Quittons notre berceau “La Terre est le berceau de l’humanité, mais on ne peut vivre éternellement dans son berceau.”

Le père de l’astronautique De son vrai nom Konstantin E. Tsiolkosky, né le 17 septembre 1857 à Izhevskoye en Russie et décédé le 19 septembre 1935, était le fils d’un déporté polonais en Sibérie. Ses oeuvres principales sont : Rêves de la Terre et du Ciel, 1895 L'Exploration de l'espace cosmique par des engins à réaction, 1903 Au-delà de la Terre, 1920 Le chemin des étoiles Tsiolkovski est considéré comme l’un des pères de l’astronautique et a eu une influence considérable dans ce domaine; pourtant,encore aujourd’hui, il reste méconnu en Occident.

Définitions et termes importants -Propulsion : Mise en mouvement d'un corps, obtenue en produisant une force de poussée. -Ergol : Constituant, soit comburant, soit combustible. -Propergol : Produit constitué par un ou plusieurs ergols, séparés ou réunis pour former un mélange (ou un composé) apte à fournir par réaction chimique l'énergie de propulsion d'un moteur-fusée. -Poussée : Force que développe un moteur à réaction pour propulser un avion, une fusée. Elle correspond à la masse des gaz éjectés par le moteur chaque seconde multipliée par la vitesse d’éjection. Il s’agit d’une force, elle est exprimée en Newton. -Orbite : Courbe décrite par une planète autour du Soleil, ou par un satellite autour de sa planète.

Les Trois lois de Newton 1ère loi : principe d’inertie Un corps reste au repos ou animé d’un MRU lorsque la somme des forces exercées sur l’objet est nulle. 2ème loi : principe fondamental de la dynamique Lorsqu’un objet de masse m subit des forces dont la résultante est 𝐹 , il subit une accélération 𝑎 de même direction et de même sens que 𝐹 . 3ème lois : Principe des actions réciproques Dans l’interaction entre 2 corps, la force F exercée par le premier sur le second est directement opposée et de même grandeur à la force exercée par le second sur le premier.

Dérivation et intégration Integration Integration de Darboux -Si f est bornée sur [a,b], alors f est D-intégrable sur [a,b] si et seulement si pour chaque  > 0 il existe une partition P (C’est a dire si il existe un  > 0 ) telle que Integration de Riemann -Soit f une fonction définie sur un intervalle [a,b] de R. On dit que f est R-intégrable sur [a,b] s’il existe un réel J tel que Derivation -Le nombre dérivé en un point a d’une fonction est la pente de la tangente au graphe de f au point (a, f(a)). Il est donné par la formule : -La dérivée d'une fonction f est une fonction qui, à tout nombre pour lequel f admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé. Notée f’(x).

Mise en orbite -Lorsqu’un satellite est mis en orbite, il tourne autour d'un astre avec une vitesse telle que la force centripète(g) dévie sa chute en un mouvement circulaire autour de l’astre. -L'orbite d'un satellite ne sera circulaire que si son injection s'effectue, d'une part parallèlement à la terre, et d'autre part à la bonne altitude pour une vitesse donnée. Si ces conditions ne sont pas respectées, l'orbite est elliptique. 200km Vitesse trop basse Bonne vitesse Vitesse trop haute

Modes de propulsion actuels -La propulsion est l'action de pousser en avant un corps pour qu'il se déplace dans l’espace environnant. Aujourd’hui toute les fusées se basent sur le même principe de fonctionnement, elles s’appuient sur l'éjection de gaz à grande vitesse en arrière du véhicule au travers d'une tuyère, afin de générer une poussée. -L'impulsion spécifique (notée Isp) est une grandeur utilisée pour mesurer l’efficacité d’un moteur à réaction. Elle mesure la force exercée par l'engin en fonction de la quantité de carburant consommé par unité de temps. Plus cette mesure est importante, plus le moteur possède un bon rendement. -La vitesse d’éjection est la vitesse de sortie des gaz lors de la combustion d’un mélange. Elle varie en fonction de la densité des particules. Formule d’impulsion spécifique Isp = F / q. go - q est le débit d’éjection des gaz (kg/s) - go est la pesanteur (m/s2 ) -F est la poussée en (N)

