Le calcul aux cycles 2 et 3 Animation pédagogique Septembre et Octobre 2010 Circonscription de Loudéac Olivier LE MERCIER – CPC - IEN de Loudéac Philippe CHEVÉ – Maître E - RASED de Loudéac

Sommaire J’ai lu pour vous : document Eduscol Les techniques opératoires Le calcul mental Conclusion - Synthèse

« J’ai lu pour vous » Des idées fortes du document Eduscol du 8 septembre 2010 sur « Le nombre au cycle 2 »

Pourquoi ce document… Ce corpus de textes se propose d’aider les enseignants dans la mise en œuvre des programmes 2008 au cycle 2, en favorisant la continuité des apprentissages de la maternelle à l’élémentaire. Dans chacun des articles, les auteurs apportent des éléments didactiques et pédagogiques et font des propositions concrètes de mise en œuvre. Le choix a été fait de commencer par les questions numériques au cycle 2, car une bonne approche du nombre à ce niveau est essentielle pour la suite des apprentissages en mathématiques mais aussi dans les autres domaines.

Les mathématiques, regard sur 50 ans de leur enseignement à l’école  fin des années 50 et début des années 60, calcul et arithmétique (du CP au CEP) reposaient sur la parfaite maîtrise des quatre opérations, la connaissance opératoire du système métrique et la capacité à résoudre des problèmes parfois sophistiqués.  en 1970, l’apparition des mathématiques modernes. Le postulat sur lequel reposait la réforme était que, sous-jacentes aux activités cognitives et à leur développement, dont celles liées au calcul et à la résolution de problèmes, se situaient des savoirs et savoir-faire plus abstraits et plus fondamentaux relatifs à la logique.  Depuis 1977, 1978 et 1980, (y compris ceux de 1985, 1995 et 2002) des programmes rédigés autour de deux axes centraux :  les connaissances se construisent  la notion de problème est centrale  Les programmes 2008 marquent un tournant : L’importance de la mémoire et des automatismes dans l’acquisition des savoirs et savoir-faire est soulignée.

De nouveaux savoirs scientifiques sur les difficultés que rencontrent les élèves en mathématiques  1ère difficulté : Le passage au symbolique Apparemment, la perception des quantités et de leurs transformations, la possibilité de les comparer, constituent des capacités de base ne nécessitant pas d’apprentissage. En revanche, la mise en correspondance de ces quantités avec des systèmes de symboles, qu’il s’agisse de la suite orale des nombres, des configurations de doigts, des abaques ou des chiffres arabes pose problème à tous les enfants. La compréhension de la numération de position et sa mobilisation dans la résolution des opérations nécessitent un enseignement long sans doute jusqu’en fin de CE2.

De nouveaux savoirs scientifiques… 2ème difficulté : Passage des transformations (analogiques) aux opérations (symboliques)  Le fait que les enfants perçoivent et comprennent très précocement et facilement les effets des transformations affectant la quantité (ajout, retrait, partage…) laisse souvent à penser à tort qu’ils maîtrisent ou au moins comprennent les opérations.  Cette surestimation est d’autant plus vraie lorsque lesdites opérations ne font que simuler le déroulement des opérations. Ex : Si Paul a 3 billes et que je lui en donne 4, le fait de transcrire 3 + 4 = 7 n’assure en rien que l’addition est acquise !  C’est en variant les situations que l’élève peut être amené à découvrir le sens des opérations élémentaires et en généraliser l’utilisation en s’éloignant d’une conception immature qui associe de manière sommaire des transformations et des opérations.

De nouveaux savoirs scientifiques… Il est établi que l’efficacité de la résolution des opérations passe à la fois par l’apprentissage et l’exercice de procédures (par exemple en calcul mental) jusqu’à leur automatisation, ceci afin de réserver l’attention aux activités qui ne peuvent être automatisées :  compréhension des énoncés,  raisonnement,  rapport entre les unités dans les grandeurs et mesures  …  Et passe aussi par la mémorisation de connaissances telles que les tables.

