Dimitri Zuchowski et Marc-Élie Lapointe 6.1 Le langage Matriciel https://www.youtube.com/watch?v=rpWrtXyEAN0 Dimitri Zuchowski et Marc-Élie Lapointe

Dans cette section, nous verrons La définition d’une matrice. Les définitions de matrices particulières. La somme de matrices. La multiplication d’une matrice par un scalaire. La multiplication de matrices.

Parfois, on spécifie la taille de la matrice ici. Définition: Une matrice de format est un tableau rectangulaire ordonné de éléments disposés sur lignes et colonnes. Parfois, on spécifie la taille de la matrice ici.

Définition: Exemple: Définition: Exemple: Une matrice ligne est une matrice de format . Exemple: Définition: Une matrice colonne est une matrice de format . Exemple:

Définition: Exemple: Une matrice nulle est une matrice dont toutes les entrées sont nulles. Exemple:

Définition: Une matrice carrée est une matrice de format . Exemple:

Exemple: Donner la matrice définit par , tel que :

Faites les exercices suivants p.204 # 2 et 3

Soit une matrice quelconque (on suppose que m<n), que représente les expressions suivantes. Exemple:

Définition: Définition: Une matrice d’adjacence est une matrice qui représente les liens entre des sommets. 𝑎 𝑖𝑗 =(1 s’il y a un lien entre i et j, 0 sinon) Définition: Une matrice de transition est une matrice qui représente la probabilité de passé d’un état à un autre. 𝑎 𝑖𝑗 =(Probabilité de passer de j à i)

Faites les exercices suivants p.204 # 1 et 4

Définition: La diagonale principale d’une matrice carrée est l’ensemble des éléments de la forme .

Définition: Une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure) est une matrice carrée dont tous les éléments sous (ou au-dessus de) la diagonale principale sont nuls.

Définition: Une matrice identité est une matrice carrée dont les éléments de la diagonale principale sont tous 1 et les autres sont tous nuls.

Définition: Une matrice symétrique est une matrice carrée qui est symétrique par rapport à la diagonale principale, c’est-à-dire que .

Définition: Une matrice anti symétrique est une matrice carrée qui est anti symétrique par rapport à la diagonale principale, c’est-à-dire que .

Définition: Soit et , deux matrices de même format, qu’on note: La somme des deux matrices est l’opération interne définie comme suit:

Exemple:

Propriétés de la somme de matrices Soit , et

Définition: Soit , une matrice et , un nombre réel. La multiplication par un scalaire est l’opération externe définie comme suit:

Exemple:

Propriétés de la multiplication par un scalaire

Définition: Un espace vectoriel sur les réels est la donnée d’un ensemble dont les éléments sont nommés des vecteurs; d’une opération interne sur appelée la somme qui respecte les propriétés suivantes: d’une opération externe de sur appelée multiplication par un scalaire qui respecte les propriétés suivantes;

Définition: La transposée d’une matrice , notée , est la matrice . Exemple:

Propriétés de la transposition

On peut reformuler la définition d’une matrice symétrique et anti symétrique à l’aide des transposées. est symétrique est anti symétrique

Faites les exercices suivants p.204 # 6

Définition: Remarque: Soit et , deux matrices. On définit le produit de ces deux matrices comme étant la matrice: Remarque:

Exemple:

Est-ce que le produit matriciel est commutatif ? Question : Est-ce que le produit matriciel est commutatif ?

L’exemple ici est assez clair!

Faites les exercices suivants p.205, # 5 et 8

Propriétés de la multiplication de matrices

Exemple: On peut représenter un système d’équations linéaires par une équation matricielle.

Faites les exercices suivants p.205, # 10, 11 et 15

Une matrice de distribution de format 2 x1: 𝑋= 𝑥 1−𝑥 où 0≤𝑥≤1 Définition: Une matrice de distribution est une matrice colonne dont tous les éléments sont compris entre 0 et 1 (inclusivement) et dont la somme est 1. Une matrice de distribution de format 2 x1: 𝑋= 𝑥 1−𝑥 où 0≤𝑥≤1 Définition: Un chaîne de Markov est une suite 𝑋 0 , 𝑋 1 ,… 𝑋 𝑛 , … de matrice de distribution pour lesquelles il existe une matrice de transition 𝐴 tel que : 𝑋 1 =𝐴 𝑋 0 , 𝑋 2 =𝐴 𝑋 1 … 𝑋 𝑛+1 =𝐴 𝑋 𝑛 On a donc que 𝑋 𝑛 = 𝐴 𝑛 𝑋 0 .

Exemple: Après une pub de bière blonde blonde rousse rousse blanche 0,2 0,1 0,7 blonde rousse blanche blonde rousse blanche 0,1 0,8 0,1 0,3 0,6

blonde rousse blanche 0,7 0,1 0,1 0,1 0,2 0,8 0,1 0,3 0,6 0,7 0,1 0,1 0,1 0,2 0,8 0,1 0,3 0,6 100 100 100 = 90 120 90 0,7 0,1 0,1 0,1 0,2 0,8 0,1 0,3 0,6 90 120 90 = 84 132 84 0,7 0,1 0,1 0,1 0,2 0,8 0,1 0,3 0,6 90 120 90 = 80,4 139,2 80,4

On a donc un système d’équations linéaires homogènes à résoudre. 𝑨 𝑿 𝟎 = 𝑿 𝟏 𝑨 𝑿 𝟏 = 𝑿 𝟐 𝑨 𝑿 𝟐 = 𝑿 𝟑 𝑨 𝑿 𝒏 = 𝑿 𝒏+𝟏 𝑨 𝑿 𝒏 = 𝑿 𝒏 Ici, est un état stable. 𝑿 𝒏 𝑨 𝑿 𝒏 =𝐈 𝑿 𝒏 𝑨 𝑿 𝒏 −𝐈 𝑿 𝒏 =𝟎 (𝑨−𝐈) 𝑿 𝒏 =𝟎 On a donc un système d’équations linéaires homogènes à résoudre.

L’équilibre de la bière: 0,7 0,1 0,1 0,1 0,2 0,8 0,1 0,3 0,6 − 1 0 0 0 0 1 0 0 1 𝑥 𝑦 𝑧 = 0 0 0 0,7−1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,8−1 0,1 0,3 0,6−1 𝑥 𝑦 𝑧 = 0 0 0 −0,3 0,1 0,1 0,1 0,2 −0,2 0,1 0,3 −0,4 𝑥 𝑦 𝑧 = 0 0 0 75 150 75 L’équilibre de la bière:

Une chaîne de Markov à 2 états avec une matrice de transition Théorème: Pour une matrice de transition 𝐴= 𝑎 𝑏 1−𝑎 1−𝑏 , 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎,𝑏≠0. On a que lim 𝑛→∞ 𝐴 𝑛 = 𝛼 𝛼 1−𝛼 1−𝛼 où 𝛼= 𝑏 1−(𝑎−𝑏) . Corollaire : Une chaîne de Markov à 2 états avec une matrice de transition 𝐴= 𝑎 𝑏 1−𝑎 1−𝑏 , avec 𝑎, 𝑏 ≠0, aura comme distribution stationnaire : 𝑋 𝑆 = 𝛼 1−𝛼 .

Faites les exercices suivants p.205, # 17 et 18

Dans cette section, nous avons vu La définition d’une matrice. Les définitions de matrices particulières. La somme de matrices. La multiplication d’une matrice par un scalaire. La multiplication de matrices.

Devoir: p.204, # 1 à 18