Moteur à propulsion ionique ou plasmatique Moteurs à propergols solides Moteurs à ergols liquide : Allumeur Sens d'échappement Pain de poudre Structure du moteur Tuyeres Gaz d'échappement Autres : Pour ce qui est des deux autres modes de propulsion, la propulsion nucléaire et la propulsion solaire. Elles ne sont à l’heure actuelle utilisée par aucun engin spatial, c’est pourquoi nous n’allons pas vous les présenter.

Equation de Tsiolkovski On émet, à ce propos, les hypothèses suivantes : 1. l'étude du mouvement est faite dans un référentiel d’inertie; 2. la fusée n'est soumise qu'à la poussée fournie par son moteur, aucune autre action extérieure (gravité, efforts aérodynamiques) n'est prise en considération. 3. la vitesse d'éjection des gaz reste constante durant la phase de propulsion. Numériques : ve: vitesse d’éjection des gaz (en m/s) ; v : vitesse de la fusée (en m/s) m0 : masse initiale et mf masse finale (en kg)  m : quantité de gaz éjectée (en kg) par unité de temps (par seconde) V(t)= 𝑣 𝑒 .ln ( 𝑚 0 𝑚 0 −𝑚𝑡 )

Démonstration La fusée n’est pas un référentiel d’inertie. Il faut donc exprimer la vitesse d’échappement des gaz du point de vue d’un observateur situé dans un référentiel d’inertie. Avant : la vitesse de M et ∆m est 𝑣 Pendant : la masse des gaz ∆m est expulsée vers l’arrière avec une vitesse 𝑣 𝑒𝑥𝑝 =− 𝑣 𝑒𝑥𝑝 . 𝑖 par rapport à la fusée. Après : la vitesse de la fusée est par rapport au référentiel d’inertie. F: fusée T: observateur M: masse de la fusée 𝑣 𝑒𝑥𝑝 : vitesse d’expulsion des gaz m: masse des gaz

est la vitesse d’échappement des gaz par rapport au référentiel d’inertie. En passant aux normes des vecteurs ,le principe de conservation de la quantité de mouvement, s’écrit donc : (M+∆𝑚)𝑣=𝑀 𝑣+∆𝑣 + ∆𝑚 (− 𝑣 𝑒𝑥𝑝 +v+ ∆𝑣) Après avoir simplifié: 0 = M∆𝑣+ ∆𝑚 (− 𝑣 𝑒𝑥𝑝 +∆𝑣)

Espace :

PAUSE

e

Essayons d'affiner un peu Tout d’abord, ajoutons une force extérieure (force gravifique) : En négligeant les frottements et considérant que g est pratiquement constant,en intégrant l’expression, on a : Nous avons donc ici l’équation de Tsiolkovski dans un champ pesanteur constant et en négligeant les frottements. Données -r distance planète-satellite [m] - M masse de la planète [Kg] -m masse du satellite ou de la fusée [Kg] -m0 masse initiale de la fusée ( A t = 0 ) D e -débit du réacteur [Kg/s] -Ve vitesse d'éjection des gaz par rapport au -réacteur [ms] -F force d'attraction newtonienne =GMmr2 - G = 6,67259.10-11 [m3 kg-1s -2 ]

Ensuite, il faut prendre en compte l’érosion que subissent les satellites placés en orbite “basse” (< 500km) et qui leur donne une trajectoire non pas circulaire ou elliptique mais en “spirale”. Ces satellites doivent donc être régulièrement remontés sur leur orbite. Sur l'orbite initiale, le satellite a une vitesse V1 = GM R1 Sur l'orbite finale, le satellite a une vitesse V2 = GM R2 Le demi grand axe de l'orbite de transfert vaut (Cf : Mvt elliptique )

Conclusion