Les techniques opératoires Exemples de techniques  Intérêts d’une pratique régulière

Manipuler avec l’abaque L’addition Manipuler avec l’abaque 483 + 534

483 + 534 4 8 3 + 5 3 4 1 1 1 7 Manipuler pour mieux appréhender la technique et/ou la comprendre.

L’addition 1 1 7 4 5 + 2 8 4 7 4 5 + 2 8 4 1 0 2 9 1 0 2 9 1 7 4 5 + 2 8 4 Avec un code couleur… 1 0 2 9

Des remarques éventuelles ?! 745 - 284 6 7 4 5 1 - 2 8 4 4 6 1 Des remarques éventuelles ?!

La soustraction Et s‘il y a des 0… 6 7 4 5 - 1 2 8 4 6 7 4 5 - 1 2 8 4 6 7 4 5 - 1 2 8 4 6 7 4 5 - 1 2 8 4 1 1 1 5 4 6 1 5 4 6 1 7 9 9 Et s‘il y a des 0… 8 0 0 0 - 1 2 8 4 1 6 7 1 6

Cela pourrait être aussi… Cette technique est toute aussi valable, mais non conventionnelle (d‘ailleurs, elle vient de nous). Son défaut est de présenter un résultat peu lisible. Elle permet d‘avoir une rapide estimation et validation (au sens de « Est-elle possible ? ») du résultat. 6 7 4 5 - 1 2 8 4 1 5 5 6 1 4

La multiplication 6 5 7 6 5 9 8 X 7 8 5 9 8 X 7 8 7 6 6 5 1 1 1 1 4 7 8 4 4 7 8 4 4 2 8 6 4 2 8 6 . 4 7 6 4 4 4 7 6 4 4 L‘alignement, la formalisation du décalage, le code couleur, la place des retenues peuvent varier. Le choix des tables 7 et 8 rend l‘opération plus difficile.

La multiplication, c’est aussi… 6 5 4 x 2 8 = 600 50 4 8 4 800 400 32 5 232 20 12 000 1 000 80 + 13 080 18 312

La division  5 9 6 4 5 1 2 - 4 8 1 1 6 4 9 7 1 - 1 0 8 1 8 4 - 8 4 5

La division à l’anglaise… 4 9 7 1 2 5 9 6 4 5 r 5 11 8 Avec un seul chiffre au diviseur, c‘est plus simple… 8 9 5 4 8 7 1 6 3 8 r 6 7 4 3

Ce qu’il faut retenir… Il est souhaitable que du CP au CM2, l’équipe pédagogique se mette d’accord sur :  la technique que l’on va utiliser  la présentation que l’on va demander  le code couleur que l’on va adopter au départ Cette unité tout au long de l’école élémentaire sera particulièrement structurante, en particulier pour les élèves en difficulté.  La pratique régulière des opérations de calcul permet de réinvestir et consolider des connaissances (les tables en particulier) et certaines compétences de calcul mental (exemple de la division). Elle permet également de mettre un grand nombre d’enfants en situation de réussite (rassurant).

Intérêts d’une pratique régulière La pratique régulière du calcul posé permet : une consolidation des connaissances des tables, une amélioration de la connaissance des propriétés que les nombres entretiennent entre eux, de mettre les enfants en situation de réussite, de se libérer des problèmes de calcul lors de la résolution de problèmes, ...

Le calcul mental

Si on commençait par un calcul ! Sans calcul posé, trouvez le résultat du calcul suivant : 87² = 7569

Quelle est la procédure ? 87² = 7400 + 13² avec 87 + 13 = 100 et 87- 13 = 74

La démonstration 89² 94² 85² = 7 921 = 8 836 = 7 225 100 x² y = 100 – 2a -a x² = (100 – a)² x² = 100² + a² - 200a x² = 100 (100 – 2a) + a² x² = 100 y + a² Cas où x = 87 : 87² = (100 x 74) + 13² Effectuer maintenant : 89² 94² 85² = 7 921 = 8 836 = 7 225

Pourquoi cet exercice ? Pour vous mettre dans la situation d’un élève rencontrant un calcul dont la procédure lui est inconnue et lui semble à priori complexe. C’est pas facile !! Montrer que des pré-requis sont indispensables :  carrés des nombres jusqu’à 15 (si x  ou = à 85)  compléments à 100  soustraction sur des nombres  à 100 De même pour un élève, 54 x 9 :  distributivité 54 x 9 = 54 x (10 – 1)  décomposition de 54 en 40 + 14  passage par la centaine inférieure 540 – 40 – 14  Montrer qu’un entraînement est nécessaire pour fixer la procédure Montrer que le calcul mental nécessite une attention soutenue. Il permet de recentrer le groupe-classe et permet à l’enseignant de se poser comme expert devant les élèves. Vous :  plaisir de savoir maintenant effectuer ce type de calcul,  un certain plaisir intellectuel (peut-être pas pour tous !).

On pourrait aller plus loin…  987² Rem : C’est plus facile que 87² !!  idem pour une séance avec des élèves :  - 9 puis – 99 puis - 19  x 9 puis x 99 puis x 19  … = 974 000 + 13² = 974 169

Point sur les différentes appellations rencontrées dans les programmes ou les différents types de calcul

Première distinction Calcul mental Calcul posé Calcul instrumenté Les programmes distinguent: Aucun moyen de poser l’opération et pas de calculatrice à disposition Calcul mental Calcul posé Possibilité d’utiliser une technique opératoire Calcul instrumenté Calculatrice à disposition

Calcul mental Calcul réfléchi Calcul automatisé Résultat exact Mémorisation de résultats. Aucun écrit intermédiaire Résultat exact Mise en place de procédures Ecrits intermédiaires Résultat Approché Ordre de grandeur Contrôle d’un résultat

Définitions du calcul mental L’expression « calcul mental » signifie qu’entre l’énoncé du problème et l’énoncé du résultat, on renonce à utiliser toute opération posée (technique opératoire usuelle). Cela n’implique pas qu’aucun support écrit ne puisse intervenir dans la consigne, dans la formulation du résultat voire même dans le cours du calcul. (doc d’accompagnement des programmes) C’est un moment privilégié de l’apprentissage pour :  enrichir les conceptions numériques et leur domaine de disponibilité,  accroître la familiarisation de l’élève avec les nombres et les opérations,  faire fonctionner et s’approprier les propriétés de ces dernières,  enrichir, diversifier, étendre les procédures de calcul. (Denis Butlen et Monique Pézard) Le calcul mental nécessite une intuition des nombres ainsi qu’une part d’initiative et de choix. (doc d’accompagnement des programmes)

De l’importance du calcul mental…

Pourquoi instaurer quotidiennement des séances de calcul mental ? Analyse de vos réponses Quelques pistes :  les problèmes où l’élève se débat avec les nombres au lieu de se focaliser sur son raisonnement,  les résultats incohérents dus à une mauvaise maîtrise du nombre,  amélioration de l’habileté intellectuelle,  plaisir intellectuel, On peut, pour le calcul mental, distinguer deux fonctions :  une fonction sociale  une fonction pédagogique

Une fonction sociale Il est d’abord un calcul d’usage. Il s’agit de mettre en place des moyens efficaces de calculer, utiles dans la vie courante, en l’absence de supports ou d’instruments. Dans cette perspective, trois types d’objectifs peuvent être distingués :  l’automatisation des calculs simples, orientée vers la production de résultats immédiatement disponibles : récupération en mémoire ou reconstruction instantanée, procédures automatisées.  la diversification des stratégies de calcul complexe : calcul réfléchi ou raisonné.  une première maîtrise du calcul approché, souvent utilisé dans la vie courante et dont l’apprentissage doit se poursuivre au collège.

Une fonction pédagogique En mathématiques, il joue un rôle prépondérant car :  Il permet aux élèves de construire et de renforcer leurs premières connaissances relatives à la structuration arithmétique des nombres entiers naturels (relation additives, ou multiplicatives entre les nombres).  La pratique du calcul réfléchi s’appuie, le plus souvent implicitement, sur les propriétés des opérations et, en retour, en assure une première compréhension.  Les premiers maniements des notions mathématiques (ceux qui en permettent la compréhension initiale) sont le plus souvent fondés sur le recours au calcul mental (proportionnalité, fractions,…).  Le calcul réfléchi nécessite l’élaboration de procédures originales et, par là, contribue au développement des capacités de raisonnement.  Le calcul mental apporte souvent une aide à la résolution de problèmes, en permettant de ramener un problème à un champ numérique dans lequel les opérations deviennent plus familières (essai avec des nombres plus petits).

