CHAPITRE 2 Théorème de Thalès

Lors d’un voyage en Egypte, Thalès de Milet (-624 ;-546) aurait mesuré la hauteur de la pyramide de Kheops par un rapport de proportionnalité avec son ombre. Citons : « Le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne. » Par une relation de proportionnalité, il obtient la hauteur de la pyramide grâce à la longueur de son ombre. L'idée ingénieuse de Thalès est la suivante : «  A l'instant où mon ombre sera égale à ma taille, l'ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur. »

Objectifs: Connaître et utiliser le théorème de Thalès. Connaître et utiliser la réciproque du théorème de Thalès. - Utiliser les agrandissements ou les réductions d’aires et de volumes. aaaaaa

I. Théorème de Thalès 1) Les configurations Situation 4ème Situation papillon

2) L’énoncé du théorème Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de (d ), distincts de A. Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles Alors Voir une démonstration de ce théorème dans le cahier d’exercices. Remarque : Ce théorème permet, entre autre, de calculer des longueurs.

EB = 2 cm, BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm. Exemple : Calculer BR et EA. Donner une valeur exacte et éventuellement une valeur approchée à 0,01 centimètre près. E D C P R B A (EA)//(PR)//(CD) EB = 2 cm, BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm. 1 ) Comme P appartient à (BC), R appartient à (BD) (PR) et (CD) sont parallèles, d’après le théorème de Thalès on a : BR = 5 x 4 ÷ 6 (produit en croix) = cm  3,33 cm.

2) Comme E appartient à (BD) A appartient à (BC) (EA) et (CD) sont parallèles d’après le théorème de Thalès on a : EA = 6 x 2 ÷ 5 (produit en croix) = 2,4 cm.

3) Application: partage d’un segment Un segment [AB] étant donné. Construire sans règle graduée le point M sur le segment [AB] tel que :

Réciproque du théorème de Thalès Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de (d ), distincts de A. Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A. Si et si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Nous admettons désormais que cette réciproque est connue pour pouvoir l’utiliser. Remarque : Cette réciproque permet de démontrer que des droites sont parallèles.

Exemples : 1) Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ? . . B C P R D E 1,5 A 3 4,5 2 4 2,5 . On a et donc . De plus les points A, C et E sont alignés dans le même ordre ainsi que les points B, C et D . d’après la réciproque du théorème de Thalès, (AB) et (DE) sont parallèles.

2) Les droites (PR) et (DE) sont-elles parallèles ? B C P R D E 1,5 A 3 4,5 2 4 2,5 On a et donc On ne peut pas utiliser la réciproque du théorème de Thalès. (PR) et (DE) ne sont pas parallèles.

III. Réduction-Agrandissement 1) Définitions - La réduction de rapport k d’un objet est la transformation qui multiplie toutes les longueurs par un nombre positif k tel que 0 < k < 1. Exemple : Cube B Cube A On passe du Cube A au Cube B par une réduction de coefficient k = ½. (les dimensions du cube A sont toutes multipliées par ½ pour obtenir celle du cube B)

- L’agrandissement de rapport k d’un objet est la transformation qui multiplie toutes les longueurs par un nombre k tel que k > 1. Exemple : Cube B Cube C On passe du Cube B au Cube C par un agrandissement de coefficient k = 3. (les dimensions du cube B sont toutes multipliées par 3 pour obtenir celle du cube C)

2) Propriétés Exemples : 4 x (½)² = 4 x ¼ = 1 cm² 1 x 33 Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, (k > 0) - Les aires sont multipliées par k² - Les volumes sont multipliés par k3 Exemples : - L’aire de la face de devant du Cube A est 4 cm². On passe du Cube A au Cube B par une réduction de coefficient k = ½ . 4 x (½)² = 4 x ¼ = 1 cm² Donc l’aire du cube B est : - Le volume du Cube B est de 1 cm3. On passe du Cube B au Cube C par un agrandissement de coefficient k = 3. Donc le volume du Cube C est : 1 x 33 = 1 x 27 = 27 cm3

3) Section d'un cône de révolution par un plan parallèle à la base Le triangle SOA rectangle en O engendre un cône de révolution de hauteur 20 cm et de rayon de base 6 cm. S O' A' O A S O' A' On réalise la section de ce cône par le plan parallèle à la base passant par O', un point de [SO], tel que SO' = 2 cm.

D’après le théorème de Thalès dans le triangle SAO sachant que A’ appartient à [SA] O’ appartient à [SO], et que (O’A’) est parallèle à (OA), on a : Donc le petit cône est une réduction du grand cône de coefficient Or, le volume du grand cône est égal à : Donc le volume du petit cône est égal à :