Information, Calcul, Communication Ce videoclip produit par l’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne fait partie de son cours d’introduction à l’information, à la communication, et au calcul. Il s’inscrit dans le 2e module de ce cours qui porte sur les notions d’échantillonnage et de reconstruction de signaux puis introduit les notions d’entropie et de compression de l’information. Information, Calcul, Communication 2. Information & Communication – Leçon 2: Reconstruction Clip 3: Théorème d’échantillonage O. Lévêque, commentaire: P. Janson

Plan de la leçon La reconstruction d’un signal La fonction sinusoïdale cardinale sinc Le théorème d’échantillonnage La preuve du théorème d’échantillonnage L’effet stroboscopique Ayant vu le principe de la reconstruction d’un signal par interpolation sur base de la fonction sinc, le 3e clip de cette leçon va introduire le théorème d’échantillonnage qui est fondamental à la reconstruction correcte de tout signal.

Historique La paternité de ce théorème est attribuée à plusieurs personnes, qui l’ont successivement redécouvert / amélioré au cours des ans Edmund Taylor Whittaker (1873-1956) publie en 1915 la formule d’interpolation Harry Nyquist (1889-1979) publie en 1928 une “théorie de la transmission par le télégraphe” Vladimir Aleksandrovich Kotelnikov (1908-2005) en 1933 découvre cette théorie indépendamment Herbert Raabe (1909-2004) publie en 1939 sa thèse sur le même sujet Claude Edwood Shannon (1916-2001) publie en 1949 un article sur la “communication en présence de bruit” La paternité de ce théorème est attribuée à plusieurs scientifiques qui l’ont successivement redécouvert ou amélioré au cours des ans. 1 En 1915 Edmund Whittaker fut le 1er à publier la formule d’interpolation. 2 En 1928 Harry Nyquist publia une théorie sur la transmission des signaux télégraphiques. 3 En 1933 Vladimir Kotelnikov redécouvrit indépendamment cette théorie. 4 En 1939 Herbert Raabe publia sa thèse sur le même sujet. 5 Enfin en 1949 Claude Shannon publia un article fondamental sur la communication de signaux en présence de bruit.

Le théorème d’échantillonnage Soit (X(t), t∈ R) un signal dont la plus grande fréquence est égale fmax Soit (X(nTe), n∈ Z) le même signal échantillonné avec une période Te et donc une fréquence correspondante fe = 1/Te Soit (XI(t), t∈ R) telle que 𝑋𝐼 𝑡 = 𝑛∈𝑍 𝑋 𝑛𝑇𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑐( 𝑡 − 𝑛𝑇𝑒 𝑇𝑒 ) Alors Si fe > 2fmax => XI(t) = X(t) pour tout t∈ R Et Si XI(t) = X(t) pour tout t∈ R => fe > 2fmax Le théorème d’échantillonnage sujet de ce clip dit que si l’on considère … 1 … un signal X(t) dont la composante de fréquence maximale est fmax … 2 … un échantillonnage de ce signal toutes les Te unités de temps et donc à une fréquence fe = 1/Te … 3 … et une reconstruction de ce signal par la formule d’interpolation 𝑋𝐼 𝑡 = 𝑛∈𝑍 𝑋 𝑛𝑇𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑐( 𝑡 − 𝑛𝑇𝑒 𝑇𝑒 ) 4 … le signal reconstruit Xi(t) sera identique au signal original pour autant que fe soit > à 2 x fmax … 5 … et inversement si le signal reconstruit Xi(t) est identique au signal original fe était nécessairement > à 2 x fmax.

Illustration Voyons graphiquement ce que donne la reconstruction d’une sinusoïde pure X(t) = sin(2πft) La version échantillonnée de ce signal est X(nTe) = sin(2πfnTe) et la formule d’interpolation devient 𝑋𝐼 𝑡 = 𝑛∈𝑍 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑓𝑛𝑇𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑐( 𝑡 − 𝑛𝑇𝑒 𝑇𝑒 ) En pratique, on se limite pour la reconstruction à 2N termes de la somme 𝑋𝐼 𝑡 = 𝑛=−𝑁 𝑁 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑓𝑛𝑇𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑐( 𝑡 − 𝑛𝑇𝑒 𝑇𝑒 ) Commençons par tenter de comprendre le sens de ce théorème par un exemple. 1 Considérons le signal original X(t) = sin(2πft). 2 Sa version échantillonnée étant X(nTe) = sin(2πfnTe) la formule d’interpolation donne 𝑋𝐼 𝑡 = 𝑛∈𝑍 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑓𝑛𝑇𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑐( 𝑡 − 𝑛𝑇𝑒 𝑇𝑒 ) 3 Plus n devient grand plus les termes de cette formule deviennent négligeables. Limitons-nous donc de façon pratique aux N 1ers termes de la formule: 𝑋𝐼 𝑡 = 𝑛=−𝑁 𝑁 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑓𝑛𝑇𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑐( 𝑡 − 𝑛𝑇𝑒 𝑇𝑒 )

Illustration – Cas fe > 2fmax Voici ce que donne la formule d’interpolation pour f = 2 Hz et fe = 5 Hz (donc Te = 0.2 sec) Signal original N=5 N=10 N=50 => La reconstruction est bonne Ces graphiques représentent à gauche le signal original puis successivement sa reconstruction par la formule d’interpolation pour f = 2 Hz, fe = 5 Hz (donc Te = 0.2 sec), et N = 5, 10, et 50. 1 On voit que dans tous ces cas, cette reconstruction est en effet bonne.