Vive l’esprit critique Utilisez-vous tous les mêmes techniques opératoires ? Effectuez les 4 opérations suivantes : 46 x 34 57 x 17 76 x 25 63 x 37 Évidemment, un élève posera les 4 opérations. Par contre vous, adultes maîtrisant le calcul mental, vous n’avez pas été sans remarquer que 76 x 25 pouvait se calculer de tête ! 76 x 25 = (76 ÷ 4) x 100 = 19 x 100 = 1 900  « L’expérience atteste, depuis des dizaines d’années, que les enfants ont tendance à calculer mentalement en appliquant les algorithmes écrits. Ceci est dû très probablement à un établissement insuffisant du calcul mental. » (doc d’accomp. des programmes)

On peut en conclure : Que le temps passé à faire du calcul mental est du temps de gagné dans de nombreuses autres activités mathématiques !

Quelle est la différence entre calcul mental et calcul posé ? Calcul posé : travail sur les chiffres des nombres Calcul mental : travail sur les nombres, et donc sur la connaissance des nombres exemple : 128 + 256 Certains élèves vont trouver un résultat à 4 chiffres sans que cela leur pose un problème. Si on demande à cet élève de revoir son calcul, il va très souvent d’abord réinterroger sa technique opératoire. Il vérifiera d’abord la pertinence de chaque chiffre du résultat et non le résultat lui-même. Or, le résultat est bien 384 (nombre) et non 3 8 4 (suite de chiffres)

Des constats dans les pratiques de classe D’après le rapport IGEN de 2006 (maths au cycle 3) : Le temps consacré au calcul mental en France est massivement inférieur à une heure par semaine. Lors des observations de l’Inspection générale, seule une séance sur trois démarre par un temps de calcul mental. De plus :  Des séances plutôt consacrées au calcul automatisé.  Quelques séances consacrées au calcul réfléchi (peu de structuration des procédures). Très peu de travail autour du calcul approché.

Notre avis sur l’apprentissage des tables Un élève de CM1 ne devrait pas avoir à compter systématiquement sur ses doigts (même quand les doigts sont virtuels) pour un résultat appartenant à la table d’addition. Les tables doivent être totalement automatisées afin que l’élève puisse entrer de manière aisée dans des procédures de calcul plus complexes. La table dite de Pythagore (terme qu’on emploie un peu abusivement pour nommer également la table d’addition) est un très bon outil de repérage et de manipulation, mais pas un outil d’apprentissage « par cœur » des tables d’addition et de multiplication. Pour la mémorisation des tables, ce n’est pas faire œuvre de passéisme pédagogique que de passer par des comptines de tables chantées ou chantonnées.

Voici un exemple de table de Pythagore qui essaie de respecter un semblant de proportionnalité. Les résultats posant le plus de problèmes de mémorisation sont écrits en grands, et sont ainsi mis en valeur dans la table.

posant souvent des difficultés de mémorisation Résultats assez faciles à retenir Résultats plus difficiles à retenir Résultats plus difficiles à retenir Résultats posant souvent des difficultés de mémorisation aux élèves

Le paradoxe de l’automatisation L’enseignement du calcul mental, selon Denis Butlen dans le document Eduscol 2010, est paradoxal : Trop peu d’automatismes (au sens de trop peu de procédures automatisées) peuvent renforcer l’automatisme (au sens de comportement automatisé, sans adaptabilité (NDLR)), Exemple : recours systématique de certains élèves à un algorithme écrit pour rechercher des résultats d’opérations mentales. Davantage d’automatismes peuvent donc permettre d’échapper à l’automatisme.

