer le concept de l’équivalence économique. Pour un taux d’intérêt de 6 %/an, 100 $ aujourd’hui et 106 $ dans un an sont équivalents. Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.2 L’équivalence économique On peut aussi examiner l’équivalence pour les années antérieures en appliquant la même logique. La somme de 100 $ aujourd’hui est équivalente à 94,34 $ (100$/1,06) il y a un an pour un taux d’intérêt de 6 % par année. Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.2 L’équivalence économique Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.2 L’équivalence économique Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.3 L’élaboration des formules d’intérêt Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.3 L’élaboration des formules d’intérêt Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.3 L’élaboration des formules d’intérêt Les tables d’intérêt F = 20 000 $(1 + 0,12)15 = 109 472 $ Annexe C (1,12) 15 = 5,4736 La notation des facteurs F = P(1 + i)N = P(F/P, i, N) Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.3.2 Les formules de flux monétaires uniques Facteur de capitalisation Si une somme actualisée, P, est investie pendant N périodes d’intérêt à un taux, i, quelle somme sera accumulée à la fin de N périodes ? F = P(1 + i)N = P(F/P, i, N) Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.3.2 Les formules de flux monétaires uniques Facteur d’actualisation Pour trouver un montant actualisé, P, si un montant, F, est fourni à un taux, i. P = F(1 + i)-N = F(P/F, i, N) Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.3.2 Les formules de flux monétaires uniques Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.3.2 Les formules de flux monétaires uniques Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.3.3 Les flux monétaires irréguliers Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.3.3 Les flux monétaires irréguliers P = 25 000 $(P/F, 10%, 1) + 3 000 $(P/F, 10%, 2) + 5 000 $(P/F, 10%, 4) Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt 2.3.4 Les annuités Facteur de capitalisation d’une annuité - Trouver F, étant donné A, i, N. Facteur d’amortissement - Trouver A, étant donné F, i, N. Facteur de recouvrement du capital - Trouver A, étant donné P, i, N. Facteur d’actualisation d’une annuité - Trouver P, étant donné A, i, N. Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt 2.3.4 Les annuités Facteur de capitalisation d’une annuité Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

F = A(1 + i)N-1 + A(1 + i)N-2 + … + A(1 + i) + A 2.3.4 Les annuités F = A(1 + i)N-1 + A(1 + i)N-2 + … + A(1 + i) + A F = A + A(1 + i) + A(1 + i)2 + … + A(1 + i)N-1 (1 + i)F = A(1 + i) + A(1 + i)2 + … + A(1 + i)N F(1 + i) - F = - A + A(1 + i)N (1+i)N - 1 i A F = = A(F/A, i, N) Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt 2.3.4 Les annuités Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt 2.3.4 Les annuités Facteur d’amortissement F (1 + i)N - 1 i A = = F(A/F, i, N) Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt 2.3.4 Les annuités Facteur de recouvrement du capital (1 + i)N - 1 i A = P (1 + i)N = P (A/P, i, N) Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt 2.3.4 Les annuités Facteur d’actualisation d’une annuité (1 + i)N - 1 P = A i (1 + i)N = A (P/A, i, N) Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.3.5 Le flux monétaire d’un gradient linéaire Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.3.5 Le flux monétaire d’un gradient linéaire Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.3.5 Le flux monétaire d’un gradient linéaire Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.3.5 Le flux monétaire d’un gradient linéaire Facteur d’actualisation Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.3.5 Le flux monétaire d’un gradient linéaire Facteur de conversion du flux monétaire d’un gradient en annuité Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.3.5 Le flux monétaire d’un gradient linéaire Facteur de capitalisation Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.3.6 Le flux monétaire d’un gradient géométrique Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.3.6 Le flux monétaire d’un gradient géométrique Facteur d’actualisation Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.3.6 Le flux monétaire d’un gradient géométrique Facteur de capitalisation Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.4 Les calculs d’équivalence non classiques Les flux monétaires composés La détermination d’un taux d’intérêt pour établir une équivalence économique Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.4 Les calculs d’équivalence non classiques 50$ 100$ 150$ 200$ 543,72$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Calcul avec la méthode 1 : [50$(P/F,15%,1) = 43.48$] + [100$(P/F,15%,2) = 75.61$] + [100$(P/F,15%,3) = 65.75$] + [100$(P/F,15%,4) = 57.18$] + [150$(P/F,15%,5) = 74.58$] + [150$(P/F,15%,6) = 64.85$] + 150$(P/F,15%,7) = 56.39$ + [150$(P/F,15%,8) = 49.04$] + [200$(P/F,15%,9) = 56.85$] = 543.72$ Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt Groupe 4 Groupe 2 Groupe 3 Groupe 1 200$ 150$ 150$ 150$ 150$ Calcul avec la méthode 2 : 100$ 100$ 100$ 50$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100$(P/A,15%,3)(P/F, 15%,1) = 198,54$ 200$(P/F,15%,9) = 56.85$ 150$(P/A,15%,4)(P/F,15%,4) = 244.45$ 50$(P/F,15%,1) = 43.48$ Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.4 Les calculs d’équivalence non classiques F1 = 100 000$(F/A,7%,7)(F/P,7%,13) = 2 085 485 $ F 1= ? 13 2 1 3 6 5 4 12 7 10 9 8 11 17 16 15 14 18 19 20 Stratégie 1 100 000$ F2 = 100 000$(F/A,7%,13) = 2 014 064 $ F 2= ? 13 2 1 3 6 5 4 12 7 10 9 8 11 17 16 15 14 18 19 20 Stratégie 2 100 000$ Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.4 Les calculs d’équivalence non classiques V7 = 100 000$(F/A, i, 7) F1 = ? 13 2 1 3 6 5 4 12 7 10 9 8 11 17 16 15 14 18 19 20 Stratégie 1 100 000$ V7 = 100 000$(P/A, i, 13) F2 = ? 13 2 1 3 6 5 4 12 7 10 9 8 11 17 16 15 14 18 19 20 Stratégie 2 100 000$ Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.4 Les calculs d’équivalence non classiques Pour assurer l’équivalence : 100 000$(F/A, i, 7) = 100 000$(P/A, i, 13) Essaie et erreur… Si i = 6 %… = 0,9482 Si i = ? %… = 1 Si i = 7 %… = 1.0355 (F/A, i, 7) (P/A, i, 13) = 1 Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.4 Les calculs d’équivalence non classiques (F/A, i, 7)/(P/A, i, 13) 7% 1,0355 6% 0,9482 6,5934% 1,0000 i Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt Fin du chapitre Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt