Systèmes d’équations du premier degré à deux variables y1 = a1x + b1 y2 = a2x + b2

Un système d’équations est un ensemble de deux ou plusieurs équations. Nombre de planches 13 1 2 3 4 5 Salaires comparés Montant gagné ( $ ) 12 11 10 9 8 7 6 y1 = 3x + 2 y2 = 2x + 5 Si toutes les relations formant le système sont linéaires, le système est également qualifié de linéaire.

Résoudre un système d'équations, c’est déterminer les coordonnées du point pour lequel les deux équations sont égales. Nombre de planches 13 1 2 3 4 5 Salaires comparés Montant gagné ( $ ) 12 11 10 9 8 7 6 y1 = 3x + 2 y2 = 2x + 5 Couple solution: ( 3 , 11 ) Le point d'intersection des 2 courbes est le couple solution du système.

Exemple: Deux amis travaillent dans deux entreprises de fabrication de planches à neige. Tous les deux préparent la finition des planches. Le premier reçoit quotidiennement un salaire de base de 2 $ plus 3$ par planche; l'autre reçoit quotidiennement un salaire de base de 5$ plus 2$ par planche. À partir de combien de planches, les deux auront-ils gagné le même montant ? 1ère étape: Identifier les variables. Il est donc essentiel de bien lire la situation. x : le nombre de planches y : le montant gagné 2e étape: Établir le système (c’est-à-dire, trouver les équations). y1 = 3x + 2 le montant gagné = 3,00$ par planche + 2,00$ (salaire de base) et y2 = 2x + 5 le montant gagné = 2,00$ par planche + 5,00$ (salaire de base) 3e étape: Résoudre le système pour lesquelles les équations sont égales. (c’est-à-dire chercher les valeurs de x et de y

3e étape: Résoudre le système Pour résoudre un système, on peut utiliser plusieurs méthodes: Par une table de valeurs: 1 2 3 4 5 8 11 14 7 9 13 x y1 = 3x + 2 y2 = 2x + 5 On peut remarquer que lorsque les deux amis auront fini 3 planches, ils auront le même salaire. 4e étape: (c’est-à-dire, vérifier si les calculs donnent la même réponse pour les deux équations. Valider la solution y1 = 3 x + 2 y2 = 2 x + 5 11 = 3 X 3 + 2 11 = 2 X 3 + 5 la valeur de la variable y est la même dans les deux équations Pour une même valeur de la variable x ( x = 3 ), ( y1 = y2 = 11 ) . Le couple solution ou l'ensemble-solution de cette situation est donc ( 3 , 11 ).

3e étape: Résoudre le système Par une table de valeurs: 1 2 3 4 5 8 11 14 7 9 13 x y1 = 3x + 2 y2 = 2x + 5 Remarque: La table de valeurs donne parfois le couple-solution mais ce n’est pas toujours le cas.

3e étape: Résoudre le système Par un graphique: Nombre de planches 13 1 2 3 4 5 Salaires comparés Montant gagné ( $ ) 12 11 10 9 8 7 6 y1 = 3x + 2 y2 = 2x + 5 Couple solution: ( 3 , 11 ) Le point d'intersection des 2 courbes est le couple solution du système. La méthode graphique est intéressante car elle présente la solution d'un seul coup d'œil; cependant, elle est rarement précise.

Par résolution algébrique: y2 = 2x + 5 y1 = 3x + 2 Nombre de planches 13 1 2 3 4 5 Salaires comparés Montant gagné ( $ ) 12 11 10 9 8 7 6 à ce point précis, les deux équations sont égales; y1 = y2 en utilisant cette égalité , on peut résoudre le système rapidement et précisément en procédant par équivalence algébrique.

La méthode de comparaison Cette méthode consiste à comparer les deux équations en utilisant le raisonnement suivant: Pour calculer y1 , on doit utiliser y1 = 3x + 2 équation avec 2 variables Pour calculer y2 , on doit utiliser y2 = 2x + 5 équation avec 2 variables Sachant qu’au point d’intersection y1 = y2 alors on peut poser 3x + 2 = 2x + 5 On compare ainsi les deux équations. On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il n’y a qu’une seule variable. 3x + 2 = 2x + 5 On peut alors isoler x pour trouver sa valeur.

On peut alors isoler x pour trouver sa valeur. -2 = 2x + 5 3x = 2x + 3 -2x x = 3 Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y dans n’importe quelle équation. y1 = 3 x + 2 y2 = 2 x + 5 11 = 2 X 3 + 5 11 = 3 X 3 + 2 Couple solution : ( 3 , 11 ) Remarque: La méthode algébrique est la méthode la plus précise.

Résous le système suivant : y = 3x + 15 y = 5x + 7 1) Déterminer x : 2) Déterminer y : 5x + 7 = 3x + 15 Soit 5x + 7 = 3x + 15 - 3x y = 5x + 7 y = 5 X 4 + 7 = 27 2x + 7 = 15 2x + 7 = 15 - 7 Soit 2x = 8 y = 3x + 15 2 y = 3 X 4 + 15 = 27 x = 4 Couple solution : ( 4 , 27 )

Résous le système suivant: 2x + y – 5 = 0 y = 2x + 6 Il faut, en premier, ramener cette équation égale à y. Attention : 2x + y – 5 = 0 2x + y – 5 = 0 - 2x y – 5 = - 2x y – 5 = - 2x + 5 y = - 2x + 5

Résous le système suivant : y = 2x + 6 1) Déterminer x : 2) Déterminer y : 2x + 6 = - 2x + 5 y = -2x + 5 Soit 2x + 6 = -2x + 5 + 2x y = 2x + 6 y = 2 X – 0,25 + 6 = 5,5 4x + 6 = 5 4x + 6 = 5 - 6 Soit 4x = -1 y = -2x + 5 4 y = -2 X – 0,25 + 5 = 5,5 x = -1 4 x = - 0,25 Couple solution : ( -0,25 ; 5,5 )

Problème Maxime a planté un arbre de 135 cm de hauteur près de sa maison. Cet arbre croît au rythme de 15 cm par année. Anne-Lyne, sa sœur, a planté un arbre d’une autre espèce qui mesure 75 cm de hauteur mais qui croît de 20 cm par année. A) Après combien d’années, les arbres seront-ils de la même hauteur ? B) Quel sera la hauteur de ces arbres ? 1ère étape: Identifier les variables. x : le nombre d’années y : la hauteur de l’arbre 2e étape: Établir le système: y1 = 15x + 135 et y2 = 20x + 75 3e étape: Résoudre le système par la méthode de comparaison. Sachant qu’un point de rencontre y1 = y2 alors 15x + 135 = 20x + 75

15x + 135 = 20x + 75 -75 15x + 60 = 20x -15x 60 = 5x 5 12 12 = x 4e étape: Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y dans n’importe quelle équation. y1 = 15x + 135 315 = 15 X + 135 5e étape: Valider la solution en vérifiant avec les deux équations. y1 = 15x + 135 y2 = 20x + 75 315 = 15 X 12 + 135 315 = 20 X 12 + 75 Ensemble-solution: ( 12 , 315 )

Ensemble-solution: ( 12 , 315 ) A) Après combien d’années, les arbres seront-ils de la même hauteur ? Réponse: 12 ans B) Quel sera la hauteur de ces arbres ? Réponse: 315 cm

Certains systèmes n’ont pas de couple solution. Remarque: Certains systèmes n’ont pas de couple solution. Exemple 13 1 2 3 4 5 12 11 10 9 8 7 6 Dans le système suivant : y2 = 2x + 5 y = 2x + 3 y2 = 2x + 3 y = 2x + 5 Les deux équations ont le même taux de variation et des ordonnées à l’origine différentes. Les droites sont donc parallèles. Elles ne se rencontreront jamais. Ensemble-solution: aucun