Automatisation et adaptabilité  Augmenter le capital de procédures de calcul automatisées permet de mettre en œuvre ou d’améliorer l’adaptabilité de l’élève face à un calcul. Exemple : 45 + 16  45 + 10 + 6 ou 45 + 5 + 11 ou 40 + 5 + 10 + 6 ou 45 + 20 – 4 ou … Mais : 45 + 19  45 + 10 + 9 ou 45 + 5 + 14 ou 40 + 5 + 10 + 9 ou 45 + 20 – 1 ou …

La mémoire ou plutôt les mémoires On peut en distinguer deux :  la mémoire à court terme ou mémoire de travail  la mémoire à long terme Si elles sont puissantes, elles ne sont pas élastiques !

La mémoire à court terme Jeu : « le train des nombres » (de 0 à 9)  une personne du groupe dit un nombre  une deuxième répète ce nombre puis en dit un autre (de façon aléatoire)  …et ainsi de suite, jusqu’à la première erreur Elle a une capacité limitée (jusqu’à 7 unités environ) Jeu : redire la dernière suite de nombres proposée  Logiquement, échec !  La mémoire de travail est volatile (3 à 30 s)

La mémoire à long terme Jeu : mémorisez la suite de nombres suivants : 13 17 19 23 29 31 37 41 43 Cette suite dépasse la capacité de travail. Quelqu’un a-t-il mémorisé cette suite ? Comment as-tu fait ? C’est la suite des nombres premiers démarrant à 13 ! Dans la mémoire de travail, divisée en 7 « cellules », seule la première est utilisée pour conserver le nombre 13. La mémoire de travail va chercher l’information dans la mémoire à long terme qui connaît les « premiers » nombres premiers ou qui peut reconstruire cette suite. On a intérêt à développer la mémoire à long terme afin d’éviter la surcharge de la mémoire de travail. Rem : certains phénomènes sont capables de mémoriser des dizaines de pages de chiffres ! (construction d’un réseau de relation entre les nombres ; nombres deviennent des images mentales…)

L’instinct « grégaire » des nombres Abus de langage ?  Toujours est-il que la notion de nombre n’existe que si l’élève a mis en place des relations entre les nombres.  Plus le réseau de relations est dense, plus l’élève a d’habiletés dans la manipulation du nombre. Par exemple : Quart de 100  moitié de 50 Carré de 5  20 + 5 10 + 10 + 5  impair Double de 12,5  … Peut-être ! 25

Construire une séance type d’un calcul procédural nouveau

Une proposition de séance pour aborder une nouvelle procédure Échauffement rapide : Activation pré-requis Proposition d’un nouveau calcul (exemple : x 9) Application : apprendre à utiliser la procédure retenue. Synthèse : garder une trace écrite. Langages littéral ET mathématique Exemple : Multiplier un nombre par 9, c’est multiplier le nombre par 10 puis enlever une fois le nombre. 17 x 9 = (17 x 10) – (17 x 1) Trace écrite sur un affichage mural, dans un cahier de calcul procédural… Mais ce n’est pas tout…. Dans un premier temps, laisser les élèves explorer différentes procédures personnelles. Récolement de plusieurs procédures à expliciter par les élèves. Retenir la plus efficiente. Faire émerger oralement par les élèves la trace à conserver. Les différentes étapes de la séance Rôle du maître

Programmer des séances de consolidation ou de rappel. Il faudra… Les jours suivants, s’entraîner pour systématiser la nouvelle procédure jusqu’à son acquisition : Procédé dit La Martinière Calculs rapides écrits Jeux mathématiques Logiciels de mathématiques… Les mois suivants, pensez à réactiver la procédure qui aura pu être oubliée. Pour favoriser la mémorisation, prévoir un court moment de rappel dès le premier soir (5 min.) Programmer des séances de consolidation ou de rappel.

Recommandations horaires du document Eduscol Type d’activité Fréquence Durée Procédé Entraînement - Consolidation - Systématisation chaque jour 10 à 15 min La Martinière Découverte ou explicitation d’une procédure une fois par semaine 30 min Voir diapos précédentes

Quelques exemples d’activités pour la systématisation Nous avons choisi de vous proposer des exercices ou des jeux qui permettent de développer :  des connaissances de calcul  des compétences de calcul mental  des propriétés des nombres et les relations qui les lient Toutefois, le calcul mental ne peut pas se limiter à des jeux. Ceux-ci viennent en appui de l’entraînement quotidien.