Illustration – Cas fe < 2fmax Voici ce que donne la formule d’interpolation pour f = 3 Hz et fe = 5 Hz (donc Te = 0.2 sec) Signal original N=5 N=10 N=50 => On a un problème!... Voyons maintenant à côté du signal original Ce que donne sa reconstruction par la formule d’interpolation pour f = 3 Hz mais à la même fe = 5 Hz (donc Te = 0.2 sec), et pour les mêmes nombres de termes N = 5, 10, et 50. 1 On voit que dans tous ces cas, on a un sérieux problème!

Revoyons ce cas quand f passe de 2 à 3 Hz avec fe = 5 Hz Quand f=2Hz, la reconstruction est bonne Quand f=3Hz, la reconstruction est mauvaise Qui plus est, si on inverse le 2nd graphe les valeurs échantillonnées sont les mêmes dans le 1er que dans le 3e => La courbe reconstruite par interpolation est forcément aussi la même Par contre elle est tout aussi différente du signal original ! => L’interpolation ne peut pas distinguer si f=2Hz ou f=3Hz Revoyons ce cas quand f passe de 2 à 3 Hz avec fe = 5 Hz 1 Quand f=2Hz, la reconstruction est bonne. 2 Quand f=3Hz, la reconstruction est mauvaise. 3 Qui plus est, si on inverse le 2nd graphe … 4 … les valeurs échantillonnées sont les mêmes dans le graphique à 2Hz que dans ce graphique à 3Hz inversé. 5 Donc la courbe reconstruite par interpolation est forcément aussi la même. 6 Par contre elle n’est pas non plus égale à celle du signal original ! 7 En réalité l’interpolation avec fe = seulement 5Hz n’arrive pas à distinguer si la fréquence f du signal original est de 2Hz ou de 3Hz. f = 2Hz f = 3Hz f = 3Hz

Illustration – Cas fe = 2fmax Voici ce que donne la formule d’interpolation pour f = 2.5 Hz et fe = 5 Hz (donc Te = 0.2 sec) Le facteur 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑓𝑛𝑇𝑒 = 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑓𝑒𝑛𝑇𝑒 = 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑛 = 0 pour tout n => On a aussi un problème!... Considérons maintenant le cas limite d’un signal original à la f de 2.5 Hz, avec toujours la même fe = 5 Hz (donc Te = 0.2 sec). Le facteur 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑓𝑛𝑇𝑒 étant = à 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑓𝑒𝑛𝑇𝑒 qui est = à 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑛 = 0 pour tout n on voit tout de suite qu’on a aussi un problème!

Illustration – Cas fe = 2fmax avec déphasage Voici ce que donne la formule d’interpolation pour f = 1 Hz et fe = 2 Hz avec des déphasages variant de π/12 à π/2 Signal échantillonné Signal reconstruit => Dans ce cas le déphasage a aussi une influence Par souci de complétude voyons ce qui se passe dans le cas limite fe = 2f avec des déphasages tels que le signal ne soit pas justement nul aux points d’échantillonnage. Même avec des déphasages variant de π/12 à π/2, on voit bien que pour f = 1 Hz et fe = 2 Hz on a toujours un problème.

=> Cette fréquence inférieure apparente fa = fe/2 - (f-fe/2) = fe-f Conclusion Pour une fréquence d’échantillonnage fe = 5 Hz: A partir des seules valeurs échantillonnées de la sinusoïde il n’est pas possible de dire si celle-ci a une fréquence f = 2 Hz ou f = 3Hz Par construction la formule d’interpolation produit la fréquence inférieure à fe/2, c'est à dire f = 2Hz => Si on sait que la sinusoïde originale est telle que f < fe/2 (2.5 Hz) alors on sait aussi que la formule d’interpolation reconstruit la bonne sinusoïde => Si on sait par contre que la sinusoïde originale est telle que f > fe/2 (2.5 Hz) alors l’interpolation produit une fréquence inférieure => effet stroboscopique => Cette fréquence inférieure apparente fa = fe/2 - (f-fe/2) = fe-f En conclusion, pour une fréquence d’échantillonnage fe = 5 Hz il n’est pas possible de distinguer si le signal original a une fréquence 2 Hz ou de 3Hz Par construction la formule d’interpolation ne peut produire que la fréquence inférieure à fe/2, c'est à dire f = 2Hz Si on sait que la sinusoïde originale a une fréquence f < fe/2 (2.5 Hz) alors on sait que la formule d’interpolation peut la reconstruire fidèlement. Par contre si on sait que la sinusoïde originale a une fréquence f > fe/2 (2.5 Hz) alors on voit que l’interpolation produit une fréquence inférieure qui engendre un effet stroboscopique. Cette fréquence inférieure apparente fa est = à fe/2 - (f-fe/2) = fe-f .