Les cartons-éclairs

La fiche de calcul rapide traditionnelle …

Le tableau des propriétés 12 est le double de est la moitié de 10 est plus grand que 25 20 5 est le quart de 12,5 37,5 20,4 est le triple de ¼ est le seizième de 6 5 30 est le quadruple de 100 est le tiers de 6,8 4

Le recto-verso  Préparer des cartes portant au verso un nombre et au dos son complément à 10 ou à 100 ou à 1000.  Les élèves doivent deviner le nombre figurant au dos de la carte.  Ce jeu peut être proposé en atelier ou mené en grand groupe.

Faire 20  Préparer des carrés semblables à celui ci-dessous en variant les nombres utilisés.  Le jeu consiste à associer des côtés de deux carrés de façon à ce que la somme des deux nombres soit égale à 20. On peut modifier la valeur à trouver en fonction des nombres inscrits.  Ce jeu peut être proposé de sous deux formes : Seul, essayer de construire la figure la plus complète possible. A plusieurs, utiliser le jeu comme des dominos.

Cascades Les nombres noirs étant donnés, il faut trouver les cases vides (nombres jaunes) en sachant que le nombre figurant dans la case est égal à la somme des deux se trouvant au-dessus. Les règles de construction peuvent varier (soustraction, produit).

Le nombre mystère Plusieurs règles peuvent être proposées : Un nombre est écrit derrière le tableau, les enfants doivent le deviner en posant des questions. Plusieurs règles peuvent être proposées :  En proposant des nombres successifs (travail sur l'encadrement).  En recherchant indépendamment le chiffre des unités, puis celui des dizaines par des questions, mais sans proposer une valeur, (nombres pairs, plus grand que ..., plus petit ...).

Les devinettes Faire deviner le nombre à partir de devinettes posées par le maître : exemple : « Je suis un nombre qui a 2 chiffres. Mon chiffre des unités est pair et plus petit que 5. Mon chiffre des dizaines est le double des unités et supérieur à 5. » Je suis 84. On peut aussi proposer à un élève de faire deviner un nombre. Nb : Le travail sur le lexique spécifique est alors important.

Les nombres pairs Le chemin de ce labyrinthe est fait de nombres pairs. Pour passer d'une case à l'autre, il faut un nombre pair plus grand que le précédent. Commencer à gauche case 22 et finir en bas à droite case 488. Tracer le bon chemin. (le même jeu peut être proposé avec des nombres impairs)

Le jeu des pastilles

Labyrinthes additionner ou soustraire                Trouve le chemin qui mène à la sortie : pour passer d'une case à l'autre, il faut ajouter 2. La sortie du labyrinthe se trouve dans la case en bas à droite.  Le même exercice peut être effectué avec des soustractions.

Le quinze vainc 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Chaque joueur dispose de 3 pions, bleus pour l’un, rouges pour l’autre. Chacun pose à son tour un pion pour essayer d’atteindre 15 en additionnant les nombres associés à ses 3 pions. Si tous les pions sont posés, chaque joueur, à tour de rôle, déplace un pion vers une case libre. Le gagnant est celui qui réalise le total de 15. Variables :  le nombre à atteindre (15).  le nombre de joueurs (prévoir dans ce cas plus de cases).  la valeur des cases (il paraît intéressant d’utiliser également les décimaux).

Des jeux de calcul proposés par François Boule Dans cet ouvrage paru en 1994, François Boule propose de « rendre attrayants et ludiques les exercices de mathématiques pour éviter la lassitude des exercices scolaires peu motivants ». Trois niveaux de jeux sont en général proposés : CE, CM et CM-6ème

Carrés emboîtés 7 4 4 6 3 11 5

Carrés de…

Mais aussi des carrés plus compliqués…

Les parcelles Toutes les parcelles sont carrées. Trouver la dimension des côtés, ainsi que les dimensions du cadre extérieur. 25 5 5 6 9 15 6 10 6 3 3 3

Opérations à trous 3 6 7 8 4 1 5 7

Les séries 65 257 33 129 12 6 8 20 41 137 25 73

Carrés magiques Comment savoir à quelle somme en lignes et en colonnes doivent aboutir les carrés magiques de 16 cases avec des nombres de 1 à 16 ? On calcule la moyenne des bornes (1 et 16) que l’on multiplie par 4. (16 + 1) : 2 = 8,5 8,5 x 4 = 34 8 4 9 10 6 14 2 16

Opérations imaginaires Il s’agit de découvrir une opération imaginaire : c’est-à-dire une règle qui aux deux premiers nombres, associe le troisième. 35 11 Règle : Produit des 2 nombres diminué de 1 Règle : 2 x (somme) - 1 PS : la présentation sous forme d’opération peut induire la recherche d’un opérateur. Il est préférable selon nous d’écrire : 1 2  1

Opérations codées = 1 = 5 = 3 = 7 = 5

Tables codées = 1 = 5 = 3 = 7

D’autres propositions faites par le groupe Ermel dans le module « savoir calculer  » Remarque : certaines propositions ont déjà été présentées dans ce diaporama.

Le golf Partant d’un nombre de départ, un nombre-cible est à atteindre en appliquant des règles d’ajout et/ou de retrait. exemple : « Je vous donne le nombre de départ : 15 , et la cible, 42. Pour aller de 15 à 42, vous devez ajouter des 7 et soustraire des 2. » (CE2, 2ème période) La solution consiste dans cet exemple, à faire 5 additions de 7 et 4 soustractions de 2 (peu importe l’ordre). Il y a une infinité de solutions : 7 additions et 11 soustractions, …. Attention, un choix d’opérations et de cibles pris au hasard peut parfois se révéler très difficile.

Les calculs que l’on peut faire mentalement Le maître dicte des calculs en les écrivant au fur et à mesure au tableau. Les élèves doivent écrire le résultat au fur et à mesure uniquement dans le cas où ils peuvent le trouver mentalement. exemple de suite de calculs (CE2, période 3 et 4) : 759 – 200 12 580 - 1000 6 853 – 853 7 086 – 797 8 583 – 7 583 954 – 945 2 745 – 20 263 – 9 5 853 – 975 645 – 639 D’autres façons de procéder sont envisageables.

Le compte est bon mutualisation d’outils

Un compte est bon… 6 3 9 2 5 9 8 4 3 25 x 8 = 200 200 + 9 + 4 = 213 Au CM, proposer également des résultats approchés. Exemple ici : 638 25 x 8 = 200 200 + 9 + 4 = 213 213 x 3 = 639

Les objectifs spécifiques Développer et expliciter les procédures de calcul. Développer les relations et les propriétés qu’entretiennent les nombres entre eux Prévoir l’ordre de grandeur du résultat d’une opération. Traduire un calcul par une écriture en ligne avec éventuellement l’usage des parenthèses. Effectuer des essais, triturer les nombres pour tenter d’approcher le résultat juste. Faire des mathématiques sous un aspect ludique.

Le travail de mutualisation  A partir d’un tableau précisant des compétences de calcul mental par niveau de classe, nous vous proposons de construire des grilles de « compte est bon ».  Pour chaque « compte est bon », il s’agit de proposer des nombres qui favoriseront l’utilisation sur une des opérations au moins, d’une compétence cible que l’on se fixe.  On pourra aussi, construire des grilles, adaptés au niveau des élèves, où les compétences de calcul à utiliser sont aléatoires.  Des grilles pourraient aussi être construites dans les classes par les élèves.

Conclusion – Synthèse

L’aspect cumulatif des mathématiques nécessite une programmation et une cohérence décidées par l’ensemble de l’équipe pédagogique, de la maternelle au CM2. Une systématisation des connaissances et des procédures permet à l’élève de réussir des traitements de base en mobilisant le minimum d’attention et de mémoire, de sorte qu’il puisse consacrer ces ressources aux activités les plus complexes. Le calcul (technique opératoire et calcul mental) est une activité à pratiquer de façon quotidienne.

Deux ouvrages à conseiller